精品解析：广西壮族自治区防城港市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024－2025学年度广西壮族自治区防城港市秋季 高一期中考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 对于函数，“的图象关于轴对称”是“是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（    ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 若正实数满足，则下列说法错误的是（    ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 8. 自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则； B. 已知，则； C. 已知一次函数满足，则； D. 定义在上的函数满足，则 10. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（ ） A. B. C. D. （表示不大于的最大整数） 11. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________． 13. 设函数，若，则的值为____． 14. 函数在区间上的值域为，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合或． （1）若是成立的必要不充分条件，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 16. 销售甲、乙两种商品所得利润分别是万元，它们与投入资金万元的关系分别为，（其中都为常数），函数对应的曲线如图所示． （1）求函数与的解析式； （2）若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值． 17. 定义域为的函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 18. 已知关于x的不等式， （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）求关于x的不等式的解集． 19. 若函数满足，则称函数为“倒函数”. （1）判断函数和是否为“倒函数”（不必说明理由）； （2）若为“倒函数”，求实数m，n的值； （3）若（恒为正数），其中是偶函数，是奇函数，求证：是“倒函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度广西壮族自治区防城港市秋季 高一期中考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先解指数不等式求出集合，再根据定义域求出集合，最后根据交集的定义计算可得； 【详解】因为，所以，解得， 即，，所以. 故选：B. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定的定义即可得到； 【详解】由题意，命题“”的否定为， 故选：C. 3. 对于函数，“的图象关于轴对称”是“是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】如果是偶函数，根据偶函数的定义，可证是偶函数，而的图象关于轴对称，可举例说明不一定为偶函数，结合充分必要的定义，即可得出结论. 【详解】函数是偶函数，则， 此时，， 因此的图象关于轴对称， 但当的图象关于轴对称时， 未必推出是偶函数， 如，的图象也关于轴对称， 但并非偶函数， 故“的图象关于轴对称” 是“是偶函数”的必要不充分条件． 故选：B. 【点睛】本题考查函数的性质与必要不充分条件的判定，属于基础题． 4. 已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不妨取特殊值将选项A,B,C排除,关于D,由,即有,取倒数即可证明选项正误. 【详解】解:由题知, 不妨取 则有, , 故选项A,B错误; 关于选项C, 不妨取 , 故选项C错误; 关于选项D, , , 故选项D正确. 故选:D 5. 若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用的单调性得，再利用函数和函数的单调性判断的大小关系. 【详解】若，且， 由函数在上为减函数，， 则， 又函数在上为减函数，则， 又函数在上为增函数，则， 因此可得. 故选：C. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合、奇偶性及当趋近于时，的趋势判断即可. 【详解】由题意可得，故排除B项， 又，所以不是偶函数，故排除C项， 当趋近于时，趋近于0，故排除D项. 故选：A. 7. 若正实数满足，则下列说法错误的是（    ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值逐一分析即可. 【详解】因为，则， 当且仅当，即时取等号，故A正确； ， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 因为，则， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误. 故选：. 8. 自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由得到求解. 【详解】， ，则，（舍）． ， ． 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，则； B. 已知，则； C. 已知一次函数满足，则； D. 定义在上的函数满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，用替换中的 ，求出的解析式，即可判断；对于B，由题意可得，再由，即可得的解析式，即可判断；对于C，设，根据题意求出的值，即可判断；对于D，用替换中的，由两式中消去，可得的解析式，即可判断. 【详解】解：对于A，因为， 所以，故正确； 对于B，因为， 因为， 所以，故正确； 对于C，设， 则， 所以，解得或， 所以或，故错误； 对于D，因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①+②，得， 所以，故正确. 故选：ABD. 10. 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（ ） A. B. C. D. （表示不大于的最大整数） 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题目求出函数在定义域内的值域，判定是否成立即可. 【详解】对于A，，当时，， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 即对于任意，， 所以存在常数，使得成立，故为有界函数； 对于B，当时，由指数函数的性质可知可以无穷大， 所以对于任意，不存在常数，使得成立，故不为有界函数； 对于C，当时，由指数函数的性质可知可以无穷大，所以可以无穷小， 所以不存在常数，使得成立，故不为有界函数； 对于D，当时，，则， 所以存在常数，使得成立，故为有界函数. 故选：AD. 11. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】AB选项，根据指数运算性质即可得到；C选项代入函数，通过作差法结合函数的单调性可以判断；D选项，利用基本不等式证明. 【详解】A选项，因为，所以，故A选项准确； B选项，，故B选项错误； C选项， ，因为函数单调递增，故，则，故C选项正确； D选项，，，因为，根据均值不等式可知， ，即，故D选项正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________． 【答案】1 【解析】 【分析】结合指数幂、对数运算求得正确答案. 【详解】. 故答案为：1. 13. 设函数，若，则的值为____． 【答案】3 【解析】 【详解】若a＞2，由f（a）=9，得2a+1=9，得a=3， 若0＜a≤2，由f（a）=9，得log2a+4=9，得a=32，舍去． 综上a=3， 故答案为3． 14. 函数在区间上的值域为，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求解方程和的解，再由函数的值域，结合函数的单调性，确定的取值范围. 【详解】解方程， 解得或， 解方程， 解得， 由于函数在区间上的值域为. 若函数在区间上单调， 则或， 此时取得最小值2； 若函数在区间上不单调，且当取最大值时，， 所以的最大值为4. 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合或． （1）若是成立的必要不充分条件，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用必要不充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得. （2）求出，结合已知可得，进而列式求解即可. 【小问1详解】 由是成立的必要不充分条件，得集合真包含于集合， 则或，解得或， 所以的取值范围是或. 【小问2详解】 依题意，，由，得， 则，解得， 所以的取值范围是. 16. 销售甲、乙两种商品所得利润分别是万元，它们与投入资金万元的关系分别为，（其中都为常数），函数对应的曲线如图所示． （1）求函数与的解析式； （2）若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值． 【答案】（1），；（2）万元． 【解析】 【分析】（1）利用曲线过可求参数的大小，从而得到所求的解析式. （2）设销售甲商品投入资金万元，则可得利润关于的函数，利用换元法可求利润的最大值. 【详解】（1）由题意，解得，故. 又由题意，得，. （2）设销售甲商品投入资金万元，利润为万元，则乙投入万元. 由（1）得. 令，则且， 故，， 当即时，取最大值， 答：该商场所获利润的最大值为万元． 【点睛】本题考查函数的应用，注意模型的正确构建，对于无理函数的值域问题，可通过换元法、配方法把无理函数转化为二次函数的最值，此类问题属于中档题． 17. 定义域为的函数是奇函数． （1）求实数的值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：由奇函数性质列方程求解，并检验；方法二：由奇函数的性质得恒等式，进而求解； （2）利用奇函数、减函数的性质结合题意可得在上有解，进一步可得，由此即可得解. 【小问1详解】 方法一：是奇函数，，即，解得， 又由知：，解得． 此时，， 且的定义域（全体实数）关于原点对称， 所以是奇函数． 故． 方法二：是奇函数， ， ， 即恒成立． 或， 当时，的定义域为，舍去， 当时，， 且的定义域（全体实数）关于原点对称， 所以是奇函数． 故满足题意． 【小问2详解】 由（1）知， 则由复合函数单调性可知在上为减函数， 又是奇函数，由得： ， ，即在上有解， 当且仅当，即时等号成立， 在上的最大值为， ，即． 18. 已知关于x的不等式， （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）求关于x的不等式的解集． 【答案】（1）， （2）当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集可知是方程的一个根，从而可求出. （2）对分情况讨论，由方程根的分布情况即可求解集. 【小问1详解】 若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. 【小问2详解】 因为，即， ①当时，即，解得：，不等式的解集为：； ②当时，令，解得， 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时， 不等式解集为：； 综上所述：当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 19. 若函数满足，则称函数为“倒函数”. （1）判断函数和是否为“倒函数”（不必说明理由）； （2）若为“倒函数”，求实数m，n的值； （3）若（恒为正数），其中是偶函数，是奇函数，求证：是“倒函数”． 【答案】（1）函数和都不是“倒函数” （2） （3）证明：因函数是偶函数，是奇函数，则它们的定义域必关于数0对称， 依题意，的定义域是函数与定义域的交集，也必关于数0对称， 因此，， 所以是倒函数. 【解析】 【分析】（1）求出函数定义域即可判断；利用给定定义计算判断即可作答. （2）利用给定定义直接计算可得m、n的值 （3）探讨的定义域，再利用给定的定义计算即可作答. 【小问1详解】 依题意，函数为“倒函数”，函数的定义域必关于数0对称， 函数的定义域为，显然在定义域内，而1不在定义域内， 即不是“倒函数”， 函数定义域为R，而，即不是“倒函数”， 所以函数和都不是“倒函数”. 【小问2详解】 显然，函数的定义域关于数0对称，又是倒函数， 于是得，则，又，解得， 所以实数m、n的值分别为； 【小问3详解】 略. 【点睛】关键点点睛：正确理解给定定义，是解决新定义题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $