第二十四章 圆——【小专题——圆的切线证明的三种类型】练习 2024—2025学年人教版 数学九年级上册

数学（人教版）| 九年级（上） 同步练习 第二十四章 圆 【小专题——圆的切线证明的三种类型】 一．已知半径/直径，证垂直 二．线与圆相交，连半径，证垂直 三．作辅助线，证半径 一．已知半径/直径，证垂直 1．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°． （1）求∠ABC的度数； （2）求证：AE是⊙O的切线； （3）当BC＝4时，求AC的长． 2．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且＝＝，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝2，∠CAB＝30°，求⊙O的半径． 3．如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且＝，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D． （1）求证：直线CD是⊙O的切线； （2）若∠CAD＝30°，CD＝，求的长． 4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是AB同侧圆上两点，AC＝BD，AD与BC交于点E，延长AD到F使DF＝DE，连接BF． （1）求证：CE＝DE； （2）若AD平分∠BAC，求证：BF为⊙O的切线． 5．如图，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝120°，点C为的中点，过点A作MN⊥BC交BC的延长线于点D． （1）求证：直线MN是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，求CD的长． 二．线与圆相交，连半径，证垂直 6．如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB于F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC＝12，⊙O的半径为5，求DF的长． 7． 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线． 8．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）连接BD．若CF＝4，BF＝2，求BD的长． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠A＝30°，DF＝3，求CE长． 10．如图，已知AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，∠ABD的平分线交⊙O于点E，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE与BA的延长线交于点G． （1）求证：GF是⊙O的切线； （2）若AG＝3，，求⊙O的半径． 三．作辅助线，证半径 11．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2.4为半径作⊙O．求证：AB是⊙O的切线． 12．如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，CB延长线交⊙O于点F． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若BE＝3，BF＝4，求AD的长． 13．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．求证：AB与⊙D相切． 15．如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝4，BC＝9，求CD的长． 答案 一．已知半径/直径，证垂直 1．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°． （1）求∠ABC的度数； （2）求证：AE是⊙O的切线； （3）当BC＝4时，求AC的长． 【答案】（1）60°； （2）证明见解析； （3）． 【解析】（1）解：∵， ∴∠ADC＝∠ABC， ∵∠D＝60°， ∴∠ABC＝60°； （2）证明：连接OC， ∵∠D＝60°， ∴∠AOC＝2∠D＝120°， ∵OA＝OC， ∴， ∵∠EAC＝60°， ∴∠BAE＝∠OAC+∠EAC＝90°，即OA⊥AE， ∵OA是半径， ∴AE是⊙O的切线； （3）解：∵∠BAC＝30°，AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴． 2．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且＝＝，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝2，∠CAB＝30°，求⊙O的半径． 【答案】见试题解答内容 【解析】（1）证明：连接OC，如图， ∵＝， ∴∠BAC＝∠FAC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠FAC＝∠OCA， ∴AD∥OC， ∵CD⊥AD， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：作OH⊥AD于H，如图，易得四边形OCBH为矩形， ∴OH＝CD＝2， ∵∠FAC＝∠CAB＝30°， ∴∠OAH＝60°， 在Rt△AOH中，∵sin∠OAH＝， ∴OA＝＝＝4， 即⊙O的半径为4． 3．如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且＝，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D． （1）求证：直线CD是⊙O的切线； （2）若∠CAD＝30°，CD＝，求的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）π． 【解析】（1）证明：∵＝， ∴∠FAC＝∠BAC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠FAC＝∠OCA， ∴OC∥AF， ∵CD⊥AF， ∴OC⊥CD， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：如图，连接BC， ∵∠CAD＝30°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝2∠CAD＝60°， ∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝AB， ∵CD⊥AD，∠CAD＝30°，CD＝， ∴AC＝2CD＝2， ∴AB2﹣＝， ∴AB＝4或AB＝﹣4（舍去）， ∴OA＝2， ∴的长＝＝π． 4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是AB同侧圆上两点，AC＝BD，AD与BC交于点E，延长AD到F使DF＝DE，连接BF． （1）求证：CE＝DE； （2）若AD平分∠BAC，求证：BF为⊙O的切线． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝∠ADB＝90°， 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ， ∴△ABC≌△BAD（HL）， ∴BC＝AD，∠ABC＝∠BAD， ∴AE＝BE， ∴CE＝DE； （2）∵∠ADB＝90°， ∴BD⊥AF， ∵DF＝DE， ∴BD是EF的垂直平分线， ∴BE＝BF， ∴∠BEF＝∠F， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAF， ∵∠C＝90°， ∴∠CAE+∠AEC＝90°， ∵∠AEC＝∠BEF， ∴∠CAE+∠BEF＝90°， ∴∠BAF+∠F＝90°， ∴∠ABF＝90°， ∴AB⊥BF，OB是半径， ∴BF是⊙O的切线． 5．如图，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝120°，点C为的中点，过点A作MN⊥BC交BC的延长线于点D． （1）求证：直线MN是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4，求CD的长． 【答案】见试题解答内容 【解析】（1）证明：如图，连接OC， ∵点C为的中点， ∴， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝60°， 又∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝， ∴∠OBC＝60°， ∴∠OBC+∠BOA＝180°， ∴OA∥BD， ∵BD⊥MN， ∴OA⊥MN， 又∵OA是半径， ∴直线MN是⊙O的切线； （2）解：如图，过点O作OE⊥BC于E， ∴OE∥MN， 又∵OA∥BD， ∴四边形OADE是平行四边形， ∴DE＝OA＝4， ∵OB＝OC， ∴CE＝BE＝， 由（1）可知，△BOC是等边三角形， ∴CE＝， ∴CD＝DE﹣CE＝4﹣2＝2． 二．线与圆相交，连半径，证垂直 6．如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB于F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC＝12，⊙O的半径为5，求DF的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）DF的长是． 【解析】（1）证明：连接OD，则OD＝OC， ∴∠ODC＝∠C， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C， ∴∠ODC＝∠A， ∴OD∥AB， ∵DF⊥AB于点F， ∴∠ODF＝∠AFD＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD， ∴DF是⊙O的切线． （2）解：连接BD， ∵BC是⊙O的直径，AC＝12，⊙O的半径为5， ∴AB＝BC＝2×5＝10，∠BDC＝90°， ∴BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°，AD＝CD＝AC＝×12＝6， ∴BD＝＝＝8， ∵S△ABD＝×10DF＝×6×8， ∴DF＝， ∴DF的长是． 7． 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线． 【答案】证明见解答． 【解析】证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC于点E， ∴∠ODE＝∠DEC＝90°， ∵OD为⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE为⊙O的切线． 8．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且CF＝EF． （1）求证：CF为⊙O的切线； （2）连接BD．若CF＝4，BF＝2，求BD的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】（1）如图，连接OC，OD， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵CF＝EF， ∴∠FCE＝∠FEC， ∵∠OED＝∠FEC， ∴∠OED＝∠FCE， ∵AB是直径，D是的中点， ∴∠DOE＝90°， ∴∠OED+∠ODC＝90°， ∴∠FCE+∠OCD＝90°，即∠OCF＝90°， ∵OC是半径， ∴CF是⊙O的切线． （2）设OA＝OD＝OC＝OB＝r，则OF＝r+2， 在Rt△COF中，OC2+CF2＝OF2 ∴42+r2＝（r+2）2， 解得r＝3， ∴OB＝OD＝3， ∵∠DOB＝90°， ∴BD2＝OD2+OB2， ∴． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若∠A＝30°，DF＝3，求CE长． 