精品解析：内蒙古名校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第三章第二节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 集合的子集个数为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 的大小关系无法确定 4. 已知函数若，则（ ） A. 2 B. 或2 C. 0或2 D. 或0或2 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，两个函数为同一函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 定义集合A与的运算：且．已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为 D. 若，则的最大值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________. 13. 已知，则的最小值为______. 14. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合. （1）求； （2）若，求. 16. 如图，某花圃基地计划用栅栏围成两间背面靠墙的相同的矩形花室． （1）若栅栏的总长为120米，求每间花室面积的最大值； （2）若要求每间花室的面积为150平方米，求所需栅栏总长的最小值． 17. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）若是奇函数，求的值. 18. 已知函数. （1）若恒成立，求的最大值； （2）若在上单调，求的取值范围； （3）求在上的最小值为，求. 19. 定义：为函数在上的平均变化率． （1）若函数在上的平均变化率为3，证明：． （2）设，，，且． ①证明：； ②求的取值范围． 参考公式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章到第三章第二节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解． 【详解】“，”的否定为，. 故选：C 2. 集合的子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再由子集定义求其个数即得. 【详解】由题意得，则集合的子集个数为. 故选：B. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 的大小关系无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】用作差法计算比较的大小关系． 【详解】 ，故B正确． 故选：B． 4. 已知函数若，则（ ） A. 2 B. 或2 C. 0或2 D. 或0或2 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论求分段函数对应函数值的自变量值即可. 【详解】若，则，解得； 若，则，解得或（舍去）． 综上所述，或. 故选：B. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用配凑法得到含有的解析式，即可得. 【详解】因为函数，所以函数. 故选：A 6. 若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据判别式可求的取值范围. 【详解】由题设有，故， 故选：B. 7. 若函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除A，根据可排除B，根据函数图象的“直曲”排除C. 【详解】由图可知：为偶函数，且， 对于A，，为奇函数，不符合，舍去， 对于B，，不符合，舍去， 对于C，，为偶函数，且， 与图象不符，故C错误； 对于D，，为偶函数，且，满足图象特点，故D正确. 故选：D 8. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，函数在上单调递减，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，求解即可. 【详解】不妨假设，由，得，则在上单调递减， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组函数中，两个函数为同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】两函数定义域和对应法则均一致，才是同一函数，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，的定义域和对应法则均一致，A正确； B选项，的定义域为的定义域为， 两函数的定义域不同，不是同一函数，B错误； C选项，，故两函数的定义域和对应法则均一致，C正确； D选项，的对应法则不一致，D错误. 故选：AC 10. 定义集合A与的运算：且．已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题干中所定义集合运算，结合题意可得答案. 【详解】因为，，， 所以，， ，. 故选：AD． 11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 关于的不等式的解集为 D. 若，则的最大值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用题中信息得到三个参数之间的关系，然后计算即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为，所以 整理得则，故选项A错误,选项B正确； ，解得，故选项C正确； ，解得或，则或，故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由根式有意义列不等式组求解即可. 【详解】由题意得，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为： 13. 已知，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用计算判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即，又因为， 所以当，时，取得最小值. 故答案为：. 14. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的性质可得，结合已知可得，求解即可. 【详解】由，得， 因为是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即，整理得，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出全集，再根据补集、交集的定义求解即可； （2）易得，由得，，结合集合元素的互异性求解. 【小问1详解】 由题意得，则， 所以. 【小问2详解】 由题意得， 因为，所以. 由，得且， 所以，解得（舍去）. 16. 如图，某花圃基地计划用栅栏围成两间背面靠墙的相同的矩形花室． （1）若栅栏的总长为120米，求每间花室面积的最大值； （2）若要求每间花室的面积为150平方米，求所需栅栏总长的最小值． 【答案】（1）600平方米 （2）60米 【解析】 【分析】（1）由题意得面积表达式结合表达式性质以及二次函数性质即可得解； （2）由基本不等式即可得解. 【小问1详解】 设每间花室与墙体垂直的围墙的边长为米，与墙体平行的围墙的边长为米． 因为栅栏的总长为120米，所以， 其中，，则. 每间花室的面积. 因为， 当且仅当，时，等号成立， 所以每间花室面积的最大值为600平方米． 【小问2详解】 因为每间花室的面积为150平方米，所以，则． 栅栏的总长， 当且仅当，时，等号成立， 故栅栏总长的最小值为60米． 17. 已知函数满足. （1）求的解析式； （2）若是奇函数，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用建立方程组法即可求得函数解析式； （2）先根据（1）的结论，求出的解析式，再利用奇函数的定义可求参数的值. 【小问1详解】 因为①， 所以②. ①+2×②得:， 则. 【小问2详解】 （2）由（1）可知，. 因为是奇函数，所以， 即对于定义域内的任意值恒成立， 故需使，解得. 18. 已知函数. （1）若恒成立，求的最大值； （2）若在上单调，求的取值范围； （3）求在上的最小值为，求. 【答案】（1） （2） （3）或5 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式恒成立，结合图象推得，解之即得； （2）先求函数的单调区间，依题使为其单调区间的子集，解不等式即得； （3）由函数的单调性，根据给定区间与其对称轴的关系，分类考虑分别求解即得. 【小问1详解】 由题意得恒成立，则， 解得， 所以a的最大值为. 【小问2详解】 由题意得图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即a的取值范围为. 【小问3详解】 当，即时，在上单调递减，， 解得，舍去； 当，即时，在上单调递增，， 解得，符合题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得或0（，舍去）. 故或5. 19. 定义：为函数在上的平均变化率． （1）若函数在上的平均变化率为3，证明：． （2）设，，，且． ①证明：； ②求的取值范围． 参考公式：． 【答案】（1） 因为在上的平均变化率为3， 所以， 由，得， 从而，则． （2）①因为， 所以， 又，所以， 则，从而， 又， 因为a，，所以，，则，即， 又，所以，即. ②． 【解析】 【分析】（1）利用在上的平均变化率的定义求解； （2）①根据，得到，再利用证明；②先利用函数单调性定义得到在上单调递减，再由，得到的范围求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②任取， 则， 即，所以在上单调递减， 由，得， 因为，所以，解得， 则， 则，即， 故的取值范围为． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $