2025年广西中考数学一轮复习小专题过关课件：专题14 中常用辅助线的探寻

专题14　圆中常用辅助线的探寻 类型1　见弦连半径,得等腰三角形 图形 示例 辅助 线 在求圆中有关边长和角度时,连接圆心和弦的两个端点,组成等腰三角形,利用等腰三角形的性质求解 思路 结论 OA=OB,∠OAB=∠OBA 【针对训练】 1.如图,△ABC内接于☉O,∠C=46°,连接OA,则∠OAB=( ) A.44° B.45° C.54° D.67° A 2.(2024·山东)如图,△ABC是☉O的内接三角形,若OA∥CB,∠ACB=25°,则∠CAB =________.  　40°　 3.如图,☉O的直径AB经过弦CD的中点H,若cos∠CDB=,BD=5,则☉O的半径 为______.   　 类型2　见弦作垂径,得直角三角形 图形 示例 辅助 线 在求圆中有关弦长和半径时,过圆心作弦的垂线段,再连接半径,组成直角三角形,利用垂径定理、勾股定理、锐角三角函数求解 思路 结论 AC=BC,OC2+BC2=OB2 【针对训练】 4.如图,☉O是等边△ABC的外接圆,若AB=3,则☉O的半径是( ) A. B. C. D. C 5.(2023·广安)如图,△ABC内接于☉O,圆的半径为7,∠BAC=60°,则弦BC的长度为 _________.  　7　 6.如图是一根圆形下水管道的横截面,管内有少量的污水,此时的水面宽AB为0.6米,污水的最大深度为0.1米. (1)求此下水管道横截面的半径; (2)随着污水量的增加,水位又被抬升0.7米,求此时水面的宽度增加了多少. 【解析】(1)过点O作OD⊥AB于点C,交圆O于点D,连接OB,则CD=0.1米, ∴BC=AB=0.3米, 设此下水管横截面的半径为r米,则OB=OD=r米,∴OC=(r-0.1)米, 在Rt△BOC中,OB2=OC2+BC2, ∴r2=(r-0.1)2+0.32,解得:r=0.5, 即此下水管道横截面的半径为0.5米; (2)如图,过点O作OH⊥MN于点H, ∴MH=NH=MN, 根据题意得:CH=0.7米, ON=0.5米, ∴OH=0.7-(0.5-0.1)=0.3(米), ∴NH==0.4米, ∴MN=0.8米, ∴此时水面的宽度增加了0.8-0.6=0.2米. 类型3　见直径作弦,得90°圆周角 图形 示例 辅助 线 在求圆中有关边长和角度时,如果见到直径,连接圆上一点和直径的两个端点,组成直角三角形,利用勾股定理和锐角三角函数求解 思路 结论 ∠C=90°,AC2+BC2=AB2 【针对训练】 7.如图,△ABC内接于☉O,AD是☉O的直径,若∠B=20°,则∠CAD的度数是( ) A.60° B.65° C.70° D.75° C 8.如图,△ABC是☉O的内接三角形.若∠ABC=45°,AC=,则☉O的半径是 _______.  　1　 9.如图,四边形ABCD内接于圆O,AB是直径,点C是的中点,延长AD交BC的延长线于点E. (1)求证:CE=CD; (2)若AB=3,BC=,求AD的长. 【解析】(1)连接AC, ∵AB为直径, ∴∠ACB=∠ACE=90°, 又∵点C是的中点, ∴∠CAE=∠CAB,CD=CB, 又∵AC=AC, ∴△ACE≌△ACB(ASA), ∴CE=CB, ∴CE=CD; (2)∵△ACE≌△ACB,AB=3, ∴AE=AB=3, 又∵四边形ABCD内接于圆O, ∴∠ADC+∠ABC=180°, 又∵∠ADC+∠CDE=180°, ∴∠CDE=∠ABE, 又∵∠E=∠E, ∴△EDC∽△EBA, ∴=,即=, 解得DE=2, ∴AD=AE-DE=1. 类型4　见切线连圆心和切点,得切线垂直半径 图形 示例 辅助 线 在圆中,出现切线,连接圆心和切点,得到垂直,进而用直角三角形的相关性质解决问题 思路结论 OA⊥PA 【针对训练】 10.如图,AB是☉O的切线,B为切点,连接AO交☉O于点C,延长AO交☉O于点D,连 接BD.若∠A=∠D,且AC=3,则AB的长度是( ) A.3 B.4 C.3 D.4 C 11.如图是不倒翁的主视图,不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA,PB分别相切于点 A,B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若∠OAB=28°,则∠APB的度数为( ) A.28° B.50° C.56° D.62° C 12.如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,连接PO并延长与☉O交于点C,D,若CD =12,PA=8,则sin∠ADB的值为( ) A. B. C. D. A 13.(2024·南宁模拟)如图,AB为☉O的直径,过圆上一点D作☉O的切线CD交BA的延长线于点C,过点O作OE∥AD,OE交CD的延长线于点E,连接BE. (1)求证:直线BE与☉O相切; (2)若CA=2,CD=4,求DE的长. 【解析】(1)连接OD, ∵CD与☉O相切于点D, ∴∠ODE=90°, ∵AD∥OE, ∴∠ADO=∠DOE,∠DAO=∠EOB, ∵OD=OA, ∴∠ADO=∠DAO, ∴∠DOE=∠EOB, ∵OD=OB,OE=OE, ∴△DOE≌△BOE(SAS), ∴∠OBE=∠ODE=90°, ∵OB是☉O的半径, ∴直线BE与☉O相切; (2)设☉O的半径为R, 在Rt△ODC中,OD2+DC2=OC2, ∴R2+42=(R+2)2, ∴R=3,∴AB=2R=6, ∴BC=AC+AB=2+6=8, 由(1)得△DOE≌△BOE, ∴DE=BE, 在Rt△BCE中,BC2+BE2=CE2, ∴82+BE2=(4+DE)2, ∴64+DE2=(4+DE)2, ∴DE=6,∴DE的长为6. 类型5　连半径证垂直或作垂直证半径,得相切 图形 示例 辅助 线 图1:连接圆心和切点,通过证明OA⊥PA,来证明PA是圆O的切线; 图2:过圆心作OA⊥PM,通过证明OA是圆O的半径,来证明PA是圆O的切线; 思路结论 PA是圆O的切线 【针对训练】 14.如图,点P是☉O上一点,AB是一条弦,点C是上一点,与点D关于AB对称,AD 交☉O于点E,CE与AB交于点F,且BD∥CE.给出下面四个结论:①CD平分∠BCE; ②BE=BD; ③AE2=AF·AB;④BD为☉O的切线. 其中所有正确结论的序号是____________.  　①②④　 15.(等角转换证垂直)如图,AB为☉O的弦,OC⊥OA交AB于点P,交过点B的直线于点C,且CB=CP. (1)试判断直线BC与☉O的位置关系,并说明理由; (2)若sin A=,OA=8,求CB的长. 【解析】(1)直线BC与☉O相切, 理由:如图,连接OB, ∵OA=OB,∴∠A=∠OBA, ∵CP=CB,∴∠CPB=∠CBP, ∵∠APO=∠CPB,∴∠APO=∠CBP, ∵OC⊥OA,∴∠A+∠APO=90°, ∴∠OBA+∠CBP=90°,∴∠OBC=90°, ∵OB为半径,∴直线BC与☉O相切; (2)在Rt△AOP中,sin A=, ∵sin A=,∴设OP=x,则AP=5x, ∵OP2+OA2=AP2,∴(x)2+82=(5x)2, 解得:x=或-(不符合题意,舍去), ∴OP=×=4, ∵∠OBC=90°,∴BC2+OB2=OC2, ∵CP=CB,OB=OA=8, ∴BC2+82=(BC+4)2,解得BC=6, ∴CB的长为6. 16.(平行证垂直)如图,已知半径为5的☉M经过x轴上一点C,与y轴交于A,B两点,连接AM,AC,AC平分∠OAM,AO+CO=6. (1)判断☉M与x轴的位置关系,并说明理由; (2)求AB的长; (3)连接BM并延长交☉M于点D,连接CD,求直线CD的解析式. 【解析】(1)猜测☉M与x轴相切,理由如下: 如图,连接CM, ∵AC平分∠OAM,∴∠OAC=∠CAM, 又∵MC=AM,∴∠CAM=∠ACM, ∴∠OAC=∠ACM,∴OA∥MC, ∵OA⊥x轴,∴MC⊥x轴, ∵CM是半径,∴☉M与x轴相切. (2)如图,过点M作MN⊥y轴于点N, ∴AN=BN=AB, ∵∠MCO=∠AOC=∠MNA=90°, ∴四边形MNOC是矩形, ∴NM=OC,MC=ON=5, 设AO=m,则OC=6-m, ∴AN=5-m, 在Rt△ANM中,由勾股定理可知,AM2=AN2+MN2,∴52=(5-m)2+(6-m)2, 解得m=2或m=9(舍去), ∴AN=3,∴AB=6. (3)如图,连接AD与CM交于点E, ∵BD是直径,∴∠BAD=90°, ∴AD∥x轴,∴AD⊥MC, 由勾股定理可得AD=8,∴D(8,-2). 由(2)可得C(4,0), 设直线CD的解析式为y=kx+b, ∴,解得. ∴直线CD的解析式为y=-x+2. 17.(全等证垂直)如图,已知AB是☉O的直径,BC⊥AB于B,E是OA上的一点,ED∥ BC交☉O于D,OC∥AD,连接AC交ED于F. (1)求证:CD是☉O的切线; (2)若AB=8,AE=1,求ED,EF的长. 【解析】(1)连接OD,∵AD∥OC, ∴∠BOC=∠OAD,∠DOC=∠ODA, ∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA, ∴∠BOC=∠DOC, 在△BOC和△DOC中,, ∴△BOC≌△DOC(SAS), ∴∠ODC=∠OBC=90°, ∵OD为☉O的半径,∴CD是☉O的切线; (2)过点D作DH⊥BC于H, ∵ED∥BC,∴∠OED=180°-∠ABC=90°,则四边形EBHD为矩形, ∴BH=ED,DH=BE, ∵AB=8,AE=1,∴OE=3,BE=7, ∴ED===. ∵CB,CD是☉O的切线,∴CB=CD, 设CB=CD=x,则CH=x-, 在Rt△DHC中,DH2+CH2=CD2, 即72+(x-)2=x2, 解得x=4,即BC=4, ∵ED∥BC,∴=,即=, 解得EF=. 类型6　见内心连顶点,得角平分线 图形 示例 辅助 线 点I是三角形ABC的内心,连接内心I和顶点A,用三角形内心的性质解决问题 【针对训练】 18.如图,等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图,等边三角形内切圆中的 黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称,则圆中的黑色部分的面 积与△ABC的面积之比是( ) A. B. C. D. A 19.如图,已知△ABC的周长是20,点O为三角形内心,连接OB,OC,OD⊥BC于点D,且 OD=3,则△ABC的面积是( ) A.20 B.25 C.30 D.35 C 20.如图,AB为☉O的直径,C为圆上一点,I为△ABC的内心,AI交☉O于D,OI⊥AD于 I,连接BD,则AB与BD的关系是( ) A.AB=2BD B.AB=BD C.AB=BD D.AB=BD C $$