2024-2025学年人教版 数学 九年级上册第二十四章 圆——【小专题——圆中的阴影面积问题】

数学（人教版）| 九年级（上） 同步练习 第二十四章 圆 【小专题——圆中的阴影面积问题】 1．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以A，B，C，D为圆心，2为半径画圆弧围成如图所示的阴影部分．则阴影部分的周长为（　　） A．π B． C． D． 2． 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝5m，OB＝3m，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C．4π D． 3．如图，直径AB＝12的半圆绕点B按顺时针方向旋转30°，此时A到了点A′的位置，则图中阴影部分的面积是（　　） A．2π B．3π C．4π D．12π 4．如图，AB为⊙O的直径，AD交⊙O于点F，点C是弧BF的中点，连接AC．若∠CAB＝30°，AB＝2，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 5．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 6．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深的地方高度为2cm，则该输水管的半径为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 7．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，将绕着点A顺时针旋转一定的角度后得到 ，交AB于E点，若点D在⊙O上，AO＝5EO＝5，则阴影部分的面积为（　　） A．8 B．16 C．4+π D．6﹣π 8．如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，连接OD，与⊙O交于点F，连接AE，且∠A＝∠D． （1）求证：点F是的中点； （2）若∠A＝∠C，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为 　 　． 9．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆经过A、B两点，且与BC边交于点E，OD⊥BE，连接AD交BC于点F，若AC＝FC． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径是6，∠ADB＝60°，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 10．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AD是⊙O的弦，AD∥OC，延长CD、BA相交于点E． （1）求证CE是⊙O的切线； （2）若A恰好是OE的中点，AD＝3，则阴影部分的面积为 　 　． 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D． （1）若∠B＝28°，求∠ACD的度数； （2）若D是AB的中点，AB＝2，求阴影部分的面积． 12．如图，AB为⊙O的直径，点C是AB上方⊙O上异于A，B的点，点D是的中点，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，连接AC，AD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC＝8，BC＝6，求图中阴影部分的面积． 答案 1．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以A，B，C，D为圆心，2为半径画圆弧围成如图所示的阴影部分．则阴影部分的周长为（　　） A．π B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，连接AF、DF， 由圆的定义，AD＝AF＝DF， 所以，△ADF是等边三角形， ∵∠BAD＝90°，∠FAD＝60°， ∴∠BAF＝90°﹣60°＝30°， 同理，弧DG的圆心角是30°， ∴弧FG的圆心角是90°﹣30°×2＝30°， ∴弧FG的长＝＝π， 由对称性知，图中阴影部分的外围四条弧都相等， 所以图中阴影部分的周长为π． 故选：D． 2．如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝5m，OB＝3m，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C．4π D． 【答案】D 【解析】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC ＝﹣ ＝ ＝ ＝（m2）， 故选：D． 3．如图，直径AB＝12的半圆绕点B按顺时针方向旋转30°，此时A到了点A′的位置，则图中阴影部分的面积是（　　） A．2π B．3π C．4π D．12π 【答案】D 【解析】解：∵直径AB＝12的半圆，绕B点顺时针旋转30°， ∴S阴影＝SA'B为直径的半圆+S扇形ABA'﹣SAB为直径的半圆， 又∵AB＝A'B， ∴SA'B为直径的半圆＝SAB为直径的半圆， ∴S阴影＝S扇形ABA'， ∵AB＝12，∠ABA’＝30°， ∴S阴影＝S扇形ABA’＝＝＝12π． 故答案为：D． 4．如图，AB为⊙O的直径，AD交⊙O于点F，点C是弧BF的中点，连接AC．若∠CAB＝30°，AB＝2，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：连接CF，OC，OF交AC于E， ∵点C为劣弧的中点， ∴＝， ∵∠BAC＝30°， ∴∠BAC＝∠CAF＝30°， ∴∠COF＝2∠CAF＝60°＝∠OAF， ∵OA＝OF＝OC＝AB＝1， ∴△AOF和△COF均为等边三角形， ∴∠AOF＝∠CFO＝60°， ∴AB∥CF， ∴S△ACF＝S△COF， 则阴影部分的面积＝S△ACF+S弓形CF＝S△COF+S弓形CF＝S扇形COF＝＝， 故选：B． 5．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图，连接OA，AO′，作AB⊥OO′于点B， ∵OA＝OO′＝AO′＝2， ∴三角形AOO′是等边三角形， ∴∠AOO′＝60°，OB＝OO′＝1， ∴AB＝＝， ∴S弓形AO′＝S扇形AOO′﹣S△AOO′ ＝﹣2×× ＝﹣， ∴S阴影＝S弓形AO′+S扇形AO′O ＝﹣+ ＝﹣． 故选：A． 6．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深的地方高度为2cm，则该输水管的半径为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【答案】A 【解析】解：作半径OD⊥AB于C，连接OA， 设圆的半径是r cm， ∵CD＝2cm， ∴OC＝（r﹣2）cm， ∵OD⊥AB， ∴AC＝AB＝×8＝4（cm）， ∵OA2＝OC2+AC2， ∴r2＝（r﹣2）2+42， ∴r＝5， ∴该输水管的半径为5cm． 故选：A． 7．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，将绕着点A顺时针旋转一定的角度后得到 ，交AB于E点，若点D在⊙O上，AO＝5EO＝5，则阴影部分的面积为（　　） A．8 B．16 C．4+π D．6﹣π 【答案】A 【解析】解：如图，连接AC、BC、DC、ED，CD与AB交于点F， 根据旋转的性质，弧BC＝弧BD，BC＝BD，∠CAB＝∠BAD， 在等圆中，等角所对的弦相等，即ED＝BD， ∴S弓形BD＝S弓形ED， ∴S阴影＝S△BDE， ∵AO＝5EO＝5， ∴AB＝10，OE＝1，BE＝4， ∵∠ACB＝∠CFB＝90°，∠CBF＝∠ABC， ∴△BCF∽△BAC， ∴BC2＝AB•BF＝10×2＝20＝BD2， 在Rt△BDF中， DF＝＝＝4， ∴S阴影＝S△BDE＝×BE•DF＝＝8． 故选：A． 8．如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，连接OD，与⊙O交于点F，连接AE，且∠A＝∠D． （1）求证：点F是的中点； （2）若∠A＝∠C，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为 　﹣　． 【答案】（1）见解析； （2）﹣． 【解析】（1）证明：连接OE， ∵CD与⊙O相切于点E， ∴∠OED＝90°， ∴∠D+∠DOE＝90°， ∵OE＝OA， ∴∠A＝∠AEO， ∴∠D＝∠AEO， ∴AEO+∴DOE＝90°， ∴AE⊥OD， ∴＝， ∴F是AE的中点； （2）解：∵∠A＝∠C，∠A＝∠D， ∴∠C＝∠D， ∴OC＝OD， ∵OE⊥CD， ∴∠COE＝∠DOE， 由（1）知，＝， ∴∠AOF＝∠DOE， ∴∠COE＝∠DOE＝∠AOD＝， ∵OE＝3， ∴DE＝， ∴阴影部分的面积＝S△DOE﹣S△扇形FOE＝×3×3﹣＝﹣． 故答案为：﹣． 9．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆经过A、B两点，且与BC边交于点E，OD⊥BE，连接AD交BC于点F，若AC＝FC． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径是6，∠ADB＝60°，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）18﹣6π． 【解析】（1）证明：以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆经过A、B两点，且与BC边交于点E，OD⊥BE，AC＝FC．连接OA， ∴∠ODF+∠OFD＝90°， ∵CA＝CF， ∴∠CAF＝∠CFA， ∵∠CFA＝∠OFD， ∴∠ODF+∠CAF＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°， ∴OA⊥AC， ∵OA是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线． （2）解：∵∠ADB＝60°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝120°， ∴∠AOE＝60°，∠C＝30°， 在Rt△OAC中，AO＝6， ∴， ∴阴影部分的面积＝． 10．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AD是⊙O的弦，AD∥OC，延长CD、BA相交于点E． （1）求证CE是⊙O的切线； （2）若A恰好是OE的中点，AD＝3，则阴影部分的面积为 　　． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】（1）证明：连接DO，如图1， ∵OC∥AD， ∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD， 又∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠COD＝∠COB， 在△COD和△COB中， ， ∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠CDO＝∠CBO． ∵BC是⊙O的切线， ∴∠CBO＝90°， ∴∠CDO＝90°， ∴OD⊥CE， 又∵点D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠ODE＝90°，A是OE的中点， ∴AD＝OE＝3＝OA， ∵OA＝OD＝3， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠AOD＝60°， 由勾股定理得：DE＝＝3， ∴阴影部分的面积＝S△ODE﹣S扇形OAD＝﹣＝． 故答案为：． 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D． （1）若∠B＝28°，求∠ACD的度数； （2）若D是AB的中点，AB＝2，求阴影部分的面积． 【答案】（1）56°； （2）． 【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝28°， ∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°， ∵CA＝CD， ∴∠CDA＝∠CAD＝62°， ∴∠ACD＝180°﹣62°﹣62°＝56°； （2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°， ∴CD＝AD＝BD＝AB＝1， ∵CD＝CA， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∴阴影部分的面积＝S扇形ACD＝＝． 12．如图，AB为⊙O的直径，点C是AB上方⊙O上异于A，B的点，点D是的中点，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E，连接AC，AD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AC＝8，BC＝6，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解答； （2）图中阴影部分的面积是+． 【解析】（1）证明：连接OD， ∵点D是的中点， ∴＝， ∴∠AOD＝∠BOD， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴2∠AOD＝180°， ∴∠AOD＝∠BOD＝90°， ∵DE∥AB， ∴∠ODE＝∠AOD＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝＝10， ∴OD＝OA＝OB＝AB＝5， 由（1）得∠AOD＝∠BOD＝90°， ∴S阴影＝S△AOD+S扇形BOD＝×5×5+＝+， ∴图中阴影部分的面积是+． 学科网（北京）股份有限公司 $$