第三章 圆锥曲线的方程（基础卷）-2024-2025学年高二第一学期数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019）

第三章 圆锥曲线的方程（基础卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知P为椭圆上的动点．，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，可得，则， 由椭圆的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的椭圆， 其中，可得，所以， 又因为点在椭圆，所以. 故选：C. 2．点是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，记， ，， 中，由余弦定理得，又， ， . 故选：B. 3．已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线的对称性，不妨设点在轴上及其上方，如图，    依题意，，设，则， 由得， 所以， 所以. 故选：D． 4．若曲线是双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】曲线是双曲线，则异号.则，解得. 故选：D. 5．已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（    ） A．当曲线表示双曲线时，的取值范围是 B．当时，曲线表示一条直线 C．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 D．存在，使得曲线为等轴双曲线 【答案】C 【详解】对于选项A：曲线表示双曲线时，则，解得或， 所以的取值范围是，故A错误； 对于选项B：当时，则，解得， 所以曲线表示两条直线，故B错误； 对于选项C：当时，则， 即，可得， 曲线：表示焦点在轴上的椭圆，故C正确； 对于选项D：若曲线为等轴双曲线，且方程可整理为， 可得，则，无解， 所以不存在，使得曲线为等轴双曲线，故D错误； 故选：C. 6．已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 设，，， 是的重心，则， ， 故选：A． 7．吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】以为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米）， 依题意可得抛物线的方程为． 因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为米，则点的横坐标为， 则，所以点到桥面的距离为米． 故选：A. 8．如图，过原点O的直线AB交椭圆于A，两点，过点A分别作轴、AB的垂线，分别交椭圆C于点P，Q，连接交于点M，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，则，，， 由，则，即①， 由B，M，Q三点共线，则，即②， 又因为，，即，③， 将①②代入③得，则. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 【答案】ABC 【详解】由，得，则 ， 因为P是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以为直角三角形，所以B正确， 对于CD，因为为直角三角形，，所以，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 10．设，分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的取值范围是 C．到渐近线的距离随着的增大而减小 D．当时，的实轴长是虚轴长的3倍 【答案】ABC 【详解】因为，所以，故A正确； 因为双曲线焦点在轴上，由且，得的取值范围是，故B正确； 因为到渐近线的距离等于虚半轴长为，其在上单调递减，故C正确； 当时，的实轴长为，虚轴长4，的实轴长是虚轴长的倍，故D错误． 故选：ABC. 11．加斯帕尔•蒙日（如图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”（如图2）.已知矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆与椭圆有相同的焦点 C．椭圆的蒙日圆方程为 D．矩形的面积最大值为50 【答案】ABD 【详解】由椭圆，可得，则， 所以椭圆的离心率为，所以A正确； 由椭圆，可得，则， 故椭圆的焦点与椭圆相同，所以B正确； 因为矩形的四边均与椭圆相切，所以点，即在蒙日圆上， 可得半径，可得椭圆的蒙日圆方程为，所以错误； 设矩形的边长分别为和，则有， 所以矩形的面积等于，当且仅当时取等号，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．如图，在一个高为20，底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭圆的一个标准方程 .    【答案】或 【详解】对圆柱沿底面直径进行纵切，如图所示:切点为，与圆柱面相交于， 此时可知即为椭圆的长轴，在直角三角形中， ,又， 所以， 由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即， 所以椭圆的标准方程为或， 故答案为：或.    13．已知双曲线的渐近线方程为，且的焦点在轴上，则的离心率为 ． 【答案】 【详解】由题意可设双曲线的方程为：， 则双曲线的渐近线方程为：，， 的离心率. 故答案为：. 14．设抛物线的焦点为F，若：与抛物线有四个不同的交点，记y轴同侧的两个交点为A，B，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】解：由题可得，如图：不妨设在轴右侧 将方程与抛物线方程联立： ，得， 设，在轴同侧，不妨设 则由与抛物线有四个不同的交点可得有两个不等的正根，得： ，即， 由抛物线定义可得， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）椭圆过点，且离心率为， 可得：，解得， 再由，可得： ， 椭圆的方程为：. （2）由（1）知椭圆的方程为：，由直线与椭圆联立 消得：，根据直线与椭圆仅有一个交点得： ，解得. 16．著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：. (1)求C的面积； (2)若直线l：交C于A，B两点，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由椭圆C的方程可知，， 所以，椭圆C的面积； （2）联立，得， 设，则，， ∴， 所以，. 17．已知直线：（）与抛物线交于、两点，且. (1)求、两点的横坐标之积与纵坐标之积； (2)求面积的最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1) (2)最小值为16，直线的方程为 【详解】（1）设，，， 即，，，， ，，. （2）由题知，令直线方程中， 可得直线与轴交点，联立，得 ，由(1)知，， ，即点坐标为， 则 ， 当且仅当时，等号成立. ∴面积的最小值为16，此时直线的方程为. 18．设，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线于A，B两点，且. (1)求的长（用a，b表示）； (2)若双曲线的离心率，求证：. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【详解】（1），故两点都在双曲线右支上， 设，则， 由双曲线定义知，， 因为，所以， 由余弦定理得， 化简得，所以； （2）在中，由正弦定理得， 所以， 由（1）知，，故， 又，故， 且，所以， 所以为锐角，故. 19．已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设的左，右顶点分别为A，，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 【答案】(1) (2)直线恒过轴上的一个定点 【详解】（1）由双曲线可得， 可知所求椭圆的焦点坐标为， 则，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，， 且点在椭圆内部，直线与椭圆必有两交点. 设直线方程为，，则， 联立方程化简整理得， 则. 设直线与轴交于点，则三点共线， 于是，即，则， 可得 ， 即，解得， 所以，直线恒过轴上的定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆锥曲线的方程（基础卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知P为椭圆上的动点．，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．点是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若曲线是双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 5．已知，则方程所表示的曲线为，则以下命题中正确的是（    ） A．当曲线表示双曲线时，的取值范围是 B．当时，曲线表示一条直线 C．当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 D．存在，使得曲线为等轴双曲线 6．已知为抛物线的焦点，点，，在抛物线上，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 7．吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．如图，过原点O的直线AB交椭圆于A，两点，过点A分别作轴、AB的垂线，分别交椭圆C于点P，Q，连接交于点M，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 10．设，分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的取值范围是 C．到渐近线的距离随着的增大而减小 D．当时，的实轴长是虚轴长的3倍 11．加斯帕尔•蒙日（如图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”（如图2）.已知矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆与椭圆有相同的焦点 C．椭圆的蒙日圆方程为 D．矩形的面积最大值为50 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．如图，在一个高为20，底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭圆的一个标准方程 .    13．已知双曲线的渐近线方程为，且的焦点在轴上，则的离心率为 ． 14．设抛物线的焦点为F，若：与抛物线有四个不同的交点，记y轴同侧的两个交点为A，B，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 16．著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：. (1)求C的面积； (2)若直线l：交C于A，B两点，求. 17．已知直线：（）与抛物线交于、两点，且. (1)求、两点的横坐标之积与纵坐标之积； (2)求面积的最小值，并求此时直线的方程. 18．设，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线于A，B两点，且. (1)求的长（用a，b表示）； (2)若双曲线的离心率，求证：. 19．已知椭圆经过点，且与双曲线有相同的焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设的左，右顶点分别为A，，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，过点作关于轴的对称点，连结得到直线，试探究：直线是否恒过轴上的一个定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$