精品解析：安徽省鼎尖教育2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（A卷）

高一数学（A卷） 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区, 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰, 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效, 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑, 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀, 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的, 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的补集与交集的概念，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 2. 命题 ，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题 ，为存在量词命题， 其否定为：，. 故选：C 3. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义逐项证明并判断. 【详解】A：为指数函数，属于非奇非偶函数，不符合； B：定义域为关于原点对称，，为奇函数，符合； C：定义域为关于原点对称，，，所以，不符合； D：定义域为关于原点对称，，为偶函数，不符合； 故选：B. 4. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得的定义域为，结合解析式及根式性质求其定义域. 【详解】因为的定义域为，则，故， 所以的定义域为，要使函数有意义， 则，解得. 所以函数的定义域为. 故选：D. 5. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 所以， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 6. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分离变量法整理不等式，构造函数解析式，求得新函数在给定区间上的最值，可得答案. 【详解】由题，，，即，即在上有解， 设，则，， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， ，则，所以. 故选：B. 7. 已知函数的定义域为，是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知条件得出单调性与对称性，由对称性转化自变量值到同一个单调区间内，再由单调性比较大小． 【详解】当时，恒成立， 函数在上为单调增函数， 函数是偶函数，即， 函数的图象关于直线对称， ，， ，即，. 故选：D. 8. 已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，然后结合的定义域解不等式即可得到答案. 【详解】在中取得，结合归纳可知. 所以对任意正有理数有，故. 而增函数，故对任意正实数都有. 这表明原不等式等价于，即 解得或，所以原不等式的解集为，选项A正确. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分, 9. 设集合，.若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意写出集合的元素，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，利用分情况讨论，可得答案. 【详解】由题，， 若是的充分不必要条件，则是的真子集， 因为，所以，即或. 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是，. 故选：AD. 10. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则是一个戴德金分割 B. 若，，则是一个戴德金分割 C. 若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 D. 若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，故B正确； 对于C，设，，此时有最大元素1，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故C正确； 对于D，如B选项，此时没有最大元素，没有最小元素，满足是一个戴德金分割，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则或或 C. ，， D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由分式函数的值域即可判断A，由条件列出不等式即可得到的范围，再结合取整函数的定义，即可判断B，由条件可得，，然后分类讨论代入计算，即可判断C，先求解一元二次不等式，然后分别由以及求解，即可判断D. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，由，得且. 因为为整数，所以或或或，故B错误； 对于C，由于，则，设，则， 若，则， 若，则， 所以，，，故C正确； 对于D，得，解得， 由，得；由，得，所以不等式的解集为， 故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分, 12. 若关于的不等式的解集是，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题可知和4是方程的根，利用韦达定理可得答案. 【详解】由题可知和4是方程的根， 由根与系数关系得，即，，所以. 故答案为：. 13. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为是上的减函数，所以，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 14. 已知实数，命题，为真命题，则的最小值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】首先根据函数图象与不等式的关系，确定一次函数的零点也是二次函数的零点，从而得到，代入后，利用基本不等式求最小值. 【详解】当时，单调递增，且当时，，此时， 当时，，， 所以，即，则， 当且仅当，时，等号成立. 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 15. （1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）32；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数的运算即可求出答案； （2）通过，及即可求结果. 【详解】（1）原式； （2）由， 因为，所以，， 所以. 故. 16. 为提高人们的身体素质，某工厂更新技术开发研制了一款新型智能按摩椅，通过调研知，往年每年每生产千台智能按摩椅，获利千元，且更新技术后需要另外投入费用千元，且每千台按摩椅比之前多盈利2千元，生产的按摩椅供不应求，均能售完. （1）求更新技术后的利润（千元）关于年产量（千台）的函数解析式； （2）更新技术后，当年产量为多少千台时，工厂所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）产量为3千台时，该工厂利润最大，最大利润是390千元. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得，即可得到函数关系式； （2）分别求得与的利润最大值，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由已知，， 又 所以； 【小问2详解】 当时，， 则当时，； 当时，， 当且仅当，即时，. 