精品解析：新疆乌鲁木齐市第六十八中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

乌鲁木齐市第68中学2024-2025学年第一学期期中考试 高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两点求出直线斜率，由斜率求倾斜角. 【详解】设直线的斜率为，则，即． 因为，所以． 故选：C 2. 已知直线，，若，则实数的值是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线的一般式方程，根据直线垂直的条件列出等式，求得答案. 【详解】由题意可知,故， 解得或，经验证，符合题意， 故选：A 3. 已知焦点在y轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出，再根据椭圆的离心率公式即可得解. 【详解】因为焦点在轴上的椭圆的焦距为2， 所以，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：B. 4. 设是圆上的任意点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 将所求最值转化为求解圆上的点到定点距离的平方，即求圆心到直线距离与半径之和的平方，由此可计算求得结果. 【详解】表示点到的距离的平方， 是圆上一点， 的最大值为圆心到的距离与半径之和的平方， 即. 故选：. 【点睛】本题考查圆上的点到定点距离最值的求解问题，关键是明确圆上的点到圆外定点的距离最大值为圆心到定点的距离与半径之和；最小值为圆心到定点的距离与半径之差. 5. 已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干数据先分析出为直角三角形，然后根据椭圆定义和勾股定理计算. 【详解】 由题意得，，于是， 即为△的外心，以为直径的圆经过，于是， 记，根据椭圆定义和勾股定理：， 于是. 故选：A 6. 如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（ ） A. 24－3π B. 24－π C. 24＋π D. 24＋5π 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体结构特征，利用球、正方体和圆的面积公式可得. 【详解】由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的球后的剩余部分， 其表面积等于正方体表面积减去三个半径为2的圆，再加上2为半径的球面， 则. 故选：B 7. 在四面体中，平面，，点分别为棱上的点，且，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以，，为空间向量的基底，表示出和，利用空间向量的数量积，求异面直线的夹角. 【详解】如图： 因为，所以， 则， 又，所以， 则， 又平面，平面，所以，， 即， 又，所以 所以 ， ，， 所以， 则直线与直线夹角的余弦值为． 故选：A 【点睛】方法点睛：以，，为空间向量的基底，表示出和，利用空间向量的数量积，求异面直线的夹角. 8. 年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（ ）个. ①椭圆的长轴长为 ②线段长度的取值范围是 ③的面积最小值是 ④的周长恒为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题设椭圆中可得，又、判断①②；令得，特殊值判断③；利用椭圆定义求焦点三角形周长判断④. 【详解】由题意，椭圆中几何量，所以，则， 故①正确； 因为，由椭圆性质可知， 所以，故②正确； 设，则 ，取， 则，故③错误； 由椭圆定义知，， 所以的周长，故④正确，故答案为①②④. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题③的关键点在于设，由表示出，结合三角函数的性质即可得出答案. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆：的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 椭圆的标准方程为 C. D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意得出的值，得到椭圆方程，由此判断出ABC选项，D选项需要对线段转化为，变成求最大值，从而得出结果. 【详解】由题意可知：，解得， ∴，A选项正确； ∴ ∴椭圆：，B选项正确； ∵，∴，C选项错误； ， 当且仅当在之间且它们三点共线时等号成立，D选项正确； 故选：ABD 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与圆相交列不等式，进而得到点与圆位置关系，判断A；根据直线与圆的相交，确定最长弦长为直径，判断B；根据点到直线的距离公式，结合圆的半径，判断C；根据圆的特征以及切线的定义，判断D. 【详解】对于A项，由题意可得，所以，从而点在圆的外部，故A项正确； 对于B项，直线恒过定点，， 点在圆的内部，所以直线与圆相交，则最长的弦为直径4，故B项错； 对于C项，圆心到直线的距离为，如图，直线与圆相交， ，与平行，且与直线的距离为1，故可以看出，圆的半径应该满足，故C项错误； 对于D项，过点作圆：的切线只有一条，则点在圆上， 又，故切线的斜率为， 所以切线方程为，即，故D项正确. 故选：AD. 11. 如图，在正四面体中，已知为棱的中点.现将等腰直角三角形绕其斜边旋转一周（假设可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（ ） A. 三角形绕斜边旋转一周形成的旋转体体积为 B. 四点共面 C. 点到的最近距离为 D. 异面直线与所成角的范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由题意知旋转体为两个同底等高的圆锥组合体，求出组合体的体积即可； 对于B，由线面垂直，线线垂直，又有公共点即可判断； 对于C，设为的中点，令为的中点，点在以为圆心，1为半径的圆上运动，结合图形可知当，，三点共线时，可求最小值； 对于D，结合B、C选项可判断. 