第八单元专练篇·02：图形、数形、图式规律探究-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

1 / 5 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第八单元专练篇·02：图形、数形、图式规律探究 一、填空题。 1．如下图，用同样规格的黑白两色正方形摆图形。按此规律，摆第 6个图形需 要( )个黑色正方形，摆第 n个图形需要( )个白正方形。 2．如图，按规律摆六边形，第 9个六边形需要( )个小棒。 ………… 3．小明用面积是 1cm2的小正方形卡纸拼摆图形。像这样拼下去，第 5个图形要 用( )张小正方形卡纸，第 n个图形要用( )张。 4．下列图案是按一定的规律排列的，第 8个图案中共有( )个圆，第 n 个图案中有( )个圆。 5．探究数与形的秘密时，可以用不同的观察方法发现不同的算式。 横着观察： 算式：1×1＝1、2×2＝4、3×3＝9、 … 2 / 5 斜着观察： 算式：1、1＋2＋1＝4、1＋2＋3＋2＋1＝9、 … 形观察： 算式：1、1＋3＝4、1＋3＋5＝9、 … 回字形观察： 算式：1、4、1＋8＝9、 … 6．观察，图①的各数之和为 1，图②的各数之和为 17，图③的各数之和为 65，……。 图④中各数之和是( )。 7．按如图中的规律摆放，在第 10幅图形中有( )个空白小正方形，有 120 个阴影小正方形的是第( )幅图。 8．如图，第 1幅图有 1个点，第 2幅图有 3个点，第 3幅图有 6个点，第 4幅 图有( )个点，第 20幅图有( )个点，第( )幅图有 406个 点。 9．下图每个小三角形都是边长为 1厘米的等边三角形。按照图 1、图 2、图 3…… 3 / 5 这样的规律摆放，图 10共摆了( )个小三角形，图 10中最大三角形的周 长是( )厘米。 图 1 图 2 图 3 图 10 10． 1＋3＝（2）2 1＋3＋5＝（3）2 1＋3＋5＋7＝（4）2 结合上面的图和算式，我发现： 。 11．用黑、白两种颜色的圆摆图形。 …… 像这样继续摆下去，摆第 5幅图需要( )个〇；摆第 n幅图需要( ) 个〇。 12．观察下面每个图形中小正方形的排列规律并完成填空。 …… 2＝1×2 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝4×5 2＋4＋6＋8＋…＋20＝( )×( )＝( ) 二、选择题。 13．根据图中的信息，第六个图案所对应的式子是( )。 A．7＋1 B．62＋1 C．72＋1 D．82＋1 14．按照下面的规律，第 2019个图一共有( )个点。 4 / 5 A．2019 B．7086 C．8076 D．8072 【答案】C 【详解】根据图中的规律 15．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值 是( )。 A．86 B．32 C．158 D．74 16．笑笑用小棒以下面的方式摆六边形． 1个 2个 3个 摆 n个六边形要用小棒( )根。 A．6n B．5n+1 C．4n+3 17．用火柴拼三角形，如图： ，下列结论错误的是( )。 A．5个三角形要 11根 B．10个三角形要 21根 C．20个三角形要 41根 D．28个三角形要 58根 18．下面这组图形是按照一定规律排列的，照这样的规律，第 8个图形有 ( )个黑色小方形 5 / 5 A．26 B．24 C．22 D．20 19．1张长方形桌子可坐 6人，按如图方式将 8张桌子拼成一张大桌，共可坐 ( )人。 A．48 B．28 C．20 20．如表，照这样的规律摆下去，当图形中有 17个圆时，正方形有( ) 个 图形 … 正方形的个数 1 2 3 … 圆的个数 3 5 7 … A．8 B．9 C．18 D．35 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第八单元专练篇·02：图形、数形、图式规律探究 一、填空题。 1．如下图，用同样规格的黑白两色正方形摆图形。按此规律，摆第6个图形需要( )个黑色正方形，摆第个图形需要( )个白正方形。 【答案】 20 3n＋1/1＋3n 【分析】观察可知，黑色正方形个数＝第几个图形就用几×3＋2，白色正方形个数＝第几个图形就用几×3＋1，据此分析。 