切线的性质与判定综合解答题2024-2025学年人教版数学九年级上册

切线的性质与判定综合解答题 1．如图，已知是的外接圆，是的直径，D是延长线的一点，交的延长线于E，于F，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 2．如图，是的外接圆，是的直径，的延长线与过点的直线相交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)点是弧的中点，点在弧上，过点作于点，是否存在常数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 3．如图中，，平分交于点，以点D为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 4．如图，矩形中，经过点A，且与边相切于M点，过边上的点N，且． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 5．如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC． （1）求证：AC是的切线． （2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，，求GF的长． 6．如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，连接并延长，交延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 7．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD． （1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由． （2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长． 8．如图，点C在以为直径的上．与过点C的切线垂直，垂足为D，交于点E，过B作交于点F，连接． (1)求证：； (2)已知，，求和的长． 9．如图，点是以为直径的外一点，点是上一点，是的切线，，连接并延长交的延长线于点．    (1)求证：点是的中点； (2)若，的半径为，求的长． 10．如图，△ABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D． (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若BC＝12，∠BAC＝120°，求图中阴影部分面积． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：连接； ，，且， ， ， ， ， ， ， ∴是的切线． （2）解：∵，，， ， ， ． ， ， ， ， ． 在和中，，， ， ． 2．(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）∵是的直径, ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解: 存在，，理由如下: 在上取一点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：过点作于点，如图， 平分，，， ， 与相切； （2）解：，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 设的半径为，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得， ． 4．(1)见解析 (2)9 【详解】（1）证明：连接，，， ∵，， ∴，， ∵与相切于M， ∴， ∴， ∴， ∴， 又是的半径， ∴与相切； （2）解：过点O作于G，连接， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 5．（1）见解析；（2）2 【详解】（1）证明：∵AB=OA，OA=OB ∴AB=OA=OB ∴△AOB为等边三角形 ∴∠OAB=60°，∠OBA=60° ∵BC=OB ∴BC=AB ∴∠C=∠CAB 又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB ∴∠C=∠CAB=30° ∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90° ∴AC是⊙O的切线； （2）∵OA=4 ∴OB=AB=BC=4 ∴OC=8 ∴AC=== ∵D、E分别为AC、OA的中点， ∴OE//BC，DC= 过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N 则四边形OMDN为矩形 ∴DN=OM 在Rt△CDN中，∠C=30°，∴DN=DC= ∴OM= 连接OG，∵OM⊥GF ∴GF=2MG=2==2 6．(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：证明：如图，连接OD ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ 在与中 ∴(SAS) ∴ ∵AC是切线． ∴ ∴ ∵点D在上，OD为半径，且 ∴CE是的切线 （2）解：∵CE是的切线 ∴ 设半径为，在Rt中，，由勾股定理得： ∵， ∴ 解得： ∵ ∴ 设，在Rt中，，由勾股定理得： ∴ 解得： ∴CD的长为6 7．（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，理由见解析；（2）BE=6． 【详解】（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切， 理由是：连接OD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠DAB+∠DBA=90°， ∵∠CDA=∠CBD， ∴∠DAB+∠CDA=90°， ∵OD=OA， ∴∠DAB=∠ADO， ∴∠CDA+∠ADO=90°， 即OD⊥CE， ∴直线CD是⊙O的切线， 即直线CD和⊙O的位置关系是相切； （2）∵AC=2，⊙O的半径是3， ∴OC=2+3=5，OD=3， 在Rt△CDO中， 由勾股定理得：CD=4， ∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B， ∴DE=EB，∠CBE=90°， 设DE=EB=x， 在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2， 则（4+x）2=x2+（5+3）2， 解得：x=6， 即BE=6． 8．(1)见解析 (2)， 【详解】（1）证明：如图，连接， 为的切线， ， ， ， ； ， ， ， ， ； （2）连接、、，过O作于点G，如图， ∵，， ， 四边形是矩形， ，； ， ， ， ， 在中，由勾股定理可求得， ； ， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴，， 由（1）知，， ， ， ∵， ， ， ． 9．(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接． 为的直径， ． ， 是的切线． 是的切线， ， ． ，， ， ， ， 点是的中点．    （2）解：若，由()得，四边形是正方形， 是等腰直角三角形． 半径为， ， ， ． 10．(1)见解析； (2) 【详解】（1）证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA， ∵AB与⊙O相切于点D， ∴AB⊥OD， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线， ∴OE=OD，即OE是⊙O的半径， ∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∠BAC＝120°， ∴∠DOE＝60°， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，OB=， ∵AB=AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∴， ∵Rt△ADO看，∠OAD＝60°，， ∴，， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$