函数极值的第二充分条件的应用课件-2025届高三数学一轮专题复习

函数的极值 2024年11月 1 先成人 再成才 有理想 敢担当 内容分析 函数的极值 若当 f ′(x0) = 0 时： （1）如果在 x0 附近的左侧f ′(x) > 0 ，右侧 f ′(x)< 0 ，那么 f (x0) 是极大值； （2）如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)< 0 ，右侧 f ′(x) > 0 ，那么 f (x0) 是极小值. 函数的极值第一充分条件 先成人 再成才 有理想 敢担当 例题精讲 【例1】若函数f(x)=x3－ax2－bx+a2在x=1处有极值10，则a－b=（    ） A．6 B．－15 C．－6或15 D．6或－15 先成人 再成才 有理想 敢担当 内容分析 若当 f ′(x0) = 0 时： （1）如果在 x0 附近的左侧f ′(x) > 0 ， 右侧 f ′(x)< 0 ，那么 f (x0) 是极大值； 函数的极值第一充分条件 f´(x0) = 0 单调递增 f´(x) > 0 单调递减 f´(x) < 0 f´(x0) = 0 单调递增 f´(x) > 0 单调递减 f´(x) < 0 （2）如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)< 0 ， 右侧 f ′(x) > 0 ，那么 f (x0) 是极小值. y= f (x) 的图象上凸 f (x) 是凸函数 f ′′ (x) <0 y= f (x) 的图象下凸 f (x) 是凹函数 f ′′ (x) >0 f ′′ (x0) <0 f ′′ (x0) >0 f ´´(x) < 0 x0 f ´´(x) > 0 x0 先成人 再成才 有理想 敢担当 内容分析 函数的极值第二充分条件 已知函数y=f (x)在x0处二阶可导．若存在 x0∈[a,b],使得f ′(x0)=0，且f ′′(x0)≠0，则 若f ′′(x0) < 0，则y=f (x) 在 x0处取得极大值 若f ′′(x0) > 0，则y=f (x) 在 x0处取得极小值 注：f ′′(x0)=0时,函数y=f (x)在 x0处的极值应用第一充分条件处理或者高阶导数处理。 先成人 再成才 有理想 敢担当 内容分析 函数的极值第三充分条件 已知函数y=f (x)在x0处存在n阶导数．若存在 x0∈[a,b],使得f ′(x0)=f ′′(x0)=f ′′′(x0)=……=f (n-1)(x0)=0，且f (n)(x0)≠0，则 如果n为奇数，x0不是极值点 如果n为偶数，x0是极值点。且当f (n)(x0) < 0，则y=f (x) 在 x0处取得极大值，当f (n)(x0) > 0，则y=f (x) 在 x0处取得极小值 先成人 再成才 有理想 敢担当 例题精讲 【例2】（2021年全国乙卷）设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x－a)2(x－b)的极大值点，则（    ） A．a<b B．a<b C．ab<a2 D．ab>a2 分析1：函数y=f(x)是三次函数，由解析式的构造联想到穿跟法作图，故用穿根法画出图象 b<a<0,所以ab>a2 0<a<b,所以ab>a2 先成人 再成才 有理想 敢担当 例题精讲 【例2】（2021年全国乙卷）设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x－a)2(x－b)的极大值点，则（    ） A．a<b B．a<b C．ab<a2 D．ab>a2 先成人 再成才 有理想 敢担当 例题精讲 【例2】（2021年全国乙卷）设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x－a)2(x－b)的极大值点，则（    ） A．a<b B．a<b C．ab<a2 D．ab>a2 先成人 再成才 有理想 敢担当 例题精讲 【练习】（2017年全国Ⅲ理科）函数f(x)=x－1－alnx.若f(x)≥0，求a 分析：因为f(x)≥0，可知f(x)min=0，猜根可知f(1)=0，所以f(1)为函数f(x)的极小值也为最小值，所以该问题转化为已知 x=1为函数的极小值，求a 解： 先成人 再成才 有理想 敢担当 例题精讲 【例3】（2023年全国新高考Ⅱ卷）已知函数f(x)=cosax－ln(1－x2),若 x=0是 f(x)的极大值点，求a的取值范围. 由1－x2>0,得－1<x<1，所以函数的定义域为（－1,1） 解： 先成人 再成才 有理想 敢担当 达标训练 先成人 再成才 有理想 敢担当 本课知识 利用极值第二充分条件解决极值问题 第一步：求出一阶导数f ′(x)和二阶导数f ′′(x)  第二步：利用第二充分条件，一阶导数为f ′(x0)=0，二阶导数为f ′′(x0) > 0，x0为极小值点，二阶导数f ′′(x0) < 0，x0为极大值点. 继往开来 分层教学 及时补缺 独立创新思维 创新融合 夯实基础 精益求精 课标引领 深化应用 构建高效学习 延迟符 14 $$