精品解析：山东省济宁市兖州区2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试题

2024—2025学年第一学期期中质量检测 高一数学试题 2024．11 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题p：，，命题q：，，则（ ） A. ：， B. ：， C. ：， D. ：， 4. 下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 若函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若正实数x，y，满足，则的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 18 7. 某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（ ）. A. B. C. D. 8. 定义在的函数的图像位于轴上方，且是连续不断的.若的图像关于点对称，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. . 是的必要不充分条件 C. 若，，，则“”的充要条件是“” D. 若，，则“”是“”的充要条件 10. 若不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式解集为 D. 关于的不等式解集为 11. 已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 若，则x的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数的图像经过点，则的值为______. 13. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是__________. 14. 若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）求； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 16. 已知函数. （1）证明函数在上严格增； （2）若函数在定义域上为奇函数，求不等式的解集. 17. 已知函数． （1）若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （2）当时，解关于x的不等式． 18. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为． （1）求函数的解析式； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）、且时，判断并证明与的大小关系． 19. 设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是型函数，是这个型函数的常数 （1）判断函数，是不是型函数，并说明理由：如果是，给出一个常数； （2）设函数是定义在区间上的型函数，是一个常数，求证：函数也是型函数； （3）设函数是定义在上的型函数，其常数，且的值域也是，求的解析式 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中质量检测 高一数学试题 2024．11 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由补集的运算即可求解. 【详解】解：， ， 故选：B． 2. 函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】函数定义域满足，求解即可 【详解】由题， 函数定义域满足，解得. 故选：C 3. 已知命题p：，，命题q：，，则（ ） A. ：， B. ：， C. ：， D. ：， 【答案】B 【解析】 【分析】由含有一个量词的命题的否定求解. 【详解】命题p：，，则：，，A错误B正确； 命题q：，，则：，，CD错误. 故选：B. 4. 下列四组函数中，不是同一个函数的一组是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的定义逐项判断即可. 【详解】选项A：对于，其定义域为. 对于，因为恒成立，所以定义域为. 又因为，与的定义域相同，对应关系也相同，所以和是同一个函数. 选项B：的定义域是.的定义域是. 虽然自变量的符号不同，但是它们的定义域相同，对应关系（这里和都只是自变量的符号）也相同，所以和是同一个函数. 选项C：的定义域为. 当时，；当时，，，其定义域为. 与的定义域相同，对应关系也相同，所以和是同一个函数. 选项D：，根据根式的性质，其定义域为. ，其定义域为. 由于和的定义域不同，所以和不是同一个函数. 故选：D. 5. 若函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况分别解不等式即可. 【详解】当时，由，即所以，解得； 当时，由，即所以，解得； 综上，实数的取值范围是. 故选：B 6. 若正实数x，y，满足，则的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】 将所给等式变形后可得，并根据正实数x，y可求得的范围；将代入，变形后以分离常数形式构造基本不等式，即可求得最小值. 【详解】正实数x，y，满足， 变形可得， 由x，y是正实数可得，解得. 所以 当且仅当时，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：C. 【点睛】本题考查了由等量关系求最值，基本不等式求最值的应用，分离常数方法的应用，属于中档题. 7. 某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的图象确定的变化趋势，确定正确选项． 【详解】由题意，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大， 从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变， 是常数，该常数为2，只有D满足， 故选：D． 8. 定义在的函数的图像位于轴上方，且是连续不断的.若的图像关于点对称，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性和基本不等式可求最小值. 【详解】因为的图像关于点对称，故，故. 故， 因为的图像位于轴上方，故， 故即， 当且仅当时等号成立，而， 故最大值为9，故最小值为， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. . 是的必要不充分条件 C. 若，，，则“”的充要条件是“” D. 若，，则“”是“”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解． 【详解】A 选项：当时，满足，但是不能推出； 反之当时，满足，但是不能推出，所以两者既不充分也不必要，故 A 错误； B选项：当，,但是不能推出 当时，，故 B 正确； C选项：当时，不能由推出,故 C 错误； D选项：等价于等价于，故 D正确； 故选：BD. 10. 若不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式解集为 D. 关于的不等式解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由题意及根与系数的关系得到，，即可判断A、B；对于C、D：把不等式转化为，即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，故，此时，所以A正确, B正确； ，解得：或.