【详解】6×3＋2 ＝18＋2 ＝20（个） n×3＋1＝3n＋1（个） 摆第6个图形需要20个黑色正方形，摆第个图形需要（3n＋1）个白正方形。 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 2．如图，按规律摆六边形，第9个六边形需要( )个小棒。 ………… 【答案】46 【分析】摆1个六边形需要6根小棒，6＝1＋1×5，摆2个六边形需要11根小棒，11＝1＋2×5，摆3个六边形需要16根小棒，16＝1＋3×5，摆n个六边形需要的小棒数为：（1＋5n）根，据此解答。 【详解】由分析可知，摆n个六边形需要的小棒数为：（1＋5n）根。 当n＝9时， 1＋5×9 ＝1＋45 ＝46（根） 摆9个六边形需要46根小棒。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个六边形就多5根小棒是解本题的关键。 3．小明用面积是1cm2的小正方形卡纸拼摆图形。像这样拼下去，第5个图形要用( )张小正方形卡纸，第n个图形要用( )张。 【答案】 16 2n＋6 【分析】第1个图形要用小正方形卡纸：8张，8＝2×1＋6； 第2个图形要用小正方形卡纸：10张，10＝2×2＋6； 第3个图形要用小正方形卡纸：12张，12＝2×3＋6； …… 第n个图形要用小正方形卡纸：（2n＋6）张。 据此规律解答。 【详解】规律：第n个图形要用小正方形卡纸（2n＋6）张。 当n＝5时 2n＋6 ＝2×5＋6 ＝10＋6 ＝16（张） 第5个图形要用16张小正方形卡纸，第n个图形要用（2n＋6）张。 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 4．下列图案是按一定的规律排列的，第8个图案中共有( )个圆，第n个图案中有( )个圆。 【答案】 81 n2＋2n＋1 【分析】观察题意可知，第1个图案的白圆有1个，第2个图案的白圆有（2×2）个，第3个图案的白圆有（3×3）个，……以此类推，第n个图案的白圆有n2个；第1个图案的黑圆有（1＋2）个，第2个图案的黑圆有（1＋2＋2）个，第3个图案的黑圆有（1＋2＋2＋2）个，……以此类推，第n个图案的黑圆有（1＋2n）个，所以第n个图案共有（n2＋2n＋1）个圆。据此解答。 【详解】第1个图案的白圆个数：1＝1×1 第2个图案的白圆个数：4＝2×2 第3个图案的白圆个数：9＝3×3 …… 第n个图案的白圆个数：n2＝n×n 第1个图案的黑圆个数：3＝1＋2 第2个图案的黑圆个数：5＝1＋2×2 第3个图案的黑圆个数：7＝1＋2×3 …… 第n个图案的黑圆个数：1＋2n 第n个图案的圆总个数：n2＋2n＋1 当n＝8时， n2＋2n＋1 ＝8×8＋8×2＋1 ＝64＋16＋1 ＝81（个） 第8个图案中共有81个圆，第n个图案中有（n2＋2n＋1）个圆。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。 5．探究数与形的秘密时，可以用不同的观察方法发现不同的算式。 横着观察： 算式：1×1＝1、2×2＝4、3×3＝9、 … 斜着观察： 算式：1、1＋2＋1＝4、1＋2＋3＋2＋1＝9、 … 形观察： 算式：1、1＋3＝4、1＋3＋5＝9、 … 回字形观察： 算式：1、4、1＋8＝9、 … 【答案】 4×4＝16 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16 1＋3＋5＋7＝16 4＋12＝16 【分析】横着观察：第1个图形只有1个小正方形；第2个图形有2行，每行2个小正方形；第3个图形有3行，每行3个小正方形；第4个图形有4行，每行4个小正方形……小正方形的总个数＝行数×每行小正方形的个数； 斜着观察：第1个图形只有1个小正方形；第2个图形有（1＋2＋1）个小正方形；第3个图形有（1＋2＋3＋2＋1）个小正方形；第4个图形有（1＋2＋3＋4＋3＋2＋1）个小正方形…… 形观察：第1个图形只有1个小正方形；第2个图形比第1个图形多3个小正方形，一共有（1＋3）个小正方形；第3个图形比第2个图形多5个小正方形，一共有（1＋3＋5）个小正方形；第4个图形比第3个图形多7个小正方形，一共有（1＋3＋5＋7）个小正方形…… 回字形观察：第1个图形只有1个小正方形；第2个图形有4个小正方形；第3个图形有1个黑色小正方形和8个白色小正方形，一共有（1＋8）个小正方形；第4个图形有4个黑色小正方形和12个白色小正方形，一共有（4＋12）个小正方形…… 【详解】横着观察：1×1＝1、2×2＝4、3×3＝9、4×4＝16… 斜着观察：1、1＋2＋1＝4、1＋2＋3＋2＋1＝9、1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16… 形观察：1、1＋3＝4、1＋3＋5＝9、1＋3＋5＋7＝16… 回字形观察：1、4、1＋8＝9、4＋12＝16… 【点睛】本题主要考查数形结合思想的应用，根据题中的观察方式找出算式的规律是解答题目的关键。 