2025年广西九年级中考数学一轮复习小专题过关课件：专题10中点常见问题及辅助线作法

专题10　中点常见问题及辅助线作法 类型1　直角三角形+斜边中点,作斜边上的中线 特点 在直角三角形中,有斜边上的中点 示例 结论 在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB的中点,作斜边上的中线CD, 则有CD=AD=BD=AB 思路 作用 (1)有时有中点无直角,要寻找直角. (2)作用:①证明线段相等或求线段长; ②构造角相等进行等量代换 【针对训练】 1.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是_______.   　 类型2　等腰三角形+底边中点,作底边上的中线 特点 在等腰三角形中,底边有中点 示例 结论 在△ABC中,AB=AC,D为BC边中点,连接AD. 则有BD=CD,∠BAD=∠CAD,AD⊥BC 作用 利用“三线合一”的性质,可用来解决线段相等、平行问题及角度之间的数量关系 【针对训练】 2.△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=2,D为BC的中点,AE=AB,则△EBD的面积为( ) A. B. C. D. B 3.如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,点D为AC边上的中点,过点D作DE⊥DF,交AB于点E,交BC于点F. (1)求证:DE=DF. (2)若AE=4,FC=3,求cos ∠BEF的值. 【解析】 (1)连接BD,如图, ∵等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上的中点, ∴AD=BD=CD,∠C=∠A=∠EBD=∠FBD=45°,BD⊥AC, ∵DE⊥DF,∴∠EDF=∠BDC=90°, ∴∠EDB=∠CDF=90°-∠BDF,∴△EDB≌△FDC(ASA),∴DE=DF. (2)由(1)知:△EDB≌△FDC,∴BE=FC=3,AB=7,∴BF=4, ∴EF===5,∴cos ∠BEF==. 类型3　边的垂线+中点,构造等腰三角形 特点 经过线段的中点,出现线段的垂线 示例 结论 点D是BC中点,DE⊥BC,连接BE,根据垂直平分线的性质可以得到: BE=CE 【针对训练】 4.如图,线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O.若∠OEB=46°,则∠AOC=( )　　　　　　　　　　　　　　 A.92° B.88° C.46° D.86° B 5.如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B和C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交边AB于点E.若AC=5,BE=4, ∠B=45°,则AB的长为_______.  　7　 类型4　任意三角形+中点,构造三角形中位线 特点 多个中点出现或平行+中点(中点在平行线上) 示例 结论 如图①,在△ABC中,点D,E分别为 AB,AC的中点,连接DE.则有 DE∥BC,DE=BC 如图②,在△ABC中,点D为AB的中 点,过点D作DE∥BC交AC于点E, 则有AE=EC,DE=BC 【针对训练】 6.(2023·巴中)如图,在Rt△ABC中,AB=6 cm,BC=8 cm,D,E分别为AC,BC中点,连接AE,BD相交于点F,点G在CD上,且DG∶GC=1∶2,则四边形DFEG的面积为( ) A.2 cm2　 B.4 cm2　 C.6 cm2　 D.8 cm2 B 类型5　任意三角形+中线,倍长中线法得全等 特 点 三角形中出现中线或类中线(与中点有关的线段),要求证明线段间的数量关系 示 例 结 论 如图①,在△ABC中,点D为BC的中点,延长AD到点E,使得DE=AD,连接BE.则有:△ADC≌△EDB 如图②,在△ABC中,点D为BC的中点,延长ED到点F,使DF=ED,连接CF.则有:△BED≌△CFD 【针对训练】 7.如图,在△ABC中,AB=7,AC=9,AD是BC边上的中线,则AD的取值范围是( ) A.2<AD<16 B.0<AD<16 C.1<AD<8 D.7<AD<9 8.如图,在△ABC中,∠ACB=120°,BC=4,D为AB的中点,DC⊥BC,则△ABC的面积是　 _______.  C 8　 $$