圆锥曲线 考点知识梳理-2025届高三数学一轮复习

圆锥曲线方程 考点知识梳理 考点1、曲线与方程 1.“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义： 在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解（轨迹的纯粹性）； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（轨迹的完备性）； 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 要点理解： 在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法 2.求曲线方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件P的点M的集合； （3）用坐标表示条件，列出方程; （4）化方程为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程。 考点2、椭圆定义及其性质应用 1.椭圆的定义 平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 注意：若，则动点的轨迹是线段，若，则动点的轨迹不存在. 2.标准方程 （1）中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为. （2）中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为. 3.椭圆的几何性质 标准方程 焦点位置及坐标 焦点在x轴上 ， 焦点在y轴上 ， 图形 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 顶点坐标 ，， ， ，， ， 长、短轴长 长轴长，短轴长 离心率 4.焦点三角形 （1）P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，为椭圆的两焦点，则，其中 （2）P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，为椭圆的两焦点，则的周长为. （3）过焦点的弦AB与椭圆另一个焦点构成的的周长为4a. 考点3、双曲线定义及其性质应用 1.双曲线定义 在平面内到两定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于且大于零）的点的轨迹叫做双曲线，定点，叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 2.标准方程 （1）中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为. （2）中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为. 3.双曲线的几何性质 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 顶点坐标 ，， ，， 长、短轴长 实轴长，虚轴长 渐近线 直线 直线 离心率 考点4、抛物线定义及其性质应用 1.抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l（）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程 在抛物线中，记焦点F到准线l的距离为P，以抛物线的焦点F到准线l的垂线段的中点为坐标原点，以抛物线的轴为坐标轴建立坐标系，可以得到抛物线的四种不同形式的标准方程，，其中. 3.抛物线的几何性质 标准 方程 图形 焦点 准线 顶点 开口 方向 右 左 上 下 对称轴 x轴 y轴 x的取值范围 R y的取值范围 R 离心率 考点5、直线与圆锥曲线综合 1.直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离三种位置关系。 （1）直线与椭圆的位置关系的判断 把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理成的形式，则： 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交，有两个公共点 直线与椭圆相切，有一个公共点 直线与椭圆相离，无公共点 （2）直线与双曲线的位置关系的判断 把双曲线方程与直线方程联立消去y，整理成的形式，则： 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线相交，有两个公共点 直线与双曲线相切，有一个公共点 直线与双曲线相离，无公共点 （3）直线与抛物线的位置关系的判断 将直线的方程Ax+By+C＝0与抛物线的方程y2＝2px(p＞0)联立成方程组，消元转化为关于x或y方程。 （1）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点； （2）若为一元二次方程，则 ①若Δ＞0，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)； ②若Δ＝0，则直线和抛物线相切，有一个切点； ③若Δ＜0，则直线和抛物线相离，无公共点. 2.弦长及相关公式 （1）设直线l：与圆锥曲线交于. 则，， . 当k存在且不为零时, 弦长公式还可以写成： （2）焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦； 抛物线的焦点弦公式，其中为过焦点的直线的倾斜角. （3）通径：若焦点弦垂直于焦点所在的对称轴，此时焦点弦也叫通径. 抛物线的通径 （4）圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率； ②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； ③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。 考点6、圆锥曲线常用结论 1、通用弦长公式：, 2、焦半径公式（带坐标）： (1)椭圆中：；(2)双曲线：(3)抛物线： 3、焦半径公式（倾斜角）： (1)椭圆中：；(2)双曲线：；(3)抛物线： 4、焦点弦公式（倾斜角）： (1)椭圆中：；(2)双曲线：；(3)抛物线： 5、抛物线的焦点弦长： 6、椭圆的焦点三角形面积： 7、双曲线焦点三角形面积： 8、双曲线的焦渐距为：(虚半轴) 9、椭圆的离心率公式： 10、双曲线的离心率公式： 11、圆锥曲线的离心率公式： 12、椭圆、双曲线通径公式： 13、抛物线的通径公式： 14、抛物线焦点弦圆：以抛物线焦点弦为直径的圆必与准线相切； 15、抛物线焦点弦性质： 16、抛物线焦点直线的韦达定理： 17、解析几何中的向量问题：, 18、向量与夹角问题：(1)钝角; (2)锐角; (3)直角（） 19、向量与圆的问题：与以为直径的圆的位置关系： (1)在圆内：钝角; (2)在圆上：直角; (3)在圆外：锐角; 20、坐标轴平分角问题： 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$