因为，所以的最大值为390， 故当产量为3千台时，该工厂利润最大，最大利润是390千元. 17. 已知幂函数是非奇非偶函数. （1）求函数解析式； （2）已知是定义在上的奇函数，当时，. （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义，建立方程求得参数，结合奇偶函数的定义，分情况验根，可得答案； （2）（i）根据奇函数的性质，可得函数解析式；（ii）根据函数解析式作图，结合图象建立不等式，可得答案. 【小问1详解】 由题知，，即， 即，解得或， 当时，，是非奇非偶函数， 当时，，是偶函数， 所以的解析式是. 【小问2详解】 当时，， （ⅰ）设，则，所以， 又为奇函数，所以，所以当时，. 即. （ⅱ）作函数的图像如图所示， 要使在上单调递增，结合的图象知，所以， 所以的取值范围是. 18. 已知定义在上的函数，且有，. （1）求函数的解析式并判断其奇偶性； （2）解不等式； （3）设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 【答案】（1），为奇函数，证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入求得的值，则解析式可知，根据的关系结合定义域证明出奇偶性； （2）根据奇偶性对不等式变形，再根据的单调性解不等式，由此可求结果； （3）先将问题转化为“”，然后根据单调性分析的最值，采用换元法分析的最值，由此可得结果. 【小问1详解】 因为，所以，解得，所以； 为奇函数，证明如下： 定义域为且关于原点对称，因为， 所以为上的奇函数. 【小问2详解】 ， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递减，所以在上单调递减； 因为，所以，所以， 所以，所以或，解得或， 所以不等式解集为. 【小问3详解】 因为，，使得，所以； 因为，，所以， 由指数函数性质可知，无最大值，但可以无限接近； 又因为，令， 所以，对称轴为且开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以当时有，所以， 若，则， 综上所述，的取值范围是. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都有且仅有n个不同的实数，使得（其中，），则称为的“n重覆盖函数”. （1）（ⅰ）判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由； （ⅱ）设是的“n重覆盖函数”，求n的值； （2）若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）不是，理由见解析；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）取，分析解的情况即可判断；（ⅱ）将问题转化为方程根的分布问题，采用换元法结合韦达定理求解出结果； （2）将问题转化为，总有两个不同的实根，先分析时的情况，再对进行分类讨论分析出结果. 【小问1详解】 （ⅰ）不是的“2重覆盖函数”，理由如下： 不妨取，则，令，解得，仅解，不符合定义， 所以不是的“2重覆盖函数”； （ⅱ） ，则，令，所以， 令，则，，且， 所以总有两个不相等的正根， 又因，所以，四个根互不相等且非零， 所以是的“重覆盖函数”， 故. 【小问2详解】 当时，由指数函数性质可知单调递增，所以， 因为为的“重覆盖函数”， 即，总有两个不同的实根； 当时，在上单调递增，所以，如下图， 此时图象恒有一个交点，所以恒有一个实根， 故当时，也需恒有一个实根； 当时，，如下图， 此时的图象恒有一个交点，所以恒有一个实根，符合要求； 当时，是开口向下的二次函数且有最大值， 所以对，恒有一个实根不成立，故不满足要求； 当时，是开口向上的二次函数，若满足条件只需， 即，解得； 综上所述，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是理解“重覆盖函数”的定义，从方程根的角度去分析理解概念；另一方面是在解答第三问的过程中，通过将方程根的数目转化为函数图象的交点数，直观判断能否满足定义. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学（A卷） 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区, 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰, 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效, 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑, 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀, 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的, 1. 设全集，集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 命题 ，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分, 9. 设集合，.若是的充分不必要条件，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 10. 由无理数引发数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则一个戴德金分割 B. 若，，则是一个戴德金分割 C. 若中有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 D. 若中没有最大元素，中没有最小元素，则可能是一个戴德金分割 11. 已知表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则或或 C. ，， D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分, 12. 若关于的不等式的解集是，则_________. 13. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为________. 14. 已知实数，命题，为真命题，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 15. （1）求值：； （2）已知，求的值. 16. 为提高人们的身体素质，某工厂更新技术开发研制了一款新型智能按摩椅，通过调研知，往年每年每生产千台智能按摩椅，获利千元，且更新技术后需要另外投入费用千元，且每千台按摩椅比之前多盈利2千元，生产的按摩椅供不应求，均能售完. （1）求更新技术后的利润（千元）关于年产量（千台）的函数解析式； （2）更新技术后，当年产量为多少千台时，工厂所获利润最大？并求出最大利润. 17. 已知幂函数是非奇非偶函数. （1）求函数的解析式； （2）已知是定义在上的奇函数，当时，. （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数取值范围. 18. 已知定义在上函数，且有，. （1）求函数的解析式并判断其奇偶性； （2）解不等式； （3）设函数，若，，使得，求实数m的取值范围. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都有且仅有n个不同的实数，使得（其中，），则称为的“n重覆盖函数”. （1）（ⅰ）判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由； （ⅱ）设是的“n重覆盖函数”，求n的值； （2）若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$