热点07 抛物线-2024-2025学年高二第一学期数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019）

热点07 抛物线 知识点一 抛物线的定义 我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线． 注意： ①“”是抛物线的焦点到准线的距离，所以的值永远大于0； ②只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式． 知识点二 抛物线的标准方程及简单几何性质 标准方程 图象 性质 范围 对称轴 x轴 y轴 顶点 焦点 准线 离心率 知识点三 通径与焦半径 1．通径 过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p． 2．焦半径 抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式为 标准方程 焦半径 知识点四 直线与抛物线 1．直线与抛物线的位置关系 设直线,抛物线:,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程. （1）若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. （2）若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 注:（1）直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. （2）研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况. 2．弦长问题 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,那么线段叫做焦点弦, 如图:设AB是过抛物线焦点的弦,若,则. 注:（1）；（2）；（3）是直线AB的倾斜角) （4）为定值是抛物线的焦点). 3.中点弦问题 点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率 热点一 求抛物线的方程 例1．若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 例2．已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．已知抛物线的焦点关于其准线的对称点为，则抛物线的标准方程为 . 变式1-2．（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 变式1-3．已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于．若，，则抛物线的方程为 ． 热点二 抛物线的简单几何性质 例3．设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D． 例4．下列命题中正确的是（    ） A．抛物线 的焦点坐标为 ． B．抛物线 的准线方程为 x =−1． C．抛物线 的图象关于 x 轴对称． D．抛物线 的图象关于 y 轴对称． 变式2-1．如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为 . 变式2-2．已知点关于轴的对称点在曲线上，且过点的直线与曲线相交于点，则 . 变式2-3．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 热点三 抛物线的定义及应用 例5．已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 例6．（多选）设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段MF为直径的圆与轴相切 变式3-1．已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 变式3-2．已知抛物线的焦点为，是上第一象限内的一点，且，直线过点，当原点到的距离最大时，的方程为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为 . 热点四 抛物线的弦长问题 例7．已知动点到点的距离与点到直线的距离相等. (1)求点的轨迹的方程； (2)设点，为轨迹上不同的两点，若线段的中垂线方程为，求线段的长. 例8．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，．若弦长，则直线的斜率为 ． 变式4-1．斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点. (1)求线段的长. (2)为原点，求的面积. 变式4-2．已知抛物线的焦点为；直线与抛物线的交点为，，且直线斜率为. (1)若；求的方程； (2)若直线与轴的交点为，，求. 变式4-3．已知直线与关于抛物线的准线对称. (1)求的方程； (2)若过的焦点的直线与交于两点，且，求的斜率. 热点五 抛物线的中点弦问题 例9．已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 例10．已知抛物线：，过的焦点的直线与交于，两点. (1)若点在抛物线上，且到抛物线的准线距离为2，求抛物线的方程 (2)若直线的斜率为1，线段的中点纵坐标为2，求抛物线的准线方程. 变式5-1．已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 . 变式5-3．已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 . 热点六 抛物线的面积问题 例11．已知直线与抛物线交于、两点，且（为坐标原点），则 ；的面积为 . 例12．