2024-2025学年人教版 数学 九年级上册第二十四章 圆——【小专题——构建隐圆解决几何问题】

数学（人教版）| 九年级（上） 同步练习 第二十四章 圆 【小专题——构建隐圆解决几何问题】 一．多点到某点距离相等构造隐圆 二．定弦定角构造隐圆 三．对角互补的四边形构造隐圆 一．多点到某点距离相等构造隐圆 1．如图，O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等．则∠A与∠C的数量关系为（　　） A．∠A＝∠C B．∠A＝2∠C C．∠A﹣∠C＝90° D．∠A+∠C＝180° 2．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 　 　． 3．如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 　 　． 4．如图，AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝40°，求∠CAD的度数． 二．定弦定角构造隐圆 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　） A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣4 6．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝AC，求：∠ADB度数． 8．在△ABC中，AB＝AC，过点C作CD⊥BC，垂足为C，∠BDC＝∠BAC，AC与BD交于点E． （1）如图1，∠ABC＝60°，BD＝6，求DC的长； （2）如图2，AM⊥BD，AN⊥CD，垂足分别为M，N，CN＝4，求DB+DC的长． 三．对角互补的四边形构造隐圆 9．如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，直线y＝x﹣3经过M，B两点交y轴于点D． （1）求抛物线的解析式． （2）设P为x轴上一动点，过P作PC的垂线交直线BD于Q，连接CQ．求∠PQC的度数． 答案 一．多点到某点距离相等构造隐圆 1．如图，O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等．则∠A与∠C的数量关系为（　　） A．∠A＝∠C B．∠A＝2∠C C．∠A﹣∠C＝90° D．∠A+∠C＝180° 【答案】D 【解析】解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示， ∴四边形ABCD为圆O的内接四边形， ∴∠A+∠C＝180°， 故选：D． 2．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 　　． 【答案】1． 【解析】解：∵C为坐标平面内一点，BC＝2， ∴点C的运动轨迹是在半径为2的⊙B上， 如图，取OD＝OA＝4，连接OD， ∵点M为线段AC的中点， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝， ∴OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线， 此时在Rt△OBD中，BD＝＝4， ∴CD＝2+4， ∴OM的最大值是1+2． 故答案为：1+2． 3．如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 　　． 【答案】． 【解析】解：连接AN，AM，以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，如图， ∵△ADE绕点A旋转， ∴点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动， ∵AM+AN≥MN， ∴当点M旋转到M′，即M、A、N三点共线时，MN的值最大，最大为M′N， ∵△ABC和△ADE都是等边三角形， 点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4， ∴AN⊥BC，AM⊥DE，BN＝3，DM＝2， 在Rt△ABN中，由勾股定理得， 在Rt△ADM中，由勾股定理得， 根据旋转的性质得，AM′＝AM＝， ∴M′N＝AN+AM′＝，即MN的最大值为． 故答案为：． 4．如图，AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝40°，求∠CAD的度数． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：∵AB＝AC＝AD， ∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上， ∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC， ∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝40°， ∴∠CAD＝2∠BAC＝80°． 二．定弦定角构造隐圆 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　） A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣4 【答案】C 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PBC＝∠PAB， ∴∠PAB+∠PBA＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于P，此时PC最小， ∵OC＝＝＝2， ∴PC的最小值为2﹣4， 故选：C． 6．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵AQ⊥BQ， ∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC， ∵∠ACB＝90°，OA＝OB， ∴CO＝OA＝1， ∴∠COB＝2∠CAB＝60°， ∴的长为， 故选：D． 7．如图，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝AC，求：∠ADB度数． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：以BC为直径画⊙O，如图： ∵∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴点A、D都在⊙O上， 又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ADB＝∠ACB＝45°． 答：∠ADB度数为45°． 8．在△ABC中，AB＝AC，过点C作CD⊥BC，垂足为C，∠BDC＝∠BAC，AC与BD交于点E． （1）如图1，∠ABC＝60°，BD＝6，求DC的长； （2）如图2，AM⊥BD，AN⊥CD，垂足分别为M，N，CN＝4，求DB+DC的长． 【答案】（1）3； （2）8． 【解析】解：（1）∵∠ABC＝60°且AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠BDC＝∠BAC＝60°， ∵CD⊥BC， ∴Rt△BDC中，∠DBC＝30°， ∴DC＝BD＝3． （2）作△BCD的外接圆⊙O，如图所示： ∵CD⊥BC， ∴BD为⊙O直径， ∵∠BDC＝∠BAC， ∴A点在⊙O上， ∴∠BAD＝90°， ∵AM⊥BD，AN⊥CD， ∠AMB＝∠ACN＝90°， ∴在△ABM和△ACN中， ∴△ABM≌△ACN， ∴AM＝AN，BM＝CN， ∵在Rt△AMD和Rt△AND中， ∴Rt△AMD≌Rt△AND， ∴DN＝DM， ∴DB+DC＝DM+MB+DC＝DN+DC+MB＝CN+MB＝2CN＝8． 三．对角互补的四边形构造隐圆 9．如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，直线y＝x﹣3经过M，B两点交y轴于点D． （1）求抛物线的解析式． （2）设P为x轴上一动点，过P作PC的垂线交直线BD于Q，连接CQ．求∠PQC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）对于抛物线y＝ax2﹣4ax+b，对称轴x＝2， ∵抛物线的顶点为M，直线y＝x﹣3经过M， ∴M（2，﹣1），∵B（3，0）， 把M（2，﹣1），B（3，0）代入y＝ax2﹣4ax+b得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）如图，取CQ的中点H，连接PH、BH． ∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，直线BM的解析式为y＝x﹣3， ∵﹣1×1＝﹣1， ∴BC⊥BM， ∴∠CBQ＝∠CPQ＝90°， ∴HP＝HC＝HQ＝HB， ∴P、C、B、Q四点共圆， ∴∠PQC＝∠CBP， ∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°， ∴∠CBO＝45°， ∴∠PQC＝45°． 学科网（北京）股份有限公司 $$