第五章三角函数章末检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章三角函数章末检测 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，终边过点，则等于（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知函数在内恰有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若 ，且 ，则 的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（   ） A． B． C． D． 6．为得到函数的图象，只需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 7．设函数，则下列结论中正确的是（    ） ①的图象关于点对称 ； ②的图象关于直线对称； ③在上单调递减; ④在上的最小值为0. A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 8．已知函数，且是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数的最大值为，其部分图象如图所示，则（    ） A． B．函数为偶函数 C．在上恰有4个零点，则 D．当时，函数的值域为 10．函数在一个周期内的图象如图所示，则（     ）． A．该函数的解析式为 B．该函数图象的对称轴方程为， C．该函数的单调递增区间是， D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象 11．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则 13．已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得图象与曲线关于原点对称，则 ． 14．已知函数，，若对满足的任意都有，且存在，，使得，则的取值集合为 ．（参考数据：） 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 设函数 (1)求函数的最小正周期，并解不等式； (2)先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变；再向左平移 个单位；最后向下平移 个单位得到函数的图象．若对，不等式恒成立，求实数的取值范围 16.（本小题15分） 已知函数在上的值域为. (1)求； (2)将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，求的解析式与单调递增区间. 17.（本小题15分） 已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 18.（本小题17分） 已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象. （i）求的解析式及值； （ii）求在上的值域. 19.（本小题17分） 已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数． (1)类比等式，请探究与，之间的等量关系，并给出证明过程； (2)求函数的零点； (3)解关于的不等式： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章三角函数章末检测解析版 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，终边过点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知得， 则， 故选：C. 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为，， 所以 解得， 所以. 故选：A 3．已知函数在内恰有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 由在内恰有两个零点，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 4．若 ，且 ，则 的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，由诱导公式可得， 所以， 由知，， 所以，当且仅当即时，等号成立. 所以 的最大值为. 故选：C 5．如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】观察图象可得函数的最小正周期为， 所以，故或，排除B； 观察图象可得当时，函数取最小值， 当时，可得，， 所以，，排除C； 当时，可得，， 所以，， 取可得，， 故函数的解析式可能为，A正确； ，D错误 故选：A. 6．为得到函数的图象，只需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【详解】， 所以将函数的图象向左平移个单位长度， 得到. 故选：A 7．设函数，则下列结论中正确的是（    ） ①的图象关于点对称 ； ②的图象关于直线对称； ③在上单调递减; ④在上的最小值为0. A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】对于①，当，，故①正确； 对于②,当，，故②正确； 对于③，当，，则在单调递减，故③正确； 对于④，当，，则在上单调递增，在单调递减，则，故④错误. 故选：A. 8．已知函数，且是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为奇函数，即， 且函数的定义域为，所以，， 可得，解得， 所以，， 则为奇函数，合乎题意. 因此，. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数的最大值为，其部分图象如图所示，则（    ） A． B．函数为偶函数 C．在上恰有4个零点，则 D．当时，函数的值域为 【答案】ABC 【详解】对于选项A：因为， 由图象可知：函数的最小正周期， 且，则，解得，可得，故A正确； 对于选项B：由图可知：当时，函数取到最大值， 则， 整理可得，解得， 则， 所有为偶函数，故B正确； 对于选项C：令，可得， 因为，则， 若在上有4个零点， 则，解得，故C正确； 对于选项D：因为， 又因为，则，可得， 所以函数的值域为，故D错误； 故选：ABC. 10．函数在一个周期内的图象如图所示，则（     ）．    A．该函数的解析式为 B．该函数图象的对称轴方程为， C．该函数的单调递增区间是， D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象 【答案】ACD 【详解】由题图可知，，周期， 所以，则， 因为当时，，即， 所以，，即，， 又，故， 从而，故A正确； 令，，得，，故B错误； 令，， 得，，故C正确； 函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变， 可得到，故D正确． 故选:ACD 11．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数是 【答案】BC 【详解】由图象可知：，，所以，又，所以. 又由，且，所以. 所以. 对A：因为，所以不是函数的对称中心，故A错误； 对B：因为，故B正确； 对C：由，所以，所以，故C正确； 对D：把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得，再把所得函数图象向右平移个单位，得，故D错误. 故选：BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则 【答案】 【详解】， 则由，有，即， 的周期，故，又，故， 则有，解得， 又，故. 故答案为：. 13．已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得图象与曲线关于原点对称，则 ． 【答案】 【详解】将的图象向左平移个单位长度，得到图象对应解析式为， 若与曲线关于原点对称，可得，即 由于不恒等于0，所以，故． 故答案为：． 14．已知函数，，若对满足的任意都有，且存在，，使得，则的取值集合为 ．（参考数据：） 【答案】 【详解】因为对满足的任意都有， 所以图象的对称轴都是图象的对称轴，又， 所以其图象关于直线对称，所以， 所以，易知的值域为，的值域为． 若存在，，使得，则， 所以，所以， 因为，，所以的值可能为4，5，6，7，8，即的取值集合为． 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 设函数 (1)求函数的最小正周期，并解不等式； (2)先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变；再向左平移 个单位；最后向下平移 个单位得到函数的图象．若对，不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， 令，则， 故，解得， 故不等式的解为； （2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变；可得， 再向左平移 个单位，可得；最后向下平移 个单位得到函数， 当，由于在单调递增，故， 所以， 由于，故，即. 16.（本小题15分） 已知函数在上的值域为. (1)求； (2)将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，求的解析式与单调递增区间. 【答案】(1) (2)，单调递增区间为() 【详解】（1）因为，所以， 令，因为，所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，， 所以，且， 所以. （2）的图象上所有点的横坐标变为原来的可得， 的图象上所有点的纵坐标变为原来两倍可得； 令， 所以， 所以的单调递增区间为(). 17.（本小题15分） 已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）若，则， 因为，所以， 所以当，即时， 函数，取最大值； 当，即时， 函数，取最小值， 所以，函数，的值域为； （2）由， 因为最小正周期为，所以， 即，则. 令，，则. 于是函数在上恰有3个零点， 等价于函数在上恰有3个零点， 作出函数的图像可得， 解得. 所以，的取值范围为.    18.（本小题17分） 已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象. （i）求的解析式及值； （ii）求在上的值域. 【答案】(1) (2)（i）；1；（ii）. 【详解】（1）由图可知，，，所以，. 将点代入得，. 又，所以， 所以. （2）（i）将的图象向左平移个单位长度， 得， 再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得， 所以， 所以； （ii）因为，所以，， 所以， 所以， 所以， 故在上的值域为. 19.（本小题17分） 已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数． (1)类比等式，请探究与，之间的等量关系，并给出证明过程； (2)求函数的零点； (3)解关于的不等式： 【答案】(1)；证明见解析 (2)， (3)答案见解析 【详解】（1）由条件类比得到， 证明如下：因为， ， 所以； （2）因为， 令，则，即， 即，解得或， 又，所以，于是， 整理得， 于是或， 解得或， 所以函数的零点为，； （3）因为， ， 所以原不等式可化为， 于是，整理得， 也即 当时，原不等式的解集为； 当时， 令可得或，且， 原不等式的解集为； 当时， 令可得或，且， 原不等式的解集为 综上所述不等式的解集是： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$