已知抛物线经过点. (1)求抛物线E的方程； (2)设直线与E的交点为，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 变式6-1．已知动直线与抛物线相交于两点，分别过两点作抛物线的切线相交于点，点的轨迹曲线记为与相交于两点（邻近）． (1)求曲线的方程； (2)求证：对任意的面积均相等． 变式6-2．如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为． (1)求的值． (2)已知点，、为抛物线上位于第二象限的两点，且在下方，已知直线的斜率为，直线与直线的倾斜角互补，求三角形的面积． 变式6-3．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为. (1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程; (2)若斜率为2且纵截距为1的直线与抛物线交于M，N两点，为抛物线的焦点，求的面积. 热点七 抛物线的最值范围问题 例13．已知点为抛物线上一点，为上不同于点的一个动点，过作的垂线与交于另一点，则点的横坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例14．已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求拋物线的标准方程； (2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为． ①证明：点在定直线上； ②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围． 变式7-1．（多选）已知抛物线：的焦点为是的准线上一个定点.在上任取一点M，若，则点N的纵坐标可能为（    ） A． B． C． D． 变式7-2．已知点是抛物线上任意一点，则点到直线与到直线的距离之和的最小值是 ． 变式7-3．已知在抛物线上存在两个不同的点M，N关于直线对称，求k的取值范围． 热点八 抛物线的定点问题 例15．设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 例16．已知抛物线，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线相交所得弦的长度为8． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与抛物线交于点，是抛物线上异于点的另外两点，且直线和直线的斜率之和为，判断直线是否经过一定点．若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 变式8-1．已知过轴正半轴上一点的直线：交抛物线：于，两点，且，证明点为定点，并求出该定点的坐标． 变式8-2．已知抛物线上一点到焦点F的距离为9. (1)求抛物线C的方程； (2)过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且，求的面积. (3)过点的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由. 变式8-3．已知抛物线的焦点为F，过点的直线l交C于M，N两点，当l与x轴垂直时，． (1)求C的方程： (2)在x轴上是否存在点P，使得恒成立（O为坐标原点）？若存在求出坐标，若不存在说明理由． 热点九 抛物线的定值问题 例17．已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. (1)求和的值； (2)过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 例18．在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与交于两点. (1)若线段中点的横坐标为2，线段的长为6，求抛物线的方程； (2)在轴上是否存在一定点，使得直线和直线的斜率之积为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由. 变式9-1．设抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)经过焦点的直线交抛物线于，两点，直线（为坐标原点）交抛物线的准线于点，求证：直线的斜率为定值. 变式9-2．已知抛物线的准线与轴的交点为． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相切，求直线的方程； (3)若过点的直线与抛物线交于两点，证明：为定值． 变式9-3．已知抛物线的焦点为，准线为是上在第一象限内的点，且直线的倾斜角为，点到的距离为． (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，是线段上一点（异于两点），是上一点，且轴．若平行四边形的三个顶点均在上，与交于点，证明：为定值． 一、单选题 1．（2023-24高二上·江西抚州·期中）若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2023-24高二上·黑龙江·期中）已知的两个顶点为，，且，的斜率之积等于，则（   ） A．当时，的轨迹为直线（去掉，两点） B．当时，的轨迹为双曲线（去掉，两点） C．当时，的轨迹为椭圆（去掉，两点） D．当时，的轨迹为抛物线（去掉，两点） 3．（2024·陕西商洛·一模）已知直线与抛物线交两点，为坐标原点，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2023-24高二上·江苏常州·期中）过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（点A在第一象限），若直线l的倾斜角为，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 5．