2025年中考数学高频压轴题训练——特殊三角形问题（二次函数综合）

2025年中考数学高频压轴题训练—— 特殊三角形问题（二次函数综合） 1．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当是等边三角形时，求P点的坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求A点和点B的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； 3．如图，抛物线经过A（－1，0）、B（5，6）两点，点是线段上一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求线段的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一个动点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，点P为直线L上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若过点C的直线交线段于点M，且，求直线的解析式； (3)如图2，过P点作轴交直线AC于点E，连接．当为直角三角形时，求点P的坐标． 5．如图，已知二次函数的图象经过A（3，0），B（0，1），C（2，2）三点. （1）求二次函数的解析式； （2）设点D（，m ）在二次函数的图象上，将∠ACB绕点C按顺时针方向旋转至∠FCE，使得射线CE与轴的正半轴交于点E，且经过点D，射线CF与线段OA交于点F．求证：BE＝2FO； （3）是否存在点H（n，2），使得点A、D、H构成的△ADH是直角三角形？若存在，有几个符合条件的点H？（直接回答，不必说明理由） 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且，与轴的另一个交点为点，顶点为． (1)求该抛物线的顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴上下平移，平移后所得新抛物线顶点为，点的对应点为． ①如果点落在线段上，请判断的形状，并说明理由； ②设直线与轴正半轴交于点，与线段交于点，当时，求平移后新抛物线的表达式． 7．如图1，在△ABC中，点P为BC边上一点，设BP＝x，AP2＝y，已知y是x的二次函数的一部分，其图象如图2，点Q（2，12）是图象上的最低点，且图象与y轴交于（0，16）． （1）求y关于x的函数解析式； （2）当△ABP为直角三角形时，BP的值是多少？ 8．已知直线，抛物线：． (1)若抛物线经过，两点，且抛物线的顶点在直线上，求此时抛物线的顶点坐标； (2)若把直线向上平移个单位长度得到直线，且无论非零实数为何值，直线与抛物线都只有一个交点． ①求此时抛物线的解析式； ②已知是过点且平行于轴的直线，点是此抛物线上的一个动点（点不在轴上），过点作直线轴与直线交于点，为原点，求证是等腰三角形． 9．二次函数图象的顶点在原点O，且过点（1，1），点F（0，）在y轴上，直线与y轴交于点H， （1）求二次函数的解析式； （2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：FM平分∠OFP； （3）当点P横坐标为时，过O点作OQ⊥OP交抛物线于点Q，在y轴上找点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标.    10．如图甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”． （1）证明：ABCD=PBPD． （2）如图乙，也是一个“三垂图”，上述结论成立吗？请说明理由． （3）用以上方法解决下列问题：已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，-3），顶点为P，如图丙所示，若Q是抛物线上异于A、B、P的点，使得∠QAP=90°，求Q点坐标． 11．将抛物线C：向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移得到抛物线．抛物线的顶点在y轴上． (1)分别求抛物线的顶点坐标及抛物线的解析式； (2)点A在抛物线对称轴右侧的图像上，点B在抛物线的对称轴上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； (3)如图，直线（，k为常数）与抛物线交于E，F两点，M为线段EF的中点直线与抛物线交于G，H两点，N为线段GH的中点，求证：直线MN经过一个定点． 12．如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A(1，4)为抛物线的顶点，点B在x轴正方向上． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在抛物线第三象限的图象上，且到x轴、y轴的距离相等， ①证明：POB≌POC； ②直接写出OP的长； (3)若点Q是y轴上一点，且ABQ为直角三角形，求点Q的坐标． 13．如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q． (1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式； (2)判断△BDC的形状，并给出证明；当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的坐标； (3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由． 14．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）求证：∠DAB=∠ACB； （3）点Q在抛物线上，且△ADQ是以AD为底的等腰三角形，求Q点的坐标． 15．如图，点P是直线上的点．过点P的另一条直线交抛物线于A，B两点．    (1)若直线的解析式为，求，两点的坐标； (2)①若点P的坐标为，当时，请直接写出点A的坐标； ②试证明，如图②，对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得成立； (3)设直线l交y轴于点C，如图③，若的外心在边上，且，求点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)二次函数的解析式为； (3)点P的坐标为或． 2．(1)； (2)是直角三角形 3．（1）y=x2-3x-4；（2）9；（3）存在，点P的坐标为， ，， 4．(1) (2) (3)或 5．（1）二次函数的解析式为； （3）存在4个符合条件的点H，使得点A、D、H构成的△ADH是直角三角形． 6．(1)顶点 (2)①等腰直角三角形，② 7．（1）y＝x2﹣4x+16（0≤x≤12）；（2）当△ABP为直角三角形时，BP的值是2或8． 8．(1)； (2)①； 9．（1）y＝x2；（3）C点坐标为（0，）或（0，-）或（0,1）. 10．（3）（，）． 11．(1)C1的顶点坐标是（2，-6），C2：y＝x2﹣6； (2)A（4，﹣2）或（5，3）； 12．(1) (2)② (3)Q(0，3.5)或Q(0，﹣1.5)或Q(0，1)或Q(0，3) 13．(1)y=﹣x2+3x+4 (2)△BDC是直角三角形 △POC是等腰三角形时，点P坐标是（﹣1+，1+）或（2，4） (3)①不能成为菱形②能成为等腰梯形，点P的坐标是（2.5，4.5） 14．（1）（﹣1，4）；（2）∠DAB=∠ACB；（3） ， 15．(1)，； (2)①的坐标为或 (3)． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$