27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例 课件 2023—2024学年人教版数学九年级下册

第二十七章 相似 27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例 随堂演练 课堂小结 获取新知 知识回顾 例题讲解 知识回顾 1、什么叫相似多边形呢？ 2、什么叫相似比？ 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形 相似多边形的对应边的比叫做相似比 获取新知 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 知识点一：相似三角形概念 表示方法：相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. 例：△ABC∽△A'B'C' 读作△ABC相似于△A'B'C' 则△ABC ∽△A′B′C′. 用符号语言表示： 如果k=1,这两个三角形又怎样的关系呢？ 因为k=1，所以它们的对应边相等，因此这两个三角形全等. 注意：相似三角形具有顺序性： 若△ABC∽△A1B1C1， 相似比为k, 则△A1B1C1∽△ABC， 相似比为 A B C A1 B1 C1 判定三角形全等，我们并不是验证六个条件，而是利用了几个简便的判定定理（SSS，SAS，ASA，AAS），那么判定三角形相似我们又能不能用类似的简便的判定方法呢？ 我们先来探究下面的问题. 　如图，任意画两条直线a，b ，再画三条与a，b 都相交的平行线l1，l2，l3 ．探究l1，l2，l3在直线 a，b 上截得的线段有什么关系． l3 l1 l2 A B C D E F a b 通过计算可以得到： 合作探究 知识点二：平行线分线段成比例（基本事实） 全品文教初中 平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 说明： ① 定理的条件是“两条直线被一组平行线所截”； ② 是“对应线段成比例”，注意“对应”两字． l3 l1 l2 A B C D E F a b （　　 =　　 ）， 左上 左下 右上 右下 （　　 =　　 ）． 左下 左上 右下 右上 归纳总结 全品文教初中 D 练一练 A C E B D F l2 l1 l3 如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是 ( ) A. B. C. D. 知识点三：平行线分线段成比例定理的推论 如图，直线a∥b∥ c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段， A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c m n a 把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例. A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 直线 n 向左平移到 B1 与A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A1(B1) A2 A3 B2 B3 ( ) A1 A2 A3 b c m B1 B2 B3 n a 直线 n 向左平移到 B2 与A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A2(B2) A1 A3 B1 B3 ( ) 结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）， 所得的对应线段成比例． l1 l3 l l' A B C D E l2 l2 l3 A B C D E l1 l l' → → 例1 如图，在△ABC中， EF∥BC. (1) 如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点，AE = BE=7， FC= 4 ，那么 AF 的长是多少？ A B C E F ∴ 解得 AF = 4. 例题讲解 ∵EF∥BC， 解： ∴ (2) 如果AB= 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？ A B C E F 解： ∴ 解得 AC = . ∴ FC = AC－AF = . ∵EF∥BC ∴ 思考：如图，在△ABC 中，DE∥BC，且 DE 分别交 AB，AC 于点 D，E，△ADE 与△ABC 有什么关系？ C A B D E 直觉告诉我们△ADE∽△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？ 获取新知 知识点四：判定三角形相似的引理 可以将DE平移到BC边上去 ，而除 DE 外，其他的线段都在△ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似， 需要怎样做呢？ 由前面的结论可得 ，需要证明的是 B C A D E 先证明两个三角形的角分别相等. 如图，在△ADE 与△ABC 中，∠A=∠A. ∵DE//BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C. 再证明两个三角形的边成比例. 过点E作EF//AB，交BC于点F. ∵DE//BC，EF//AB， A D E B C F ∵四边形DBFE是平行四边形， ∴DE=BF. A D E B C F ∴△ADE和△ABC的角分别相等，边成比例， ∴ △ADE∽△ABC. 因此，我们有如下判定三角形相似的定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 对于和两边的延长线相交的情况，结论是否成立？为什么？ 全品初中 问题：如图，DE∥BC，且 DE 分别交 BA，CA 的延长线于点 D，E，△ABC 与△ADE 相似吗？如何证明呢？ C D B A E 全品初中 先证明两个三角形的角分别相等. 如图，在△ADE 与△ABC 中，∠DAE=∠BAC. ∵DE//BC， ∴∠D=∠B，∠AED=∠C. 再证明两个三角形的边成比例. 过点E作EF//AB，交CB的延长线于点F. ∵DE//BC，EF//AB， C D B A E F ∵四边形DBFE是平行四边形， ∴DE=BF. ∴ △ADE和△ABC的角分别相等， 边成比例， ∴ △ADE∽△ABC. C D B A E F 例题讲解 例2. 如图，在 □ABCD 中，EF∥AB， DE: AD = 2 : 5， EF = 4，求 CD的长． 解：∵ EF∥AB，DE : EA= 2 : 3， D A C B E F ∴ 即 ∴ △DEF ∽ △DAB， 解得 AB = 10. 又 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ CD = AB = 10. 1. 如图，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下 列比例式正确的是(　　) A. B. C. D. C 随堂演练 2.如图，AB//DE，若AB=4，BC=2，DC=1，则DE=____. 2 A B C D E 3. 已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形. C D A B E F O 3 4.如图，在△ABC中，DE//BC，且DB=AE，若AB=5，AC=10，求AE的长. 方程思想 解：由DE//BC，可得 设 DB=AE=x， ∵ AB = 2，BC = 3， ∴（5-x）: 5 = x:10. 解得 x = 即AE的长为 课堂小结 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例 相似三角形判定的引理 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 基本事实 平行线分线段成比例 $$