（2023-24高二上·广西玉林·期中）已知是抛物线上的两点，且线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2023-24高二上·重庆·期中）已知正方体中，为平面上一动点，若到的距离与到的距离相等，则的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 7．（2023-24高二上·河北石家庄·期中）如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过的直线交该抛物线于两点，且，，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 二、多选题 9．（2023-24高二上·山西·期中）已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（    ） A．直线过点 B．直线的倾斜角为 C． D．是等边三角形 10．（2023-24高二下·河北邢台·期末）过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（   ） A． B． C． D． 11．（2023-24高三上·广西·期末）已知曲线：，，则（    ） A．与有唯一交点 B．与有唯一交点 C．与联立恒得两组整数根 D．与相交得到的弦，长恒为 三、填空题 12．（2023-24高二上·山西晋城·期中）已知点是抛物线：（）上一点，若点到抛物线焦点的距离为10，且点到轴的距离为6，则 ． 13．（2023-24高三上·云南·期末）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 14．（2023-24高二上·黑龙江·期中）已知抛物线的焦点为，是抛物线上异于原点的一点，过点且斜率为的直线与轴交于点，与轴交于点，则 . 四、解答题 15．（2023-24高二下·上海·期末）已知抛物线，焦点为F (1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标. (2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程． 16．（2024高二下·云南曲靖·期中）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 17．（2023-24高二上·山东青岛·期中）已知直线：（）与抛物线交于、两点，且. (1)求、两点的横坐标之积与纵坐标之积； (2)求面积的最小值，并求此时直线的方程. 18．（2023-24高二上·广西南宁·期中）已知点是平面直角坐标系中异于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直. (1)求点的轨迹方程； (2)设位于第一象限，以OC为直径的圆与轴相交于点，且，求的值. 19．（2023-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点07 抛物线 知识点一 抛物线的定义 我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线． 注意： ①“”是抛物线的焦点到准线的距离，所以的值永远大于0； ②只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式． 知识点二 抛物线的标准方程及简单几何性质 标准方程 图象 性质 范围 对称轴 x轴 y轴 顶点 焦点 准线 离心率 知识点三 通径与焦半径 1．通径 过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p． 2．焦半径 抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式为 标准方程 焦半径 知识点四 直线与抛物线 1．直线与抛物线的位置关系 设直线,抛物线:,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程. （1）若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. （2）若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 注:（1）直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. （2）研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况. 2．弦长问题 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,那么线段叫做焦点弦, 如图:设AB是过抛物线焦点的弦,若,则. 注:（1）；（2）；（3）是直线AB的倾斜角) （4）为定值是抛物线的焦点). 3.中点弦问题 点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率 热点一 求抛物线的方程 例1．若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点到直线和它到点的距离相等， 所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 设其方程为，则，可得， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 例2．已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为， 故，解得，抛物线的标准方程为． 故选：D． 变式1-1．已知抛物线的焦点关于其准线的对称点为，则抛物线的标准方程为 . 【答案】 【详解】根据题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上， 不妨设抛物线的标准方程为，可知焦点坐标为，准线方程为， 由焦点关于其准线的对称点为可知，解得， 所以抛物线的标准方程为. 故答案为： 变式1-2．（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由于焦点在直线上， 则当焦点在y轴上时，令， 所以焦点坐标为：， 设方程为，由焦点坐标知， 所以抛物线的方程为： 当焦点在x轴上时，令， 所以焦点坐标为：， 设方程为，由焦点坐标知， 所以抛物线的方程为：， 故选：BC. 变式1-3．已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于．若，，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【详解】根据抛物线的定义可得， 又，所以，得， 所以抛物线的方程为． 故答案为：． 热点二 抛物线的简单几何性质 例3．设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D． 【答案】C 【详解】由题意得焦点，设点，，， 则， 所以，所以. 故选：C. 例4．下列命题中正确的是（    ） A．抛物线 的焦点坐标为 ． B．抛物线 的准线方程为 x =−1． C．抛物线 的图象关于 x 轴对称． D．抛物线 的图象关于 y 轴对称． 【答案】C 【详解】抛物线 的焦点坐标为 ，故A错误； 抛物线 的准线方程为，故B错误； 抛物线 的图象关于 x 轴对称，故C正确，D错误； 故选：C. 变式2-1．如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为 . 【答案】 【详解】由题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 设， 因为，可得， 则，即， 则的面积为． 故答案为：. 变式2-2．已知点关于轴的对称点在曲线上，且过点的直线与曲线相交于点，则 . 【答案】16 【详解】因为曲线的方程为，即， 所以由题意及抛物线的对称性，知点在抛物线上，且在轴的下方， 因为直线过此抛物线的焦点. 设， 联立，得， 则， 所以由抛物线的焦点弦长公式得. 故答案为：16. 变式2-3．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】设正三角形得边长为， 由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是， 把顶点代入抛物线方程得解得， 所以正三角形的边长为. 故选：D. 热点三 抛物线的定义及应用 例5．已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】 由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部， 过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D， 则有， 当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C. 例6．（多选）设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段MF为直径的圆与轴相切 【答案】BD 【详解】由抛物线，则其焦点为，准线为，A错，如下图示， 其中准线于，则，故， 当且仅当共线时最小，为到准线距离4，B对； 由， 当且仅当共线时取等号，其最大值为，C错； 由，则中点坐标为， 而，故， 所以，以线段MF为直径的圆与轴相切，D对. 故选：BD 变式3-1．已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为，准线方程是， 过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为， ∵点在抛物线上，∴根据抛物线的定义得， ∴，当且仅当共线时取等号， ∴的最小值为8． 故选：A． 变式3-2．已知抛物线的焦点为，是上第一象限内的一点，且，直线过点，当原点到的距离最大时，的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，由，得，，所以， 可得，所以直线的斜率为， 当原点到的距离最大时，，的斜率为， 所以的方程为，即． 故选：D． 变式3-3．已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则周长的最小值为 . 【答案】 【详解】抛物线的焦点为， ， 根据抛物线的定义可知，的最小值是到抛物线准线的距离， 即的最小值是， 所以周长的最小值为. 故答案为： 热点四 抛物线的弦长问题 例7．已知动点到点的距离与点到直线的距离相等. (1)求点的轨迹的方程； (2)设点，为轨迹上不同的两点，若线段的中垂线方程为，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设点，根据题意有， 上式两边同时平方得：，化简得， 点的轨迹的方程为. （2）设，，线段的中点， 线段的中垂线方程为， 直线的斜率， 由点，在抛物线上，可知， 两式相减得， 又，故， ，故， 直线的方程为，即， 联立方程消去整理得， 易知，， 即线段的长为. 例8．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，．若弦长，则直线的斜率为 ． 【答案】 【详解】由题意，直线的斜率不等于零，， 设直线的方程为，，， 联立，消得， 恒成立， 则， 所以， 解得， 所以直线的斜率为. 故答案为：. 变式4-1．斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点. (1)求线段的长. (2)为原点，求的面积. 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）∵抛物线的焦点坐标为，直线的斜率为1， ∴直线方程为， 由，得， 设，则， 则由抛物线焦点弦长公式得：． （2）点到直线的距离为， 则的面积． 变式4-2．