所以D正确；C错误. 故选：ABD 11. 已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 若，则x的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】用赋值法先令求得，再令即可求得判断A；然后令可判断奇偶性判断B；任取，则，由可得单调性判断C；利用奇偶性与单调性解不等式判断D. 【详解】对于A，在中， 令得，因此， 再令得，则，故A错； 对于B，令得， 所以，是偶函数，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，在上是增函数， 从而，故C正确； 对于D，是偶函数，则，又在上是增函数，所以，解得且，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数的图像经过点，则的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据过点求出的解析式，从而得到的值. 【详解】设幂函数，将代入，可得：， 所以，所以. 故答案为：2. 13. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将化为，分，，三种情况讨论即可求. 【详解】由可得， 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为， 因为有且仅有3个正整数解，故整数解为， 所以，. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 14. 若定义在上的函数同时满足；①为奇函数；②对任意的，，且，都有.则称函数具有性质P.已知函数具有性质P，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】不妨设，根据题意，转化为，构造函数，得到函数在上为单调递减函数，且为偶函数，再分和，两种情况讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为对任意的，，且，都有， 不妨设，则，可得，则， 构造函数，则，， 所以函数在上为单调递减函数， 又因为为奇函数，所以， 所以函数为上的偶函数， 所以函数在为单调递增函数， 当时，即时，有， 由，可得， 所以，解得，此时无解； 当时，即时，由，可得， 所以，解得或， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于涉及到函数的综合性质问题的求解问题： 1、若涉及到函数性质的综合应用问题，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定某一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题； 2、若涉及的复合函数的单调性问题时，解答时关键是将函数解析式进行等价转化，再根据函数的性质的有关结论进行判断、求解； 3、若涉及到函数性质的组合型问题，解答的关键是要熟练掌握函数的有关性质，以及一些常用结论，明确它们之间的逻辑关系，提升逻辑推理能力； 4、若涉及的函数的新定义问题，关键是理解新定义函数的概念，根据新定义函数的概念丙挖掘其隐含条件，对比选项结论进行判断分析，得以解决. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）求； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）集合是分式不等式的解集，求解时注意分母不为0即可，由交集运算可得； （2）由，知，这时对分类，分和两类讨论可得． 试题解析：（1）或， 故 （2）因为，所以． ①当，即时，，满足题意； ②当，即时，要使，则，解得． 综上所述，实数的取值范围为． 考点：集合的运算与包含关系． 16. 已知函数. （1）证明函数在上严格增； （2）若函数在定义域上为奇函数，求不等式的解集. 【答案】（1）证明：因，任取，且， 由 ， 因，则，，故， 即. 故函数在上严格增； （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性定义证明即得； （2）根据函数的奇偶性求出值，再求出方程的解，分别利用函数在和上的单调性即可求得不等式的解集. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为函数在定义域上为奇函数，则， 所以． 所以，即， 所以， 由得：，即， 所以或， 解得或， 所以不等式的解集为. 17. 已知函数． （1）若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （2）当时，解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2）当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 【解析】 【分析】（1）讨论或两种情况，由不等式恒成立，求参数的取值范围； （2）首先不等式整理为，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式. 【小问1详解】 即为， 所以不等式对于任意恒成立， 当时，得，显然符合题意； 当时，得，解得． 综上，实数a的取值范围是． 【小问2详解】 不等式即为， 即． 又，不等式可化为， 若，即时，得或，即解集为或； 若，即时，得，即解集为； 若，即时，得或，即解集为或． 综上可知，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 18. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为． （1）求函数的解析式； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）、且时，判断并证明与的大小关系． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合图象，分类讨论求得函数解析式； （2）将问题转化为，求出函数的最大值即可； （3）作差比较． 【小问1详解】 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述， 【小问2详解】 恒成立，则恒成立，即， 由图象可知，是最大值是， 所以，， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 、 ， ， 因为， 所以 所以． 19. 设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是型函数，是这个型函数的常数 （1）判断函数，是不是型函数，并说明理由：如果是，给出一个常数； （2）设函数是定义在区间上的型函数，是一个常数，求证：函数也是型函数； （3）设函数是定义在上的型函数，其常数，且的值域也是，求的解析式 【答案】（1）是，； （2）设， 任取 则 则 则也是型函数. （3），或， 【解析】 【分析】（1）（2）根据定义型函数的定义求解； （3）先根据型函数的定义演绎推理求得K，再利用反证法和分类讨论求出函数的解析式. 【小问1详解】 假设是型函数， 则任取，都有恒成立 即 当时， 当时， 综上所述， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 假设且 则 由于 或 ①当时，假设存在且 若，则 若，则 均矛盾，故对任意，都有 此时，的解析式为 ②同理，当时，的解析式为 综上，的解析式为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $