3.1.1 椭圆及其标准方程 学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 数学学案 —— 年——月——日—— 课题：第三章 圆锥曲线的方程 3.1.1 椭圆及其标准方程 班级—————— 姓名—————— 一、学习目标 1.理解椭圆的定义，并利用定义推导椭圆标准方程； 2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程。 二、问题与例题 思考：椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？ 知识点一 . 圆与圆的位置关系 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距，焦距的 称为半焦距． 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1( ,0)，F2( ,0) F1(0， )，F2(0， ) a，b，c的关系 b2＝ 【题型1 椭圆的概念】 【例1】判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆．(　　) (2)已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆．(　　) (3)已知点F1(0，－1)，F2(0,1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆．(　　) (4)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.(　　) 【变式1-1】 已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ）A． B． C． D．或 【变式1-2】已知两定点F1(0，2)，F2(0，－2)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8，则点P的轨迹方程是________.【变式1-3】已知方程表示的曲线是椭圆,则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【题型2 求椭圆方程】 【例2】求出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)两个焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆方程 (3)过点，且与椭圆有相同焦点椭圆方程.； 【变式2-1】求符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过点，焦点坐标分别为，； (2)经过，两点；(3)与椭圆有相同的焦点，且经过点 【题型3 焦点三角形应用】 【例3】若椭圆上一点P到焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3-1】如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则线段的中点到坐标原点的距离等于（ ）A．7 B．10 C．12 D．14 【变式3-2】过椭圆＋＝1的左焦点作一条直线与椭圆交于A、B两点，则的周长为 。 【题型4 轨迹方程】 【例4】已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程. 【变式4-1】已知圆A：(＋3)2＋2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程. 【变式4-2】已知动圆与圆内切，与圆外切，记圆心的轨迹为曲线．求曲线的方程． 【变式4-3】已知圆心为C的圆+，及点A（-2,0），点P是圆上任意一点，线段PA的垂直平分线与PC相交于点Q，求点Q的轨迹方程；若∠AQC＝120°，求△AQC的面积. 3． 目标检测 1.已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m的值为(　　)A.9 B.4 C.3 D.2 2.若椭圆 上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.椭圆 ＋＝1的焦点坐标是________________. 4.已知A（-2,0），B（2,0），直线AM，BM交于点M，且直线AM，BM的斜率之积为，点M的轨迹记为曲线C，求C的方程。 4． 配餐作业 A组题： 1.已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m的值为(　　) A.9 B.4 C.3 D.2 2.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是(　　) A.＋＝1(x≠0) B.＋＝1(x≠0) C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(x≠0) 3.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（    ）A．4 B．8 C．16 D．32 B组题： 1.P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　)A.30° B.60° C.120° D.150° 2.已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是________. 3.已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ）A． B．5 C． D． 4.已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（    ）A． B．2 C． D．6 5.已知实数满足，若的最大值为4，则（    ） A． B． C． D． 6.已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$