【详解】对于A，因为，所以等腰直角三角形的直角边为，斜边的高为1； 旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1； 所以几何体的体积为，故A不正确； 对于B，在正四面体中，各个侧面都是等边三角形，又因为为棱的中点， 所以，，又，相交于点，又都在平面内， 所以平面，又，与平面有一个公共点， 所以在平面内，所以四点共面，故B正确； 对于C，在图1中，令为的中点，为的中点，则点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 由图可知当，，三点共线，且当运动到的位置时，到的距离最小， 在直角中，，所以，故C不正确； 对于D，由B、C可知，在圆锥的底面内，如图1，由圆锥轴截面中，， 由线面角的概念可知，与圆锥底面中的直线所成最小角就是，最大角一定为，由此可知异面直线与所成角的范围为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一条光线从点射出，经直线y轴反射后过点，则反射光线所在的直线方程为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】关于y轴的对称点为，反射光线所在的直线即为经过的直线，求的直线方程即可. 【详解】关于y轴的对称点为， 根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过的直线， 由两点式得直线的方程为：，即. 故答案为： 13. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】通过已知数据求出圆弧的半径，再通过由半径算弦心距的方法求出最大高度，最后减去安全高度差即可. 【详解】如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作，交圆弧于点G，作于点H，连接OE、OG. 由题可知，，， 设，则 在中，有 即，解得 故车辆通过隧道的限制高度是. 故答案为： 14. 过椭圆上的点，分别作的切线．若两切线交点恰好在直线上，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的切点弦方程得直线的方程为，联立椭圆方程利用韦达定理计算即可. 【详解】先证椭圆上一点的切线方程：对于上一点，过点的切线方程为， 证明：当该切线存在斜率时，不妨设其方程为，与椭圆方程联立可得： ， 则，， 代入切线方程得， 于是，从而切线方程为， 整理得： 由椭圆方程，知，，所以． 设两切线交点，易得切线的方程为， 切线的方程为． 由于点在切线、上， 则，故直线的方程为， 联立方程，消去得，显然， 由韦达定理得． 即的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求符合下列条件的方程： （1）求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． （2）与椭圆有相同的焦点的椭圆，且经过点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设所求圆的标准方程为：，代入，，求解即可. （2）求出椭圆的焦点坐标，利用待定系数法求得的值，即得答案． 【小问1详解】 设所求圆的标准方程为：， 依题意得，即， 解得， 所以所求圆的方程为：. 【小问2详解】 椭圆的焦点坐标为， 则所求椭圆的焦点坐标也为， 设其方程为，则， 又椭圆经过点，故，联立， 解得， 故椭圆方程为． 16. 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1） 在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）. 【解析】 【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 17. 如图，已知圆柱的底面半径为1，正△ABC内接于圆柱的下底面圆O，点是圆柱的上底面的圆心，线段是圆柱的母线． （1）求点C到平面的距离； （2）在劣弧上是否存在一点D，满足平面？若存在，求出∠BOD的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先作出点C到平面的距离，再解三角形去求的长即可解决； （2）利用面面平行性质定理去作出点D，再利用等边三角形的性质去求∠BOD的大小 【小问1详解】 连接CO并延长交AB于M， 又正△ABC内接于圆柱的下底面圆O，则， 又平面ABC，平面ABC 则，又，,平面,平面 则平面，则点C到平面的距离为 由圆柱的底面半径为1，可得，则 则 【小问2详解】 连接，在平面ABC内过点O作交劣弧于D，连接 由，平面，平面，可得平面 由，平面，平面，可得平面 又，平面，平面 则平面平面，又平面，则平面， 连接OB，则 18. 已知、分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点. （1）求当面积最大时直线的斜率； （2）若直线与交于点，直线与交于点 ①求直线的方程； ②记、的面积分别为、，求的最大值. 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质判断面积最大时的位置，即可求直线斜率； （2）①利用垂直关系分别写出直线的方程，求出其交点的坐标，同理可求得的坐标，即可得出直线的方程； ②将直线与椭圆方程联立利用韦达定理可解得点纵坐标，同理得点纵坐标，再结合①中直线的方程可得，分别表示出的表达式利用基本不等式即可求得的最大值. 【小问1详解】 由题意，， 所以为椭圆的上下顶点时，面积最大， 若为上顶点，此时， 若为下顶点，此时， 综上，面积最大时直线的斜率为. 【小问2详解】 如下图所示： ①设，由题意直线斜率一定存在，即， 所以，有直线，又，且相互垂直，则， 所以，故直线， 综上，，结合，可得， 所以直线交点横坐标为， 同理得，即直线交点横坐标为， 综上，直线为； ②设直线，与椭圆联立并整理得，易得，同理可得， 又，同理可得， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的面积问题往往是先写出面积表达式，通过合理变形再利用基本不等式或构造函数求出其范围即可. 