已知抛物线的焦点为；直线与抛物线的交点为，，且直线斜率为. (1)若；求的方程； (2)若直线与轴的交点为，，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）抛物线的焦点为，， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ， 设，则， ，解得， 所以直线的方程为. （2）由，令，解得，则， 依题意，，， 所以，则， 结合，解得， 所以. 变式4-3．已知直线与关于抛物线的准线对称. (1)求的方程； (2)若过的焦点的直线与交于两点，且，求的斜率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得的准线方程为. 由，得， 所以的方程为. （2） 易得的斜率存在，的焦点为. 设， 联立得， 得 则 得，即的斜率为. 热点五 抛物线的中点弦问题 例9．已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦的中点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然直线l不垂直于，设直线l的方程为， 由消去得，，由弦的中点为， 得，此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故选：D 例10．已知抛物线：，过的焦点的直线与交于，两点. (1)若点在抛物线上，且到抛物线的准线距离为2，求抛物线的方程 (2)若直线的斜率为1，线段的中点纵坐标为2，求抛物线的准线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意,解得, 所以抛物线的方程为. （2）设,,则, 所以, 即：, 所以, 抛物线方程为,准线方程为 变式5-1．已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设,则，相减得， 由于,所以， 所以,将其代入中可得， 所以 ,故, 故选：C 变式5-2．已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 . 【答案】/0.5 【详解】 显然斜率均存在， 设直线，则，联立，得，同理， 设，则，化简可得，曲线. 设，则，两式相减可得，， 则. 故答案为：. 变式5-3．已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 . 【答案】2 【详解】设，代入抛物线，得， 则①， 因为两点A，B关于点对称，则， 所以由①得， 直线AB的斜率为2. 则直线AB：与代入抛物线联立，得，，解得. 所以直线AB的斜率为2. 故答案为：2. 热点六 抛物线的面积问题 例11．已知直线与抛物线交于、两点，且（为坐标原点），则 ；的面积为 . 【答案】 【详解】设点、，联立可得， ，由韦达定理可得，， 所以，，解得， 所以，，，则， 直线交轴于点， 所以，. 故答案为：；. 例12．已知抛物线经过点. (1)求抛物线E的方程； (2)设直线与E的交点为，直线与倾斜角互补. （i）求的值； （ii）若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由题意可知，，所以 ， 所以抛物线的方程为. （2）（i）如图： 设，将直线的方程代入得： ，所以， 因为直线与倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以. （ii）由（i）可知，所以， 则， 因为，所以，即， 又点到直线的距离为， 所以， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为 . 变式6-1．已知动直线与抛物线相交于两点，分别过两点作抛物线的切线相交于点，点的轨迹曲线记为与相交于两点（邻近）． (1)求曲线的方程； (2)求证：对任意的面积均相等． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：设，联立消元得：， ． 由可得， 切线，同理切线， 联立，解得：， 消去得曲线的方程为：． （2）解：设， 联立，消元得：， 所以线段和的中点重合，即， 又因为点到直线的距离为， 故 ． 变式6-2．如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为． (1)求的值． (2)已知点，、为抛物线上位于第二象限的两点，且在下方，已知直线的斜率为，直线与直线的倾斜角互补，求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得，由可得； 所以直线的方程为； 设， 联立，整理可得， 可得， 又可得，即； 所以， 解得； （2）如下图所示： 由（1）可知抛物线方程为， 由直线的斜率为可设直线的方程为，， 联立，整理可得； 所以； 由可知直线的斜率为，直线的斜率为； 又因为直线与直线的斜倾斜角互补，所以， 整理可得； 即，也即，解得； 方程即为，解得； 可得，可得； 点到直线的距离为， 所以三角形的面积为． 变式6-3．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为. (1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程; (2)若斜率为2且纵截距为1的直线与抛物线交于M，N两点，为抛物线的焦点，求的面积. 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 而双曲线的渐近线方程为，则，双曲线的方程为， 双曲线的右焦点坐标为，而抛物线的焦点为， 于是，解得，所以抛物线的标准方程为. （2）直线的方程为，由消去得， ，设， 则，， 令直线与轴的交点为，，由（1）知， 所以的面积. 热点七 抛物线的最值范围问题 例13．已知点为抛物线上一点，为上不同于点的一个动点，过作的垂线与交于另一点，则点的横坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为抛物线上一点，所以，解得，所以． 设，，由题意知直线的斜率均存在且均不为0， 由，得，即，化简得， 则关于的方程一定有解，故，即，解得或， 故选：A． 例14．已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求拋物线的标准方程； (2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为． ①证明：点在定直线上； ②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，设点到准线的距离为． 由抛物线的定义，得，解得， 当且仅当三点共线时，等号成立，所以抛物线的标准方程为． （2）①设， 直线的方程为，直线的方程为， 联立消去整理得， 所以，同理可得， 所以直线的方程为， 即，同理直线的方程为． 联立，得，即， 即，即， 所以，即点在直线上． ②由题意可知，的斜率存在且均不为0， 因为，所以设直线的方程为，则直线的方程为， 由①知，．所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，又易知， 所以的取值范围为 变式7-1．（多选）已知抛物线：的焦点为是的准线上一个定点.在上任取一点M，若，则点N的纵坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由，可得准线方程为：， 如图，过作的垂线，垂足为，连接， 过作的平行线，与交于点，设，则, 则. 所以 . 设， 当直线与抛物线相切时，直线的方程为，， 联立，消去，可得， 所以，可得，即. 因为在上单调递减， 所以， 所以. 因为，所以，故A错误； 因为，所以, 所以,所以，故B正确； 因为，，故CD正确. 故选：BCD. 变式7-2．已知点是抛物线上任意一点，则点到直线与到直线的距离之和的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 由抛物线定义可得点到直线的距离等于， 过点作直线的垂线，垂足为， 所以点到直线与到直线的距离之和等于， 由两点之间线段最短可得， 过作直线的垂线，垂足为， ， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立． 故答案为：.    变式7-3．已知在抛物线上存在两个不同的点M，N关于直线对称，求k的取值范围． 【答案】或． 【详解】解法一：由题意知，设，是曲线上关于直线l对称的两点， 则MN的方程可设为． 代入得，∴，① 设MN中点的坐标为，则，． ∵点在直线上，∴．∴,②． 将②代入①，得, ∴，即．∴或． 解法二：设点，关于直线对称． 由题意可知， 则，∴，即． 又MN的中点在l上，∴． ∵MN的中点必在抛物线的内部，∴，即， ∴，即或． 热点八 抛物线的定点问题 例15．设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且 (1)求该抛物线的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，得，解得，， 所以该抛物线的方程为. （2）证明：设两点坐标分别为，则点的坐标为. 由题意可设直线的方程为. 由，得， 则， ， 所以点的坐标为. 同理可得，点的坐标为. 当时，有，此时直线的斜率. 所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点； 当时，直线的方程为，也过点. 综上所述，直线恒过定点.    例16．已知抛物线，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线相交所得弦的长度为8． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与抛物线交于点，是抛物线上异于点的另外两点，且直线和直线的斜率之和为，判断直线是否经过一定点．若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)过定点，理由见解析. 【详解】（1）由题设，抛物线焦点为，则相交弦所在直线为， 联立抛物线，整理得，令交点坐标分别为， 所以，， 由题设，而， 所以，故. （2）直线过定点，理由如下： 令，则，即， 令，其中且均不为，则，， 又直线和直线的斜率之和为，所以，即， 直线为， 所以，显然直线恒过点.    变式8-1．已知过轴正半轴上一点的直线：交抛物线：于，两点，且，证明点为定点，并求出该定点的坐标． 【答案】证明见解析，． 【详解】由题意得， 设，，联立方程组 整理得，， 则，． ， ，， 则， 由得，， 整理得， ∵，∴． 故，即．故此时，点为定点． 变式8-2．已知抛物线上一点到焦点F的距离为9. (1)求抛物线C的方程； (2)过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且，求的面积. (3)过点的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在定点，为常数. 【详解】（1）由拋物线的定义得，解得，. 抛物线的方程为. （2）设，，由（1）知点， 直线l的方程为. 由可得，则，， ， 则不妨取，，则点A，B的坐标分别为，. 设点M的坐标为，则，， 则， 解得.即， 又点M到直线l的距离，故， 故的面积；    （3）设，，，过点Q的直线为  ， 联立消去y得：， 时，，， 联立消去得：，，， 要使与k无关， 则且，，， 存在此时为定值. 变式8-3．已知抛物线的焦点为F，过点的直线l交C于M，N两点，当l与x轴垂直时，． (1)求C的方程： (2)在x轴上是否存在点P，使得恒成立（O为坐标原点）？若存在求出坐标，若不存在说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）当l与x轴垂直时，由题意易得， 从而，解得p＝1， 所以C的方程为； （2）设，，，由题可知直线l斜率不为零， 设，代入抛物线方程消去x，得， 从而，，① 由可得 将①代入上式，得恒成立， 所以， 因此存在点P，且满足题意，P点坐标为． 