6．观察，图①的各数之和为1，图②的各数之和为17，图③的各数之和为65，……。图④中各数之和是( )。 【答案】161 【分析】观察可知，除了1只有1个以外，其它每一圈的数的个数都与相邻一圈的数的个数差8，所以图4中的各数之和＝1＋2×1×8＋3×2×8＋4×3×8。 【详解】根据分析： 1＋2×1×8＋3×2×8＋4×3×8 ＝1＋16＋48＋96 ＝161 图④中各数之和是161。 【点睛】关键是仔细观察表中数字的规律，找出规律，根据规律算出下一个表中的数字之和。 7．按如图中的规律摆放，在第10幅图形中有( )个空白小正方形，有120个阴影小正方形的是第( )幅图。 【答案】 100 29 【分析】空白正方形第一幅有1个，第二幅有2×2个，第三幅有3×3个，……，第10幅可求；阴影小正方形第一幅有（1×4＋4）个，第二幅有（2×4＋4）个，第三幅有（3×4＋4），……，第n幅有（4n＋4）个，根据关系可得有120个阴影小正方形的图形的顺序数。 【详解】由分析可得：第10幅有：10×10＝100（个） 阴影小正方形第一幅有（1×4＋4）个，第二幅有（2×4＋4）个，第三幅有（3×4＋4），…第n幅有（4n＋4）个。 4n＋4＝120 解：4n＋4－4＝120－4 4n＝116 4n÷4＝116÷4 n＝29 【点睛】仔细观察，比较总结规律是解决本题的关键。 8．如图，第1幅图有1个点，第2幅图有3个点，第3幅图有6个点，第4幅图有( )个点，第20幅图有( )个点，第( )幅图有406个点。 【答案】 10 210 28 【分析】由图中可得：第4幅图有10个点，根据四幅图可看出从第二幅图开始，第二幅图比第一幅图增加2个点，第三幅图增加3个点，第四幅图增加4个点。依可得到规律：第二幅图开始比前一幅图增加2个点，第n幅图比前一个增加n个点。根据这个规律可得出答案。 【详解】第4幅图有10个点。第20幅图有个点；一幅图有406个点，，即第28幅图有406个点。 【点睛】本题主要考查的是图形数量的规律，解题的关系是细致观察每个图形，进而得出变化规律得出答案。 9．下图每个小三角形都是边长为1厘米的等边三角形。按照图1、图2、图3……这样的规律摆放，图10共摆了( )个小三角形，图10中最大三角形的周长是( )厘米。 图1       图2        图3              图10 【答案】 100 30 【分析】观察题意可知，图1摆了1个三角形，图2摆了4个三角形，图3摆了9个三角形，……以此类推可知，图n摆了n2个三角形；图1最大三角形的边长是1厘米，图2最大三角形的边长是2厘米，图3最大三角形的边长是3厘米，……以此类推可知，图n最大三角形的边长是n厘米；已知等边三角形的三条边相等，所以图n最大三角形的周长为3n厘米。 【详解】图1摆了1个三角形， 1＝1×1 图2摆了4个三角形， 4＝2×2 图3摆了9个三角形， 9＝3×3 …… 图n摆的三角形个数：n2。 当n＝10时， 10×10＝100（个） 因为图n最大三角形的边长是n厘米， 所以图n最大三角形的周长为3n厘米， 当n＝10时， 3×10＝30（厘米） 图10共摆了100个小三角形，图10中最大三角形的周长是30厘米。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。 10． 1＋3＝（2）2        1＋3＋5＝（3）2            1＋3＋5＋7＝（4）2 结合上面的图和算式，我发现： 。 【答案】算式左边的加数是每个正方形图左下角的小正方形和其他“”形图中所包含的小正方形个数之和，正好等于每个正方形图中每列小正方形个数的平方 【分析】观察图形可以发现算式左边的加数是每个正方形图左下角的小正方形和其他“”形图中所包含的小正方形个数之和，正好等于每个正方形图中每列小正方形个数的平方，据此解答即可。 【详解】1＋3＝（2）2 1＋3＋5＝（3）2 1＋3＋5＋7＝（4）2 我发现：算式左边的加数是每个正方形图左下角的小正方形和其他“”形图中所包含的小正方形个数之和，正好等于每个正方形图中每列小正方形个数的平方。（答案不唯一） 【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是找到题中的规律。 11．用黑、白两种颜色的圆摆图形。 …… 像这样继续摆下去，摆第5幅图需要( )个〇；摆第n幅图需要( )个〇。 【答案】 12 【分析】观察图形，摆第1幅图需要4个〇，摆第2幅图需要（4＋2）个〇，摆第3幅图需要（4＋2×2）个〇，可见，当前图形中〇的个数比前一个图形中〇的个数多2个，依次类推，算出摆第5幅图需要多少个〇。继而求出摆第n幅图需要个〇。 【详解】根据分析得， 4＋2×（5－1） ＝4＋2×4 ＝4＋8 ＝12（个） ＝4＋2×n－2×1 ＝4－2＋2n ＝（2n＋2）个 即摆第5幅图需要12个〇；摆第n幅图需要（2n＋2）个〇。 【点睛】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。 12．观察下面每个图形中小正方形的排列规律并完成填空。 …… 2＝1×2  2＋4＝2×3   2＋4＋6＝3×4      2＋4＋6＋8＝4×5 2＋4＋6＋8＋…＋20＝( )×( )＝( ) 【答案】 10 11 110 【分析】观察每个图形和对应的算式发现：每个等式左边的最后一个加数除以2，等于等式右边的第一个乘数，第二个乘数是第一个乘数加上1，据此解答。 【详解】20÷2＝10 2＋4＋6＋8＋10＋12＋14 ＋16＋18＋20 ＝10×11 ＝110 【点睛】本题主要考查算式的规律，解题的关键是根据已知算式找出解决问题的规律。 二、选择题。 13．根据图中的信息，第六个图案所对应的式子是( )。 A．7＋1 B．62＋1 C．72＋1 D．82＋1 【答案】B 【详解】略 14．按照下面的规律，第2019个图一共有( )个点。 A．2019 B．7086 C．8076 D．8072 【答案】C 【详解】根据图中的规律 （1）-（4）点数为别为4=1×4,8=2×4,12=3×4，16=4×4，所以（n）的点数为n×4=4n 第2019个图的点数为4×2019=8076 故答案为C． 15．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是( )。 A．86 B．32 C．158 D．74 【答案】C 【分析】通过观察可以发现：左上角，左下角，右上角为三个连续的偶数。右下角的数是左上角与右上角的乘积减去左上角的数的差，根据此规律先求出阴影部分的两个数，再列式进行计算即可解答。 【详解】根据排列规律：10下面的数是12，右边的数是14，又因为：8＝2×4－0；22＝4×6－2；44＝6×8－4；所以m＝12×14－10＝158。 故答案选：C 【点睛】本题考查了数字排列的规律。 16．笑笑用小棒以下面的方式摆六边形． 1个      2个         3个 摆n个六边形要用小棒( )根。 A．6n B．5n+1 C．4n+3 【答案】B 【分析】第一个图形需要六根小棒，以后每加一个六边形，只需要加五根小棒即可，进而找出规律。 【详解】1个六边形，需要5+1=6根小棒。 2个六边形，需要5×2+1=11根小棒。 3个六边形，需要5×3+1=16根小棒。 n个六边形，需要5×n+1根小棒。 故答案为：B 【点睛】本题考查数与形的知识，根据图形找出规律。 17．用火柴拼三角形，如图：，下列结论错误的是( )。 A．5个三角形要11根 B．10个三角形要21根 C．20个三角形要41根 D．28个三角形要58根 【答案】D 【解析】略 18．下面这组图形是按照一定规律排列的，照这样的规律，第8个图形有( )个黑色小方形 A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】C 【详解】第一个图形中黑色正方形有：8个； 第二个图形中黑色正方形有：8+2＝10（个）； 第三个图形中黑色正方形有：8+2+2＝12（个）； …… 第n个图形中黑色正方形有：8+（n﹣1）×2＝（2n+6）（个）． 所以，第8个图形中黑色小正方形个数为： 2×8+6 ＝16+6 ＝22（个） 答：第8个图形有22个黑色小方形． 故选C． 19．1张长方形桌子可坐6人，按如图方式将8张桌子拼成一张大桌，共可坐( )人。 A．48 B．28 C．20 【答案】C 【详解】略 20．如表，照这样的规律摆下去，当图形中有17个圆时，正方形有( )个 图形 … 正方形的个数 1 2 3 … 圆的个数 3 5 7 … A．8 B．9 C．18 D．35 【答案】A 【详解】根据题意得：n个正方形，就有（2n+1）个圆； 图形中有17个圆时，正方形有： 2n+1＝17 2n＝16 n＝8 答：当图形中有17个圆时，正方形有8个。 故选：A 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第八单元专练篇·02：图形、数形、图式规律探究 一、填空题。 1．如下图，用同样规格的黑白两色正方形摆图形。按此规律，摆第6个图形需要( )个黑色正方形，摆第个图形需要( )个白正方形。 2．如图，按规律摆六边形，第9个六边形需要( )个小棒。 ………… 3．小明用面积是1cm2的小正方形卡纸拼摆图形。像这样拼下去，第5个图形要用( )张小正方形卡纸，第n个图形要用( )张。 4．下列图案是按一定的规律排列的，第8个图案中共有( )个圆，第n个图案中有( )个圆。 5．探究数与形的秘密时，可以用不同的观察方法发现不同的算式。 横着观察： 算式：1×1＝1、2×2＝4、3×3＝9、 … 斜着观察： 算式：1、1＋2＋1＝4、1＋2＋3＋2＋1＝9、 … 形观察： 算式：1、1＋3＝4、1＋3＋5＝9、 … 回字形观察： 算式：1、4、1＋8＝9、 … 6．观察，图①的各数之和为1，图②的各数之和为17，图③的各数之和为65，……。图④中各数之和是( )。 7．按如图中的规律摆放，在第10幅图形中有( )个空白小正方形，有120个阴影小正方形的是第( )幅图。 8．如图，第1幅图有1个点，第2幅图有3个点，第3幅图有6个点，第4幅图有( )个点，第20幅图有( )个点，第( )幅图有406个点。 9．下图每个小三角形都是边长为1厘米的等边三角形。按照图1、图2、图3……这样的规律摆放，图10共摆了( )个小三角形，图10中最大三角形的周长是( )厘米。 图1       图2        图3              图10 10． 1＋3＝（2）2        1＋3＋5＝（3）2            1＋3＋5＋7＝（4）2 结合上面的图和算式，我发现： 。 11．用黑、白两种颜色的圆摆图形。 …… 像这样继续摆下去，摆第5幅图需要( )个〇；摆第n幅图需要( )个〇。 12．观察下面每个图形中小正方形的排列规律并完成填空。 …… 2＝1×2  2＋4＝2×3   2＋4＋6＝3×4      2＋4＋6＋8＝4×5 2＋4＋6＋8＋…＋20＝( )×( )＝( ) 二、选择题。 13．根据图中的信息，第六个图案所对应的式子是( )。 A．7＋1 B．62＋1 C．72＋1 D．82＋1 14．按照下面的规律，第2019个图一共有( )个点。 A．2019 B．7086 C．8076 D．8072 【答案】C 【详解】根据图中的规律 15．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是( )。 A．86 B．32 C．158 D．74 16．笑笑用小棒以下面的方式摆六边形． 1个      2个         3个 摆n个六边形要用小棒( )根。 A．6n B．5n+1 C．4n+3 17．用火柴拼三角形，如图：，下列结论错误的是( )。 A．5个三角形要11根 B．10个三角形要21根 C．20个三角形要41根 D．28个三角形要58根 18．下面这组图形是按照一定规律排列的，照这样的规律，第8个图形有( )个黑色小方形 A．26 B．24 C．22 D．20 19．1张长方形桌子可坐6人，按如图方式将8张桌子拼成一张大桌，共可坐( )人。 A．48 B．28 C．20 20．如表，照这样的规律摆下去，当图形中有17个圆时，正方形有( )个 图形 … 正方形的个数 1 2 3 … 圆的个数 3 5 7 … A．8 B．9 C．18 D．35 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$