2025年九年级数学中考复习二次函数的最值专题提升训练

2025年九年级数学中考复习 二次函数的最值专题提升训练 1．已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)当时，求该二次函数的最大值和最小值． 2．一种新上市的文具，进价为元，试销阶段发现：当销售单价是元时，每天的销售量为件，销售单价每上涨元，每天的销售量就减少件．求当涨价多少元时，该文具每天的“销售利润”最大或“销售收入”最大？并求出其最大值． 3．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如，，都是“纵三倍点”． (1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是_______（填序号），并计算说明理由； ①；②；③． (2)若抛物线（，是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，w的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … 12 13 14 … 每天销售数量/件 … 36 34 32 … (1)求出y与x之间的函数解析式，写出自变量取值范围． (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 5．已知二次函数． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)在（1）条件下，当时，求y的取值范围． 6．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为2，则称该点为“基准偶和点”．例如：、、 都是“基准偶和点”． (1)下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是 ；（填序号）     ①；②；③； (2)已知抛物线 （m、n均为常数） 与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，求抛物线的解析式； (3)抛物线 （a、b均为常数，） 的图象上有且只有一个“基准偶和点”，令 是否存在一个常数t，使得当时，w有最小值恰好等于，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 7．已知二次函数的图象经过和两点，如图所示． (1)求这个二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标； (2)求该二次函数在范围内的最大值与最小值； (3)请直接写出不等式的解集． 8．已知顶点为D的抛物线上有任意两点，，满足以下三个条件中的任意两个： i．抛物线与y轴的交点坐标为． ii．当时，总有 iii．抛物线上只有一个点到x轴的距离为2． (1)从以上条件中任选两个，求b，c的值； (2)点M是抛物线的点，当时，求点M到直线距离的最小值． 9．已知，抛物线经过点． (1)求抛物线的对称轴； (2)若点在抛物线上，将抛物线向左平移2个单位长度得抛物线．当时，求函数的最大值与最小值． (3)抛物线与轴交点为（点在点左边）．若，求证． 10．如图，抛物线与直线交轴、轴于、两点，与轴的另一个交点为，是直线上方抛物线上的一动点，轴于点，交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)连接、，求四边形面积最大值． 11．在平面直角坐标系中，抛物线． (1)，是抛物线上不重合的两点，当时，，求该抛物线的解析式． (2)是抛物线上一点，且． ①若，当时，求n的最小值． ②当时，n的最小值是5，求m的值． 12．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的任意一点（不与点重合），且点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． (1)求点的坐标； (2)当点到轴的距离为时，求的值； (3)当图象的最大值与最小值的差为时，求的取值范围． 13．已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，求面积的最大值； (3)如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标． 14．已知抛物线 (1)①抛物线的对称轴为直线_______；（用含a的代数式表示） ②若时，始终有y随着x的增大而增大，求a的取值范围； (2)若时，抛物线经过点，试比较和的大小，并说明理由； (3)y的最小值随着a的变化而变化，求函数值y的最小值中的最大值． 15．平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l，顶点为D点． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)连接，判断的形状； (3)当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t、，求m的值； (4)沿y轴向下平移抛物线，可否使得抛物线与直线恰好只有一个公共点P？若可以，请求出抛物线平移的距离和点P的坐标；若不可以，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)次函数的表达式为，对称轴为直线 (2)最大值为8，最小值为 2．当涨价元时，该文具每天的“销售利润”最大，“销售利润”为元 3．(1)①③ (2)或 4．(1) (2)元 (3)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元 5．(1) (2) 6．(1) (2) (3)或 7．(1)， (2)最大值为10，最小值为 (3)或 8．(1)0， (2) 9．(1) (2)7； 10．(1) (2) (3) 11．(1) (2)①；② 12．(1) (2)的值为或或或； (3)的取值范围是或． 13．(1) (2)12 (3)点的坐标为 14．(1)①；②； (2)当时，；当时，；当时，； (3)函数值y的最小值中的最大值为． 15．(1)抛物线的解析式为，顶点的坐标为 (2)为直角三角形 (3) (4)当抛物线沿y轴向下平移个单位长度时，抛物线与直线恰好只有一个公共点P，公共点的坐标为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$