热点九 抛物线的定值问题 例17．已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. (1)求和的值； (2)过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值. 【答案】(1)，； (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，，抛物线方程为， 在抛物线上，因此，所以； （2）由（1）知焦点为，显然直线与不重合， 设直线的方程为，设， 由得，因此， 又，， 所以 所以． 例18．在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与交于两点. (1)若线段中点的横坐标为2，线段的长为6，求抛物线的方程； (2)在轴上是否存在一定点，使得直线和直线的斜率之积为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在定点 【详解】（1）抛物线的焦点为，直线的方程可设为， 代入整理得， 设，则， 所以，， 因为线段中点的横坐标为2，所以①， 因为线段的长为6，所以②， 由①②解得， 所以抛物线的方程为. （2） 设，直线和直线的斜率分别为， 则 若为定值，由的任意性知，即，此时为原点， 所以存在定点，使得直线和直线的斜率之积为定值. 变式9-1．设抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)经过焦点的直线交抛物线于，两点，直线（为坐标原点）交抛物线的准线于点，求证：直线的斜率为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设点，由已知，所以， 又点到轴的距离为，即，即， 由点在抛物线上， 所以，解得或（舍去）， 故抛物线的方程为； （2）设点的坐标为，    则直线的方程为，① 抛物线的准线方程为，② 联立①②，可解得点的纵坐标为， 由（1）知焦点， 当，即时，直线的方程为， 联立消去，可得， 即，可得点的纵坐标为， 与点的纵坐标相等，于是直线的斜率为0， 当时，点的纵坐标为， 直线的方程为，与准线的交点的纵坐标为， 此时直线的斜率为0， 当时，同理可得直线的斜率为0， 综上，直线的斜率为定值0. 变式9-2．已知抛物线的准线与轴的交点为． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相切，求直线的方程； (3)若过点的直线与抛物线交于两点，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题设知， 则； （2）由题意，直线的斜率不存在时，与抛物线只有一个交点，但不相切， 令，联立抛物线得， 所以，则或， 所以直线为或. （3）由题意，斜率一定存在，令为，， 联立抛物线得，则，， 而，， 所以. 变式9-3．已知抛物线的焦点为，准线为是上在第一象限内的点，且直线的倾斜角为，点到的距离为． (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，是线段上一点（异于两点），是上一点，且轴．若平行四边形的三个顶点均在上，与交于点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）根据抛物线的定义，得，过点作轴，垂足为，则， 又，所以，代入，得， 整理得，解得（舍去）或， 故的方程为． （2）设，显然，与轴不平行， 设直线的方程为，， 联立得，则，且， 因为四边形为平行四边形，所以， 即，所以，得到， 又，即， 由点在上，得，解得， 所以直线的方程为，即， 所以直线过点， 又将代入，得，所以的中点坐标为，即为的中点， 所以，故为定值． 一、单选题 1．（2023-24高二上·江西抚州·期中）若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将标准化为，所以抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离. 如图所示， 所以，解得. 故选：C. 2．（2023-24高二上·黑龙江·期中）已知的两个顶点为，，且，的斜率之积等于，则（   ） A．当时，的轨迹为直线（去掉，两点） B．当时，的轨迹为双曲线（去掉，两点） C．当时，的轨迹为椭圆（去掉，两点） D．当时，的轨迹为抛物线（去掉，两点） 【答案】C 【详解】设，由，的斜率之积等于， 得，即， 当时，方程为， ∴的轨迹是圆（去掉，两点），故A错误； 当时，方程为，且， ∴的轨迹为椭圆（去掉，两点），故B错误； 当时，方程为，且， ∴的轨迹为椭圆（去掉，两点），故C正确； 当时，方程为，且， ∴的轨迹为双曲线（去掉，两点），故D错误． 故选：C． 3．（2024·陕西商洛·一模）已知直线与抛物线交两点，为坐标原点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示， 设，，联立整理得， 则，解得且， ，， 所以， 因为，所以，即，解得． 故选：C. 4．（2023-24高二上·江苏常州·期中）过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（点A在第一象限），若直线l的倾斜角为，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】设，，由题设 因为直线l的倾斜角为，故， 由可得，解得或， 故，，故， 故选：C. 5．（2023-24高二上·广西玉林·期中）已知是抛物线上的两点，且线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设,则， 故， 由于的中点为，故，因此, 故直线方程为，即， 经检验，直线与抛物线相交，满足条件. 故选：C 6．