专题03 函数的概念及性质12种常考题型归纳-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019，北京专用）

专题03 函数的概念及性质 判断两个函数是否为同一函数 1．（2023秋•东城区期末）下列函数中，与是同一函数的是　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•海淀区校级期末）下列函数，是同一函数的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 3．（2021秋•大兴区期末）能说明命题“如果函数与的对应关系和值域都相同，那么函数和是同一函数”为假命题的一组函数可以是　　，　　． 求函数的定义域 4．（2024春•东城区期末）函数的定义域是 　　． 5．（2024春•西城区期末）函数的定义域为　　． 6．（2022秋•密云区期末）函数的定义域是 　　． 7．（2022秋•海淀区校级期末）函数的定义域是 　　． 8．（2022秋•石景山区期末）函数的定义域为 　　． 已知函数的定义域求参数 9．（2022秋•丰台区校级期末）函数的定义域为，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D． 10．（2021秋•东城区校级期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C． D．， 求函数的值域 11．（2021秋•通州区期末）已知函数表示为： ， 0 ， 1 0 设（1），的值域为，则　　 A．，，0， B．， C．，，0， D．， 12．（2022秋•延庆区期末）函数的值域为 　　． 13．（2023春•东城区校级期末）函数的值域为 　　． 根据值域求参数的值或者范围 14．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是　　 A． B． C．， D．， 15．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 　　． 分段函数的解析式求法及其图象的作法 16．（2024春•朝阳区期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系．据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为　　 A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 17．（2023秋•丰台区期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求出当时，的解析式； （2）如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递减区间； （3）结合函数图象，求当，时，函数的值域． 18．（2022春•东城区校级期末）定义新运算⊕：当时，⊕；当时，⊕，则函数⊕⊕，，的最大值等于　　 A． B．1 C．6 D．12 函数单调性的判断 19．（2022秋•顺义区期末）下列函数中，在区间上是减函数的是　　 A． B． C． D． 20．（2022秋•朝阳区期末）下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为的是　　 A． B． C． D． 21．（2024春•通州区期末）下列函数中，在区间上单调递增的是　　 A． B． C． D． 22．（2024春•朝阳区期末）下列函数中，在区间上单调递增的是　　 A． B． C． D． 23.（2024春•顺义区期末）下列函数中，在上为减函数的是　　 A． B． C． D． 用定义法证明函数的单调性 24.（2021秋•石景山区期末）已知函数． （Ⅰ）用定义证明函数在区间上单调递增； （Ⅱ）对任意，都有成立，求实数的取值范围． 25.（2023秋•石景山区期末）已知函数的图像过点． （1）求实数的值； （2）判断在区间上的单调性，并用定义证明． 26.（2021秋•石景山区期末）已知函数． （Ⅰ）用定义证明函数在区间上单调递增； （Ⅱ）对任意，都有成立，求实数的取值范围． 函数单调性的应用 27.（2024春•通州区期末）已知命题：函数为上的增函数．能说明为假命题的一组，的值为　　，　　． 28．（2022秋•门头沟区期末）已知是上的严格增函数，那么实数的取值范围是 　　． 29．（2022秋•台江区校级期末）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围为　　 A． B． C．