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线的方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）根据新定义建立方程，化简即可判断轨迹为圆，得出轨迹方程； （2）（ⅰ）根据P，Q均为圆“”的“钻石点”，可知为两圆的公共弦，作差即可得解； （ⅱ）由题意求出圆H的方程为，假设存在，根据及根与系数的关系化简为是否对任意成立，即可得解. 【小问1详解】 因为点P为圆A的“黄金点”， 所以，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 故点P所在曲线的方程为 【小问2详解】 （ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则 所以，即点P在圆上， 则P是圆和的交点. 因为P，Q均为圆“”的“钻石点”， 所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得， 故直线的方程为. ( ii )设的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为. 直线的方程为，得的中点坐标为， 点S到直线的距离为， 则，所以圆H的方程为. 假设轴上存在点满足题意，设，. 若轴平分，则，即， 整理得 又，所以代入上式可得， 整理得①， 由可得， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故轴上存在点，使得轴平分. 【点睛】关键点点睛：在（2）( ii )中，求出圆圆H的方程为后，假设存在点满足题意，能够转化为，再由斜率公式化为，利用根与系数的关系代入后得，题目对运算能力要求很高，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第68中学2024-2025学年第一学期期中考试 高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知直线过点，则直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，若，则实数的值是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 已知焦点在y轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 设是圆上的任意点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 64 6. 如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（ ） A. 24－3π B. 24－π C. 24＋π D. 24＋5π 7. 在四面体中，平面，，点分别为棱上的点，且，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列结论中正确的个数是（ ）个. ①椭圆的长轴长为 ②线段长度的取值范围是 ③的面积最小值是 ④的周长恒为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆：的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 椭圆的标准方程为 C. D. 的最大值为 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B. 直线被圆所截得的最长弦长为 C. 若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D. 若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 11. 如图，在正四面体中，已知为棱的中点.现将等腰直角三角形绕其斜边旋转一周（假设可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（ ） A. 三角形绕斜边旋转一周形成的旋转体体积为 B. 四点共面 C. 点到的最近距离为 D. 异面直线与所成角的范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一条光线从点射出，经直线y轴反射后过点，则反射光线所在的直线方程为_________________． 13. 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是_________． 14. 过椭圆上的点，分别作的切线．若两切线交点恰好在直线上，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求符合下列条件的方程： （1）求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． （2）与椭圆有相同的焦点的椭圆，且经过点． 16. 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 17. 如图，已知圆柱的底面半径为1，正△ABC内接于圆柱的下底面圆O，点是圆柱的上底面的圆心，线段是圆柱的母线． （1）求点C到平面的距离； （2）在劣弧上是否存在一点D，满足平面？若存在，求出∠BOD的大小；若不存在，请说明理由． 18. 已知、分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点. （1）求当面积最大时直线的斜率； （2）若直线与交于点，直线与交于点 ①求直线的方程； ②记、的面积分别为、，求的最大值. 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线的方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $