北京市第一六六中学2024--2025学年上学期九年级期中数学测试卷

2024-2025学年北京166中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共16分，每题2分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1．（2分）在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于原点的对称点的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 2．（2分）下面四个博物馆标志，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5被直线l1，l2，l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF．若AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF的长是（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 4．（2分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0方程可变形为（　　） A．（x+1）2＝4 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝6 D．（x﹣1）2＝6 5．（2分）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（5，0），则它的对称轴为（　　） A．直线x＝0 B．直线x＝1 C．直线x＝2 D．直线x＝3 6．（2分）如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则的长为（　　） A． B． C． D．π 7．（2分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E．如果AE＝9，DC＝6，那么BE的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 8．（2分）用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m，矩形的面积为S m2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x、S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 二、填空题（共16分，每题2分） 9．（2分）将二次函数y＝x2+4的图象向上平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为 　 　． 10．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，那么m＝　 　． 11．（2分）某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考查某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示： 移植总数 10 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数量 8 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 0.800 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 估计树苗移植成活的概率是 　 　（结果保留小数点后一位）． 12．（2分）如图，△ABC的高AD，BE相交于点O，写出一个与△AOE相似的三角形，这个三角形可以是 　 　． 13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC的外心坐标为 　 　． 14．（2分）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的度数为 　 　． 15．（2分）若点A（a﹣3，y1），B（a+1，y2）是二次函数y＝2（x﹣a）2+3的图象上的两点，则y1　 　y2（填“＞”，“＜”或“＝”）． 16．（2分）尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如表： 演员1 演员2 演员3 演员4 演员5 演员6 演员7 演员8 节目A √ √ √ √ √ 节目B √ √ √ 节目C √ √ √ 节目D √ √ 节目E √ √ 节目F √ √ 从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序 　 　（只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可）． 三、解答题（本题共68分，其中第17～22题，每题5分，第23～26题，每题6分，第27～28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17．（5分）解方程：x2+4x﹣12＝0． 18．（5分）如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD． （1）证明：△ABC∽△ACD； （2）若AB＝4，AC＝5，求CD的长． 19．（5分）已知：如图，线段AB． 求作：以AB为斜边的直角△ABC，使得一个内角等于30°． 作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O； ②以点O为圆心，OA长为半径画圆； ③以点B为圆心，OB长为半径画弧，与⊙O相交，记其中一个交点为C； ④分别连接AC，BC． △ABC就是所求作的直角三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝ 　 　°（ 　 　）（填推理的依据）． ∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形． ∵OC＝OB＝BC， ∴△OBC是等边三角形． ∴∠COB＝60°． ∴∠A＝ 　 　°． 20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根的和为6，求m的值． 21．（5分）2024年10月19日，学校举办建校160周年校庆的校友返校活动．为了保证返校活动顺利进行，学校在非毕业年级校区的各个班级中招募志愿者，小明和小然积极报名参加．根据学校安排，志愿者将被随机分到A组（精美礼物发放），B组（行进路线指引），C组（学校校史介绍）中的其中一组进行志愿工作． （1）小明被分配到A组是 　 　事件，小亮被分配到B组是 　 　事件（填“必然”，“随机”或“不可能”）； （2）请用列表或画树状图的方法，求出小明和小然被分配到同一组的概率． 22．（5分）2023年10月，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京召开，回顾了十年来“一带一路”取得的丰硕成果．为促进经济繁荣，某市大力推动贸易发展，2021年口贸易总额为60000亿元，2023年进出口贸易总额为86400亿元．若该市这两年进出贸易总额的年平均增长率相同，求这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率． 23．（6分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，与直线y＝﹣x﹣1交于A，C两点，且经过点（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P（n，﹣n）（n＞0）作PM⊥y轴，与直线y＝﹣x﹣1交于点M，作PN⊥x轴，与抛物线y＝x2+bx+c交于点N． ①当n＝1时，求PM+PN的长； ②若PM+PN≥4，直接写出n的取值范围． 24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是弦，过点O作OD∥BC交AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，连接PC． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）如果∠B＝2∠CPO，OD＝1，求PC的长． 25．（6分）数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．他们想探究容器表面积与底面半径的关系． 具体研究过程如下，请补充完整： （1）建立模型：设该容器的表面积为S cm2，底面半径为x cm，高为y cm，则 330＝πx2y，① S＝2πx2+2πxy，② 由①式得y＝，代入②式得 S＝2πx2+，③ 可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是x＞0． （2）探究函数： 根据函数解析式③，按照如表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： x/cm … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … S/cm2 … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）解决问题：根据图表回答， ①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积 　 　（填“大”或“小”）； ②若容器的表面积为300cm2，容器底面半径约为 　 　cm（精确到0.1）． 26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2上任意两点． （1）当a＝1时，求抛物线与y轴的交点坐标及顶点坐标； （2）若对于，，都有y1＞y2，求a的取值范围． 27．（7分）如图，已知△ABC．将AB绕点A逆时针旋转2α（α＞45°）得到AD，使得∠ACB＝∠BAD，连接BD．作DE∥BC交AC的延长线于点E． （1）依题意补全图形； （2）求证：∠BAC＝∠ADE； （3）用等式表示线段BC与AE的数量关系，并证明． 28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ＜PO＜PQ且PO≤2，我们称点P是线段OQ的“潜力点”．已知点O（0，0），Q（1，0）． （1）在P1（0，﹣1），P2（，），P3（﹣1，1）中是线段OQ的“潜力点”是 　 　； （2）若点P在直线y＝x上，且为线段OQ的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围； （3）直线y＝2x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ的“潜力点”时，直接写出b的取值范围． 2024-2025学年北京166中九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共16分，每题2分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1．（2分）在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于原点的对称点的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可． 【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点A（1，2）关于原点O中心对称的点的坐标为（﹣1，﹣2）． 故选：D． 2．（2分）下面四个博物馆标志，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形定义及“将图形绕着某一点旋转180°与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可． 【解答】解：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心； A．原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； C．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5被直线l1，l2，l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF．若AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF的长是（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3， ∴， ∵AB＝4，BC＝6，DE＝3， ∴， ∴EF＝4.5， 故选：B． 4．（2分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0方程可变形为（　　） A．（x+1）2＝4 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝6 D．（x﹣1）2＝6 【答案】D 【分析】先移项，再两边都加上1，即可得出选项． 【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0， x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝5+1， （x+1）2＝6， 故选：D． 5．（2分）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（5，0），则它的对称轴为（　　） A．直线x＝0 B．直线x＝1 C．直线x＝2 D．直线x＝3 【答案】C 【分析】抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（5，0），则A（﹣1，0），B（5，0）为抛物线上的一对对称点，根据公式计算即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（5，0）， ∴对称轴直线为：x＝＝2． 故选：C． 6．（2分）如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则的长为（　　） A． B． C． D．π 【答案】C 【分析】连接OC、OB，求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可． 【解答】解：连接OB，OC，OD， ∵多边形ABCDEF为正六边形， ∴∠COB＝∠COD＝360°×＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝OC＝BC＝1， ∴弧BC的长为＝π． 故选：C． 7．（2分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E．如果AE＝9，DC＝6，那么BE的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OB＝R，根据垂径定理得DE＝CE＝3，进而得由勾股定理求出R＝5，则OB＝5，OE＝4，由此可得BE的长． 【解答】解：设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OB＝R， ∵线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AE＝9，DC＝6， ∴DE＝CE＝CD＝3，OE＝AE﹣OA＝9﹣R， 在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD2＝OE2+DE2， ∴R2＝（9﹣R）2+32， 解得：R＝5， ∴OB＝R＝5，OE＝9﹣R＝4， ∴BE＝OB﹣OE＝1． 故选：A． 8．（2分）用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m，矩形的面积为S m2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x、S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断． 【解答】解：由题意可得：2x+2y＝10，S＝xy， ∴y＝5﹣x，S＝x（5﹣x）＝﹣x2+5x， ∴y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系， 故选A． 二、填空题（共16分，每题2分） 9．（2分）将二次函数y＝x2+4的图象向上平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为 　y＝x2+6　． 【答案】y＝x2+6． 【分析】根据函数图象平移的法则解答即可． 【解答】解：将二次函数y＝x2+4的图象向上平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为y＝x2+4+2，即y＝x2+6． 故答案为：y＝x2+6． 10．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，那么m＝　1　． 【答案】1． 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，然后解关于m的方程即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0， 解得m＝1． 故答案为：1． 11．（2分）某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考查某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示： 移植总数 10 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数量 8 235 369 662 1335 3203 6335 8073 12628 成活频率 0.800 0.870 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 估计树苗移植成活的概率是 　0.9　（结果保留小数点后一位）． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据表格中的数据和概率的含义，可以估计树苗移植成活的概率． 【解答】解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是0.9， 故答案为：0.9． 12．（2分）如图，△ABC的高AD，BE相交于点O，写出一个与△AOE相似的三角形，这个三角形可以是 　△BOD或△CBE或△ACD　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据两个角相等，两个三角形相似，可证明与△AOE相似的三角形有△BOD或△CBE或△ACD． 【解答】解：∵∠AEO＝∠BDO，∠BOD＝∠AOE， ∴△AOE∽△BOD， ∴∠CBE＝∠OAE， 又∵∠AEO＝∠CEB， ∴△CBE∽△AOE； ∵∠AEO＝∠ADC＝90°，∠CAD＝∠OAE， ∴△AOE∽△ACD， 故答案为：△BOD或△CBE或△ACD． 13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC的外心坐标为 　（3，2）　． 【答案】（3，2）． 【分析】作AB和AC的垂直平分线，它们的交点P为△ABC外接圆圆心，然后写出P点坐标即可． 【解答】解：如图所示，△ABC外接圆圆心的坐标为（3，2）． 故答案为：（3，2）． 14．（2分）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的度数为 　30°　． 【答案】见试题解答内容 【分析】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，继而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°． 【解答】解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为， 由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°， 又∵∠AOC＝90°， ∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°． 故答案为：30°． 15．（2分）若点A（a﹣3，y1），B（a+1，y2）是二次函数y＝2（x﹣a）2+3的图象上的两点，则y1　＞　y2（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】＞． 【分析】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小． 【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣a）2+3， ∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线x＝a． ∵点A（a﹣3，y1），B（a+1，y2）是二次函数y＝2（x﹣a）2+3的图象上的两点， 点A（a﹣3，y1）离对称轴的距离大于点（a+1，y2）离对称轴的距离， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 16．（2分）尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如表： 演员1 演员2 演员3 演员4 演员5 演员6 演员7 演员8 节目A √ √ √ √ √ 节目B √ √ √ 节目C √ √ √ 节目D √ √ 节目E √ √ 节目F √ √ 从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序 　ECDB　（只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可）． 【答案】ECDB． 【分析】根据题意，可先确定第二个节目为节目E，继而确定第三个节目和第五个节目的可能性，最后确定了第四个节目，即可得到答案． 【解答】解：由题意得，首尾两个节目分别是A，F，节目A参演演员有1、3、5、6、8，节目F参演演员有5、7， 由于从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出， 故可先确定第二个节目为不含演员1、3、5、6、8的节目，即节目E， 第三个节目为不含2、7的节目，即节目B或C， 第五个节目为不含5、7的节目，即节目B或C， 所以，可确定第四个节目为节目D， 综上，演出顺序为节目AEBDC或AECDBF． 故答案为：ECDB． 三、解答题（本题共68分，其中第17～22题，每题5分，第23～26题，每题6分，第27～28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 17．（5分）解方程：x2+4x﹣12＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：分解因式得：（x﹣2）（x+6）＝0， 可得x﹣2＝0或x+6＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣6． 18．（5分）如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD． （1）证明：△ABC∽△ACD； （2）若AB＝4，AC＝5，求CD的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据AC平分∠BAD，可得∠BAC＝∠DAC．进而可以解决问题； （2）根据勾股定理首先求出BC＝3，再根据△ABC∽△ACD，对应边成比例即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC． ∵∠B＝∠ACD＝90°， ∴△ABC∽△ACD． （2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°， ∵AB＝4，AC＝5， ∴， ∵△ABC∽△ACD， ∴． ∴， ∴． 19．（5分）已知：如图，线段AB． 求作：以AB为斜边的直角△ABC，使得一个内角等于30°． 作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O； ②以点O为圆心，OA长为半径画圆； ③以点B为圆心，OB长为半径画弧，与⊙O相交，记其中一个交点为C； ④分别连接AC，BC． △ABC就是所求作的直角三角形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝ 　90　°（ 　直径所对的圆周角是直角　）（填推理的依据）． ∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形． ∵OC＝OB＝BC， ∴△OBC是等边三角形． ∴∠COB＝60°． ∴∠A＝ 　30　°． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）证明△BOC是等边三角形，∠ACB＝90°即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求作． （2）连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）． ∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形． ∵OC＝OB＝BC， ∴△OBC是等边三角形． ∴∠COB＝60°． ∴∠A＝30°． 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，30． 20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根的和为6，求m的值． 【答案】（1）见解答； （2）m＝3． 【分析】（1）只要计算Δ的值大于0，即可证明结论成立； （2）根据根由系数的关系得出x1+x2＝2m，由x1+x2＝6，得到2m＝6，即可求得m的值． 【解答】（1）证明：∵一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣9）＝36＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣9＝0， ∴x1+x2＝2m， ∵x1+x2＝6， ∴2m＝6， ∴m＝3． 21．（5分）2024年10月19日，学校举办建校160周年校庆的校友返校活动．为了保证返校活动顺利进行，学校在非毕业年级校区的各个班级中招募志愿者，小明和小然积极报名参加．根据学校安排，志愿者将被随机分到A组（精美礼物发放），B组（行进路线指引），C组（学校校史介绍）中的其中一组进行志愿工作． （1）小明被分配到A组是 　随机　事件，小亮被分配到B组是 　不可能　事件（填“必然”，“随机”或“不可能”）； （2）请用列表或画树状图的方法，求出小明和小然被分配到同一组的概率． 【答案】（1）随机；不可能； （2）． 【分析】（1）根据随机事件的定义可得答案； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小明和小然被分配到同一组的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得，小明被分配到A组是随机事件，小亮被分配到B组是不可能事件， 故答案为：随机；不可能； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小然被分配到同一组的结果有3种， ∴小明和小然被分配到同一组的概率为＝． 22．（5分）2023年10月，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京召开，回顾了十年来“一带一路”取得的丰硕成果．为促进经济繁荣，某市大力推动贸易发展，2021年口贸易总额为60000亿元，2023年进出口贸易总额为86400亿元．若该市这两年进出贸易总额的年平均增长率相同，求这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率． 【答案】见试题解答内容 【分析】设这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为x，利用该市2023年进出口贸易总额＝该市2021年进出口贸易总额×（1+这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为x， 根据题意得：60000（1+x）2＝86400， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：这两年该市进出口贸易总额的年平均增长率为20%． 23．（6分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，与直线y＝﹣x﹣1交于A，C两点，且经过点（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P（n，﹣n）（n＞0）作PM⊥y轴，与直线y＝﹣x﹣1交于点M，作PN⊥x轴，与抛物线y＝x2+bx+c交于点N． ①当n＝1时，求PM+PN的长； ②若PM+PN≥4，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）①4；②n≥3或0＜n≤1． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①当y＝﹣1时，即﹣1＝﹣x﹣1，则x＝0，即点M（0，﹣1），则PM＝1﹣0＝1，当x＝1时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣4，即点N（1，﹣4），则PN＝﹣1﹣（﹣4）＝3，即可求解； ②当n2﹣n﹣3≥0且n＞0，即n≥，则PM+PN＝n2﹣n﹣3+1≥4，且n＞0，即可求解；当n2﹣n﹣3＜0且n＞0，即0＜n＜，同理可解． 【解答】解：（1）抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A，C两点，则点A（﹣1，0）， 则，解得：， 在抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）①点P（1，﹣1）， 当y＝﹣1时，即﹣1＝﹣x﹣1，则x＝0，即点M（0，﹣1）， 则PM＝1﹣0＝1， 当x＝1时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣4，即点N（1，﹣4）， 则PN＝﹣1﹣（﹣4）＝3， 则PM+PN＝4； ②点P（n，﹣n）， 当y＝﹣n时，即﹣n＝﹣x﹣1，则x＝n﹣1，即点M（n﹣1，﹣n）， 则PM＝n﹣（n﹣1）＝1， 当x＝n时，y＝x2﹣2x﹣3＝n2﹣2n﹣3，即点N（n，n2﹣2n﹣3）， 则PN＝|n2﹣2n﹣3+n|＝|n2﹣n﹣3|， 当n2﹣n﹣3≥0且n＞0，即n≥， 则PM+PN＝n2﹣n﹣3+1≥4，且n＞0， 解得：n≥3， 即n≥3； 当n2﹣n﹣3＜0且n＞0，即0＜n＜， 则PM+PN＝﹣n2+n+3+1≥4，且n＞0， 解得：0＜n≤1， 即0＜n≤1； 综上，n≥3或0＜n≤1． 24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是弦，过点O作OD∥BC交AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，连接PC． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）如果∠B＝2∠CPO，OD＝1，求PC的长． 【答案】（1）证明过程详见解答； （2）2． 【分析】（1）连接OC，可证明OD是AC的垂直平分线，从而得出AP＝CP，进而证明△PCO≌△PAO，进而得出∠PCO＝∠PAO＝90°，进一步得出结果； （2）可证明∠DAO＝∠CPO，进而得出∠APO＝∠DAO＝30°，在Rt△APO中求出AP，进而得出结果． 【解答】（1）证明：如图1， 连接OC， ∵PA是⊙O的切线， ∴∠PAO＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OD∥BC， ∴∠ADO＝∠ACB＝90°， ∵OA＝OC， ∴CD＝AD， ∴AP＝CP， ∵OP＝OP， ∴△PCO≌△PAO（SSS）， ∴∠PCO＝∠PAO＝90°， ∵点C在⊙O上， ∴PC是⊙O的切线； （2）解：由（1）得：△PCO≌△PAO， ∴∠APO＝∠CPO， ∵∠PAO＝90°， ∴∠PAD+∠DAO＝90°， ∵∠PDA＝∠ADO＝90°， ∴∠PAD+∠APO＝90°， ∴∠DAO＝∠APO， ∴∠DAO＝∠CPO， ∵∠B＝2∠CPO， ∴∠B＝2∠DAO， ∵∠B+∠DAO＝90°， ∴∠B＝60°，∠DAO＝30°， ∴∠APO＝30°， ∴PC＝＝＝2， 25．（6分）数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．他们想探究容器表面积与底面半径的关系． 具体研究过程如下，请补充完整： （1）建立模型：设该容器的表面积为S cm2，底面半径为x cm，高为y cm，则 330＝πx2y，① S＝2πx2+2πxy，② 由①式得y＝，代入②式得 S＝2πx2+，③ 可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是x＞0． （2）探究函数： 根据函数解析式③，按照如表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： x/cm … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … S/cm2 … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； （3）解决问题：根据图表回答， ①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积 　大　（填“大”或“小”）； ②若容器的表面积为300cm2，容器底面半径约为 　2.5或5.3　cm（精确到0.1）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（2）根据图象上点连线即可； （3）根据图表即可求出答案． 