， D． 30.（2021秋•东城区期末）已知函数是定义在上的增函数，且（2），那么实数的取值范围为 　　． 31.（2022秋•海淀区校级期末）已知函数的图像关于直线对称，当时，恒成立．设，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 函数奇偶性的判断及应用 32．（2022秋•东城区期末）函数的图象关于　　 A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．直线对称 33．（2022秋•东城区期末）在下列函数中，为偶函数的是　　 A． B． C． D． 34．（2022秋•大兴区期末）下列函数中是奇函数的是　　 A． B． C． D． 35．（2023春•密云区期末）下列函数中，在上单调递增的奇函数是　　 A． B． C． D． 36.（2024春•昌平区期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是　　 A． B． C． D． 37．（2022秋•昌平区期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是　　 A． B． C． D． 38．（2022秋•怀柔区期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则的值是　　 A．2 B． C． D． 39.（2024春•通州区期末）已知函数． （Ⅰ）若函数为奇函数，求实数的值； （Ⅱ）当，时，求函数在区间上的最小值． 函数的最值及应用 40．（2024春•海淀区期末）函数在上的最大值为 　　． 41．（2021秋•海淀区校级期末）已知，，则函数的最大值为 　　，最小值为 　　． 42．（2022秋•朝阳区期末）设函数的定义域为，如果，都有，且，已知函数的最大值为2，则可以是 　　． 43．（2023春•东城区校级期末）已知函数的最大值为，最小值为，则等于 　　． 抽象函数及其应用 44.（2023秋•房山区期末）已知函数满足，且在，上单调递减，对于实数，，则“”是“（a）（b）”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 45．（2022秋•东城区期末）函数的定义域为，若对任意的，，均有． （Ⅰ）若（1），证明：（2）； （Ⅱ）若对，，证明：在上为增函数； （Ⅲ）若（1），直接写出一个满足已知条件的的解析式． 答案不唯一）． 46．（2023春•东城区校级期末）是定义在上的减函数，满足，． （Ⅰ）求（1）、（3）的值； （Ⅱ）若，求的取值范围． 47．（2023秋•大兴区期末）已知函数对任意的，，都有成立．给出下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中所有正确结论的序号是 　　． 48.（2021秋•房山区期末）试写出函数，使得同时满足以下条件： ①定义域为，； ②值域为，； ③在定义域内是单调增函数． 则函数的解析式可以是 　　（写出一个满足题目条件的解析式）． 49.（2023秋•朝阳区期末）已知函数的图象是在上连续不断的曲线，在区间，上单调递增，且满足，（2），则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 50．（2022春•东城区校级期末）定义新运算⊕：当时，⊕；当时，⊕，则函数⊕⊕，，的最大值等于　　 A． B．1 C．6 D．12 51．（2022秋•房山区期末）已知函数，则　　 A．图象关于原点对称，且在，上是增函数 B．图象关于原点对称，且在，上是减函数 C．图象关于轴对称，且在，上是增函数 D．图象关于轴对称，且在，上是减函数 52．【多选】（2022秋•西城区校级期末）已知函数，则下列结论中正确的是　　 A．是偶函数 B．在上单调递增 C．的值域为 D．当时，有最大值 53．（2022秋•丰台区期末）已知函数的定义域为，满足，且当，时，．若，则的最大值是　　 A． B． C． D． 54．（2022秋•怀柔区期末）已知函数，，若（1）． （Ⅰ）求值； （Ⅱ）判断函数的奇偶性，并用定义给出证明； （Ⅲ）用定义证明在区间上单调递增． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的概念及性质 判断两个函数是否为同一函数 1．（2023秋•东城区期末）下列函数中，与是同一函数的是　　 A． B． C． D． 【解析】函数的定义域为， 对于，，且定义域为，与已知函数是同一函数，故正确， 对于，，所以与已知函数的解析式不同，故错误， 对于，，其中，与已知函数的定义域不同，故错误， 对于，，所以与已知函数的解析式不同，故错误． 故选：． 2．（2022秋•海淀区校级期末）下列函数，是同一函数的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 【解析】项，的定义域为，的定义域为，， 定义域不相同，所以不是同一个函数，故错误； 项，、的定义域均为，， 但，所以不是同一个函数，故错误； 项，与的定义域均为， 且，所以是同一个函数，故正确； 项，因为的定义域为，的定义域为， 定义域不相同，所以不是同一个函数，故错误． 故选：． 3．（2021秋•大兴区期末）能说明命题“如果函数与的对应关系和值域都相同，那么函数和是同一函数”为假命题的一组函数可以是　　，　　． 【解析】如果两个函数的对应关系和值域都相同，那么这两个函数不一定是同一函数， 如：，，，，，它们的定义域不同，不是同一函数． （答案为不唯一） 故答案为：，；，，． 求函数的定义域 4．（2024春•东城区期末）函数的定义域是 　　． 【解析】由题意得： ，解得：且， 故函数的定义域是，，， 故答案为：，，． 5．（2024春•西城区期末）函数的定义域为　　． 【解析】由，解得：，且． 函数的定义域为，，． 故答案为：，，． 6．（2022秋•密云区期末）函数的定义域是 　　． 【解析】由题意得： ， 解得：且； 故答案为：且． 7．（2022秋•海淀区校级期末）函数的定义域是 　　． 【解析】， ，且， 函数的定义域是且， 故答案为：且． 8．（2022秋•石景山区期末）函数的定义域为 　　． 【解析】函数， ， ， 或， 即的定义域为，，， 故答案为：，，． 已知函数的定义域求参数 9．（2022秋•丰台区校级期末）函数的定义域为，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D． 【解析】函数的定义域为，恒成立． 当时，求得函数的定义域为，不符合题意， 时，由，求得． 综上，的取值范围是，． 故选：． 10．（2021秋•东城区校级期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C． D．， 【解析】因为函数的定义域为， 所以恒成立， 所以△， ， 所以实数的取值范围是． 故选：． 求函数的值域 11．（2021秋•通州区期末）已知函数表示为： ， 0 ， 1 0 设（1），的值域为，则　　 A．，，0， B．， C．，，0， D．， 【解析】由函数关系知（1），即， 函数的值域为，0，， 故选：． 12．（2022秋•延庆区期末）函数的值域为 　　． 【解析】因为函数函数 则当时，，则， 当时，，则， 则函数的值域为，， 故答案为：，． 13．（2023春•东城区校级期末）函数的值域为 　　． 【解析】当时，，， 当时，， 故的值域为：． 故答案为：． 根据值域求参数的值或者范围 14．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是　　 A． B． C．， D．， 【解析】①当时， ， 即，； ②当时， ， 即，； 函数的值域为， ，， 故， 故； 故实数的取值范围是，， 故选：． 15．（2022秋•海淀区校级期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 　　． 【解析】当时，， 因为的值域为且时，， 当时，函数在上单调递增，的值域为，显然符合题意，‘ 当时，，当且仅当时取等号， 由题意得， 故， 综上的取值范围为，． 故答案为：，． 分段函数的解析式求法及其图象的作法 16．（2024春•朝阳区期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药小时后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系．据测定，每毫升血液中含药量不少于4毫克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病一直有效所持续的时长为　　 A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【解析】当时，则， 当时，设函数，将，代入可得， 解得，， 所以， 所以， 要使， 则，则， ，解得， 综上所述：， 所以有效所持续的时长为4个小时． 故选：． 17．（2023秋•丰台区期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求出当时，的解析式； （2）如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递减区间； （3）结合函数图象，求当，时，函数的值域． 【解析】（1）依题意，设，则， 于是， 因为为上的奇函数，因此， 所以当时，的解析式． （2）由已知及（1）得函数的图象如下： 观察图象，得函数的单调递减区间为：，，，． （3）当，时，由（1），（2）知，函数在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值， 而当时，有（1）， 所以，当，时，函数的值域为，． 18．（2022春•东城区校级期末）定义新运算⊕：当时，⊕；当时，⊕，则函数⊕⊕，，的最大值等于　　 A． B．1 C．6 D．12 【解析】由题意知 当时，，当时，， 又，在定义域上都为增函数，的最大值为（2）． 故选：． 函数单调性的判断 19．（2022秋•顺义区期末）下列函数中，在区间上是减函数的是　　 A． B． C． D． 【解析】：因为，所以函数在上是增函数，故错误； ：因为函数，，所以函数在上是增函数，故错误，； ：因为，所以函数在上是增函数，故错误； ：因为的图象开口向下，对称轴为轴， 所以函数在上单调递减，故正确， 故选：． 20．（2022秋•朝阳区期末）下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于，函数是定义域上的增函数，其值域是，不满足题意； 对于，函数是定义域上的增函数，且值域是，满足题意； 对于，函数是对勾函数，不是定义域，，上的增函数，不满足题意； 对于，函数不是定义域上的增函数，不满足题意． 故选：． 21．（2024春•通州区期末）下列函数中，在区间上单调递增的是　　 A． B． C． D． 【解析】在区间上单调递减，不符合题意； 在区间上不单调，不符合题意； 在区间上单调递增，符合题意； 在区间上单调递减，不符合题意． 故选：． 22．（2024春•朝阳区期末）下列函数中，在区间上单调递增的是　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于，，在区间上递减，不符合题意； 对于，，是反比例函数，在区间上递减，不符合题意； 对于，，是指数函数，在区间上递减，不符合题意； 对于，，是幂函数，在区间上递增，符合题意． 故选：． 23.（2024春•顺义区期末）下列函数中，在上为减函数的是　　 A． B． C． D． 【解析】项，，在上不是减函数； 项，在上为减函数； 项，，如图，在上不是减函数； 项，，反比例函数在上没有单调性． 故选：． 用定义法证明函数的单调性 24.（2021秋•石景山区期末）已知函数． （Ⅰ）用定义证明函数在区间上单调递增； （Ⅱ）对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【解析】（Ⅰ）证明：任取， 则 ， ， ，，， ，即． 函数在上单调递增； （Ⅱ）解：函数在，内为增函数， 函数在，内的最大值为（4）， 在，上恒成立， ， 即实数的取值范围为，． 25.（2023秋•石景山区期末）已知函数的图像过点． （1）求实数的值； （2）判断在区间上的单调性，并用定义证明． 【解析】（1）将点代入函数中，可得，解得． （2）函数在区间上单调递增，证明如下． 由（1）可得， 任取，则 ，因为， 则，，，即， 所以，即， 所以在区间上单调递增． 26.（2021秋•石景山区期末）已知函数． （Ⅰ）用定义证明函数在区间上单调递增； （Ⅱ）对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【解析】（Ⅰ）证明：任取， 则 ， ， ，，， ，即． 函数在上单调递增； （Ⅱ）解：函数在，内为增函数， 函数在，内的最大值为（4）， 在，上恒成立， ， 即实数的取值范围为，． 函数单调性的应用 27.（2024春•通州区期末）已知命题：函数为上的增函数．能说明为假命题的一组，的值为　　，　　． 【解析】若函数为上的增函数， 则， 若为假命题，则只要即可． 故答案为：，（答案不唯一）． 28．（2022秋•门头沟区期末）已知是上的严格增函数，那么实数的取值范围是 　　． 【解析】因为是上的严格增函数， 故，解得， 故所求的范围是，． 故答案为：，． 29．（2022秋•台江区校级期末）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围为　　 A． B． C．， D． 【解析】①时，在上是增函数； 在上是增函数； 显然在，上不是增函数； 的情况不存在； ②时，在上是减函数； 在上是减函数； ； 解得； 综上得，实数的取值范围为． 故选：． 30.（2021秋•东城区期末）已知函数是定义在上的增函数，且（2），那么实数的取值范围为 　　． 【解析】函数是定义在上的增函数，且（2）， ， 解得， 故答案为：． 31.（2022秋•海淀区校级期末）已知函数的图像关于直线对称，当时，恒成立．设，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【解析】因为当时，恒成立． 所以函数在上单调递减， 又因为函数的图像关于直线对称， 所以，（2）， 因为， 所以，即． 故选：． 函数奇偶性的判断及应用 32．（2022秋•东城区期末）函数的图象关于　　 A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．直线对称 【解析】因为为奇函数， 故函数的图象关于原点对称． 故选：． 33．（2022秋•东城区期末）在下列函数中，为偶函数的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于选项，的定义域为，，即函数不为偶函数； 对于选项，的定义域为，，即函数不为偶函数； 对于选项，的定义域为，，，其定义域关于原点对称，，即函数为偶函数； 对于选项，的定义域为，，其定义域不关于原点对称，即函数不为偶函数， 故选：． 34．（2022秋•大兴区期末）下列函数中是奇函数的是　　 A． B． C． D． 【解析】对于，令，其定义域为，且， 所以为偶函数，故不正确； 对于，令，其定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故不正确； 对于，令，其定义域为，且， 所以为偶函数，故不正确； 对于，令，其定义域为，且， 所以为奇函数，故正确； 故选：． 35．（2023春•密云区期末）下列函数中，在上单调递增的奇函数是　　 A． B． C． D． 【解析】为非奇非偶函数，不符合题意； 在上单调递减，不符合题意； 为偶函数，不符合题意； 为奇函数，当时，函数单调递增，符合题意． 故选：． 36.（2024春•昌平区期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是　　 A． B． C． D． 【解析】由于的定义域，，不关于原点对称，不存在奇偶性，故排除； 由于是奇函数，在上不具有单调性，故排除； 由于是常函数，不具有单调性，排除； 由于是奇函数，且在区间上单调递增，符合题意． 故选：． 37．（2022秋•昌平区期末）设函数，则下列函数中为奇函数的是　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于，，其定义域为，不是奇函数； 对于，，不满足，不是奇函数； 对于，，其定义域为，不是奇函数； 对于，，其定义域为，满足，是奇函数； 故选：． 38．（2022秋•怀柔区期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则的值是　　 A．2 B． C． D． 【解析】根据题意，当时，，则（4）， 又由函数是定义在上的偶函数，则（4）， 故选：． 39.（2024春•通州区期末）已知函数． （Ⅰ）若函数为奇函数，求实数的值； （Ⅱ）当，时，求函数在区间上的最小值． 【解析】（Ⅰ）因为函数为奇函数，所以， 即，所以，所以． （Ⅱ）当，时，， 因为，所以 ，当且仅当时取等号，所以， 即函数在区间上的最小值为4． 函数的最值及应用 40．（2024春•海淀区期末）函数在上的最大值为 　　． 【解析】令， 则， 即， 所以可化为， 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当时取到等号，解得（负根舍去）， 所以此时， 所以此时最大值为1， 当时，因为函数在上单调递减， 得到，所以 所以，所以， 综上所述，函数在上的最大值为1． 故答案为：1． 41．（2021秋•海淀区校级期末）已知，，则函数的最大值为 　　，最小值为 　　． 【解析】观察函数是由对勾函数向上平移2个单位得到， 由对勾函数性质可知在递增，递减， ，， 故函数在取最大值， 当时，， 当时，， 所以最大值为，最小是为． 42．（2022秋•朝阳区期末）设函数的定义域为，如果，都有，且，已知函数的最大值为2，则可以是 　　． 【解析】因为函数的定义域为，如果，都有，且，该函数为偶函数， 又已知函数的最大值为2，故可取． 故答案为：． 43．（2023春•东城区校级期末）已知函数的最大值为，最小值为，则等于 　　． 【解析】， 则函数关于对称， 则最大值和最小值也关于对称， ，即． 