【答案】（1）见解析； （2）CE＝1． 【解析】（1）证明：连接CD，OD，如图， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠CDA＝90°， ∴∠BDC＝90°， 在Rt△BCD中，E为BC的中点， ∴DE＝CE＝BE， ∵DE＝CE， ∴∠BCD＝∠EDC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠OCD＝90°， ∵OD＝OC， ∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠ODE＝∠ODC+∠EDC＝∠OCD+∠BCD＝90°， 即OD⊥DE， ∵OD为半径，OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵∠A＝30°， ∴∠DOC＝2∠A＝60°， 在Rt△FOD中，∠F＝30°， ∴，， 设OD＝x，则OF＝2x， 由勾股定理可得：OD2+DF2＝OF2，即x2+32＝（2x）2， 解得， ∴，， ∴， 同理在Rt△CEF中，设CE＝y，则EF＝2y， 由勾股定理可得：CE2+FC2＝EF2，即， 解得y＝1，即CE＝1． 10．如图，已知AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，∠ABD的平分线交⊙O于点E，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE与BA的延长线交于点G． （1）求证：GF是⊙O的切线； （2）若AG＝3，，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【解析】（1）证明：如图，连接OE， ∵∠ABD的平分线交⊙O于点E， ∴∠1＝∠2， ∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴OE∥BF， ∵BF⊥GF， ∴OE⊥GF， ∴GF是⊙O的切线； （2）解：设OA＝OE＝r， 在Rt△GOE中，AG＝3，GE＝4， 由OG2＝GE2+OE2得：（3+r）2＝（4）2+r2， 解得：r＝， 故⊙O的半径为． 三．作辅助线，证半径 11．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2.4为半径作⊙O．求证：AB是⊙O的切线． 【答案】见解答． 【解析】证明：过点O作OC⊥AB于C点，如图， ∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4， ∴AB＝＝5， ∵AB•OC＝OA•OB， ∴OC＝＝2.4， ∵⊙O的半径为2.4， ∴OC等于⊙O的半径， 而AB⊥OC， ∴AB是⊙O的切线． 12．如图，在△ABC中，AB＝BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，CB延长线交⊙O于点F． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若BE＝3，BF＝4，求AD的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】（1）证明：连接OD， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C， ∴∠ADO＝∠C， ∴OD∥BC． ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°， ∴四边形ODEH是矩形， ∴OD＝EH，OH＝DE， ∵OF＝OB， ∴BH＝FH＝2， ∴OD＝EH＝OB＝5， ∴AB＝2OD＝10，OH＝＝， ∴DE＝OH＝， ∴BD＝＝， ∴AD＝＝． 13．如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若正方形ABCD的边长为10，求⊙O的半径． 【答案】见试题解答内容 【解析】（1）证明：连接OE，并过点O作OF⊥CD． ∵BC切⊙O于点E， ∴OE⊥BC，OE＝OA， 又∵AC为正方形ABCD的对角线， ∴∠ACB＝∠ACD， ∴OF＝OE＝OA， 即：CD是⊙O的切线． （2）解：∵正方形ABCD的边长为10， ∴AB＝BC＝10，∠B＝90°，∠ACB＝45°， ∴AC＝＝10， ∵OE⊥BC， ∴OE＝EC， 设OA＝r，则OE＝EC＝r， ∴OC＝＝r， ∵OA+OC＝AC， ∴r+r＝10， 解得：r＝20﹣10． ∴⊙O的半径为：20﹣10． 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．求证：AB与⊙D相切． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． 【解析】（1）解：如图，AD即为所求． （2）证明：过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°， ∴DE＝CD， ∴DE为⊙D的半径， ∴AB与⊙D相切． 15．如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD＝4，BC＝9，求CD的长． 【答案】（1）证明见解析部分； （2）13． 【解析】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E． ∵AM切⊙O于点A， ∴OA⊥AD， 又∵DO平分∠ADC， ∴OE＝OA． ∵OA为⊙O的半径， ∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC， ∴CD是⊙O的切线（经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线）． （2）解：∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E， ∴DA＝DE，CB＝CE， ∴DC＝DE+CE＝AD+BC＝4+9＝13． 学科网（北京）股份有限公司 $$