【解答】解：（2）函数图象如图所示： （3）①根据图表可知，半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积大， 故答案为：大． ②根据图表可知，当s＝300cm2，x≈2.5cm或x≈5.3cm， 故答案为：2.5或5.3． 26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2上任意两点． （1）当a＝1时，求抛物线与y轴的交点坐标及顶点坐标； （2）若对于，，都有y1＞y2，求a的取值范围． 【答案】（1）抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），顶点坐标为（1，﹣2）； （2）a的取值范围为a． 【分析】（1）令x＝0，求得函数值，即可求得抛物线与y轴的交点坐标，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【解答】解：（1）当a＝1时，抛物线为y＝x2﹣2x﹣1， 令x＝0，则y＝﹣1， ∴抛物线与y轴的交点为（0，﹣1）， ∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）； （2）∵y＝x2﹣2ax+a2﹣2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝a， ∴A（x1，y1），B（x2，y2）离抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2的对称轴距离较大，函数值越大． ∴当a≥＝时，点A离对称轴远，都有y1＞y2． ∴a的取值范围为a． 27．（7分）如图，已知△ABC．将AB绕点A逆时针旋转2α（α＞45°）得到AD，使得∠ACB＝∠BAD，连接BD．作DE∥BC交AC的延长线于点E． （1）依题意补全图形； （2）求证：∠BAC＝∠ADE； （3）用等式表示线段BC与AE的数量关系，并证明． 【答案】（1）图见解答； （2）证明见解答； （3）BC＝AE，证明见解答． 【分析】（1）正确作图即可； （2）根据平行线的性质与角的和差关系可得结论； （3）如图1，在ED上截取DF＝AC，由旋转得：AB＝AD，根据SAS证明△ABC≌△DAF，则BC＝AF，∠AFD＝∠ACB，再证明AE＝AF，可得BC＝AE． 【解答】（1）解：如图1所示， （2）证明：∵DE∥BC， ∴∠BCE＝∠CED， ∴∠ACB＝∠DEG＝∠BAD， ∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD，∠DEG＝∠CAD+∠ADE， ∴∠BAC＝∠ADE； （3）解：BC＝AE，证明如下： 如图1，在ED上截取DF＝AC， 由旋转得：AB＝AD， 由（2）知：∠BAC＝∠ADE， ∴△ABC≌△DAF（SAS）， ∴BC＝AF，∠AFD＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠GED， ∴∠GED＝∠AFD， ∵∠AEF+∠GED＝180°，∠AFD+∠AFE＝180°， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵AF＝BC， ∴BC＝AE． 28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ＜PO＜PQ且PO≤2，我们称点P是线段OQ的“潜力点”．已知点O（0，0），Q（1，0）． （1）在P1（0，﹣1），P2（，），P3（﹣1，1）中是线段OQ的“潜力点”是 　P3　； （2）若点P在直线y＝x上，且为线段OQ的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围； （3）直线y＝2x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ的“潜力点”时，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）P3． （2）﹣≤xp＜﹣． （3）1＜b≤或＜b＜﹣1． 【分析】（1）在坐标系中找到P1（0，﹣1），P2（，），P3（﹣1，1）三点，根据坐标系中两点间的距离可直接得出结论； （2）经过分析可知，点P在以O为圆心，1为半径的圆外，且在线段OQ垂直平分线的左侧，且点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内．画出点P的范围，找到此范围中符合题意的点P，即可求解． （3）根据点N的运动，可找到临界状态，画出图形，求出对应的b的值即可． 【解答】解：（1）在坐标系中找到P1（0，﹣1），P2（，），P3（﹣1，1）三点，如图， 根据“潜力点”的定义，可知P3是线段OQ的潜力点． 故答案为：P3； （2）∵点P为线段OQ的“潜力点”， ∴OQ＜PO＜PQ且PO≤2， ∵OQ＜PO， ∴点P在以O为圆心，1为半径的圆外． ∵PO＜PQ， ∴点P在线段OQ垂直平分线的左侧． ∵PO≤2， ∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内． 又∵点P在直线y＝x上， ∴点P在如图所示的线段AB上（不包含点B）． 由题意可知△BOC和△AOD是等腰三角形 ∴BC＝AD＝ ∴﹣≤xp＜﹣． （3）如图①，当直线MN与半径长为2的圆相切时，开始有“潜力点”，且点E是“潜力点”； 过点O作OE⊥MN， 则OE＝2，ME＝1， ∴OM＝， 则b＝ON＝2； 点N继续当下运动，如图②，当点N与点（0，1）重合时，开始没有“潜力点”，且点N不是“潜力点”； 此时b＝1； 如图③，当点N与（0，﹣1），重合时，开始有“潜力点”，且点N不是“潜力点”； 此时b＝﹣1； 如图④，当线段MN过点G时，开始没有“潜力点”，且点G不是“潜力点”； 此时G（，﹣）， ∴2×+b＝， ∴b＝﹣﹣1． 综上所示，b的取值范围为：1＜b≤或＜b＜﹣1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/23 0:14:47；用户：15008208124；邮箱：15008208124；学号：60148633 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$