故答案为：4． 抽象函数及其应用 44.（2023秋•房山区期末）已知函数满足，且在，上单调递减，对于实数，，则“”是“（a）（b）”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】根据题意，函数满足，则为偶函数， 若，则有，而在，上单调递减，则， 又由为偶函数，则有（a）（b）， 反之，若（a）（b），为偶函数，则有， 又由在，上单调递减，则有，变形可得， 故“”是“（a）（b）”的充要条件． 故选：． 45．（2022秋•东城区期末）函数的定义域为，若对任意的，，均有． （Ⅰ）若（1），证明：（2）； （Ⅱ）若对，，证明：在上为增函数； （Ⅲ）若（1），直接写出一个满足已知条件的的解析式． 【解析】（Ⅰ）证明：令，得（1）（1），所以（2）（1）． （Ⅱ）证明：设，原式中令，， 代入可得， 即， 由于，所以， 因此， 所以在上单调递增． （Ⅲ）解：，．（答案不唯一）． 46．（2023春•东城区校级期末）是定义在上的减函数，满足，． （Ⅰ）求（1）、（3）的值； （Ⅱ）若，求的取值范围． 【解析】（Ⅰ）已知是定义在上的减函数，满足， 令， 则（1）（1）， 即（1）， 又， 则， 即； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 又， 则， 又是定义在上的减函数， 则， 则， 即的取值范围为． 47．（2023秋•大兴区期末）已知函数对任意的，，都有成立．给出下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中所有正确结论的序号是 　　． 【解析】根据题意，函数对任意的，，都有成立， 则任意的，都有， 依次分析4个结论： 对于①，在中，令，有，正确； 对于②，令，有，满足，但，错误； 对于③，令，则有，变形可得， 又由，则，正确； 对于④，，变形可得， 由于，， 由基本不等式可得：， 又由，变形可得， 故， 即，④正确． 故答案为：①③④． 48.（2021秋•房山区期末）试写出函数，使得同时满足以下条件： ①定义域为，； ②值域为，； ③在定义域内是单调增函数． 则函数的解析式可以是 　　（写出一个满足题目条件的解析式）． 【解析】根据题意，可以为幂函数， 如； 故答案为：（答案不唯一）． 49.（2023秋•朝阳区期末）已知函数的图象是在上连续不断的曲线，在区间，上单调递增，且满足，（2），则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【解析】因为， 所以， 所以的图象关于点中心对称， 又因为（2）， 所以（2）， 又因为在区间，上单调递增， 所以在区间上单调递增， 作出函数的大致图象，如图所示： 又因为， 所以， 解得． 故选：． 50．（2022春•东城区校级期末）定义新运算⊕：当时，⊕；当时，⊕，则函数⊕⊕，，的最大值等于　　 A． B．1 C．6 D．12 【解析】由题意知 当时，，当时，， 又，在定义域上都为增函数，的最大值为（2）． 故选：． 51．（2022秋•房山区期末）已知函数，则　　 A．图象关于原点对称，且在，上是增函数 B．图象关于原点对称，且在，上是减函数 C．图象关于轴对称，且在，上是增函数 D．图象关于轴对称，且在，上是减函数 【解析】根据题意，函数， 其定义域为，有， 故函数为奇函数，其图象关于原点对称， 函数与在上都是减函数，则函数在上为减函数， 故选：． 52．【多选】（2022秋•西城区校级期末）已知函数，则下列结论中正确的是　　 A．是偶函数 B．在上单调递增 C．的值域为 D．当时，有最大值 【解析】因为函数，则，则函数为偶函数，故正确； 当时，当增大时，减小，随之增大，故在上单调递增，故正确； 又，则，故错误； 因为在单调递增，则在单调递减，则在处取得最大值，故正确， 故选：． 53．（2022秋•丰台区期末）已知函数的定义域为，满足，且当，时，．若，则的最大值是　　 A． B． C． D． 【解析】由已知得：自变量每减小2个单位，函数变为原来的2倍， 当，时，，，则在此基础上，，， 令，解得或，故的最大值为． 故选：． 54．（2022秋•怀柔区期末）已知函数，，若（1）． （Ⅰ）求值； （Ⅱ）判断函数的奇偶性，并用定义给出证明； （Ⅲ）用定义证明在区间上单调递增． 【解析】（Ⅰ）根据题意，函数，， 若（1）．即，解可得， （Ⅱ），是奇函数， 证明：根据题意，，其定义域为， 且， 故函数为奇函数； （Ⅲ）证明：设， 则， 又由，则，， 故， 函数在区间上单调递增． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$