（2023-24高二上·重庆·期中）已知正方体中，为平面上一动点，若到的距离与到的距离相等，则的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【详解】因为平面，平面， ，又，，平面， 所以平面， 若，显然面， 由为平面上一动点，平面， 所以， 因为到的距离与到的距离相等， 所以到点距离与的距离相等， 结合抛物线定义，轨迹是在平面内，以为焦点，为准线的抛物线. 故选：D    7．（2023-24高二上·河北石家庄·期中）如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得， 故，故的周长的取值范围为， 故选：D. 8．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过的直线交该抛物线于两点，且，，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】由题可得，，设，，，， 直线，将直线的方程代入，消去， 得，由，则，． ，，因为，所以， 所以，所以，又，所以， 得（负值舍去）．又，所以． 所以，所以. 故选：C． 二、多选题 9．（2023-24高二上·山西·期中）已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（    ） A．直线过点 B．直线的倾斜角为 C． D．是等边三角形 【答案】ABD 【详解】抛物线的焦点为，而，所以直线过点，故A正确； 设直线的倾斜角，因为直线的斜率为，， 所以，即直线的倾斜角为，故B正确； 因为，故C错误； 因为点在抛物线上，由抛物线定义可知，， 又，所以是等边三角形，故D正确. 故选：ABD.    10．（2023-24高二下·河北邢台·期末）过抛物线的焦点的直线与相交于两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意可得，即，所以，故A正确，B错误； 设，联立直线与抛物线方程， 消去可得，则， 所以，故C正确； 又， 则 ，故D错误； 故选：AC. 11．（2023-24高三上·广西·期末）已知曲线：，，则（    ） A．与有唯一交点 B．与有唯一交点 C．与联立恒得两组整数根 D．与相交得到的弦，长恒为 【答案】BCD 【详解】对于A，取，则将代入，得，该方程无解，故A错误； 对于B，将代入，得，解得，故B正确； 对于CD，将代入，得， 即，解得，，所得弦长为，故CD正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（2023-24高二上·山西晋城·期中）已知点是抛物线：（）上一点，若点到抛物线焦点的距离为10，且点到轴的距离为6，则 ． 【答案】2或18 【详解】由题意，，则． 又点在抛物线上，所以，将和代入可得，解得或18． 故答案为：2或18 13．（2023-24高三上·云南·期末）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ． 【答案】 【详解】圆心与的焦点重合， 由可得 由点斜式方程可得： 即：，原点到的距离． 故答案为：. 14．（2023-24高二上·黑龙江·期中）已知抛物线的焦点为，是抛物线上异于原点的一点，过点且斜率为的直线与轴交于点，与轴交于点，则 . 【答案】 【详解】是抛物线上异于原点的一点，则， 由题意知，直线的方程为， 即，即， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 故答案为：． 四、解答题 15．（2023-24高二下·上海·期末）已知抛物线，焦点为F (1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标. (2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线定义结合已知，其中为点的横坐标， 解得，即点P的横坐标为3； （2） 因为直线的斜率为，所以可设直线的方程为， 设， 联立抛物线方程得， ，由，解得， 所以，所以， 所以点M的轨迹方程为. 16．（2024高二下·云南曲靖·期中）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知，动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线， ， 曲线的方程为； （2）设直线的方程为，,，,， 直线与抛物线联立：， 消去化简得，则，即， ，，又，即， 又， ，即， 设点为的中点，则， 直线的方程为， 令，则， 故点为定点，坐标为． 17．（2023-24高二上·山东青岛·期中）已知直线：（）与抛物线交于、两点，且. (1)求、两点的横坐标之积与纵坐标之积； (2)求面积的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1) (2)最小值为16，直线的方程为 【详解】（1）设，，， 即，，，， ，，. （2）由题知，令直线方程中， 可得直线与轴交点，联立，得 ，由(1)知，， ，即点坐标为， 则 ， 当且仅当时，等号成立. ∴面积的最小值为16，此时直线的方程为. 18．（2023-24高二上·广西南宁·期中）已知点是平面直角坐标系中异于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直. (1)求点的轨迹方程； (2)设位于第一象限，以OC为直径的圆与轴相交于点，且，求的值. 【答案】(1)且； (2). 【详解】（1）由题意，设，则， 由，即且. （2）由题意，易知，即轴， 又，则，故， 又位于第一象限，则， 所以，故， 则.    19．（2023-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则，且， 因为，所以，即， 所以点的轨迹方程为：，是以为焦点开口向上的抛物线. （2）过点作直线，与曲线交于两点，显然直线的斜率存在， 且，设直线的方程为，设， 则， 联立方程组，得， ，直线与曲线一定有两个交点， 其中， . 故为定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$