2025年河北省九年级中考数学一轮复习提升训练-第三章 函数—— 二次函数

2025年河北中考数学一轮复习提升训练- 第三章 函数 第六节 二次函数的实际应用 学科网（北京）股份有限公司 立足教材·夯实基础 1. ［教材冀九下P45，AT2改编］某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（ ） A． y=60（300+20x） B． y=（60-x）（300+20x） C． y=300（60-20x） D． y=（60-x）（300-20x） 2. ［教材人九上P51探究3改编］如图所示的是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面2 m时，水面AB的宽度为4 m.有下列结论：①当水面宽度为5 m时，水面下降了1.125 m；②当水面下降1 m时，水面宽度为 m；③当水面下降2 m时，水面宽度增加了 m．其中，正确的有（ ） A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个 （第2题图） （第3题图） 3. ［教材人九上P57，T7改编］如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26 m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40 m，有下列结论：①AB的长可以为6 m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2；③菜园ABCD面积的最大值为200 m2．其中正确的是（ ） A． ①②③ B． ①③ C． ②③ D． ①②③ 4. ［教材冀九下P42，AT1改编］如图，同学们在操场上玩跳绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线形，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6 m，到地面的距离AO与BD均为0.9 m，绳子甩到最高点C处时，最高点到地面的垂直距离为1.8 m．身高为1.4m的小吉站在距点O水平距离为m m的某处，若他能够正常跳绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是________． （第4题图） 5. ［教材北师九下P44，T3变式］乒乓球球台长为2.8 m，中间处球网的高度为1.5 dm．现有一台乒乓球发球器，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线．从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．乒乓球第一次接触台面在球网左侧，越过球网（擦网不影响球运动轨迹）后，第二次接触台面在球网右侧为成功发球．乒乓球大小忽略不计．如图，当发球器放在球台左端时，通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，如下表所示：-43- x（dm） 0 2 4 6 8 10 12 14 … y（dm） 3.36 2.52 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3 … （1）直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式；（写出自变量的取值范围） （2）求乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离； （3）发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球，发球口最多向右平移多少？ （第5题图） 拓展进阶·提高能力 6. ［2024·天津］从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间（t单位：s）之间的关系式是h=30t-5t（20≤t≤6）．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6 s； ②小球运动中的高度可以是30 m； ③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 实际应用山西刀削面堪称“天下一绝”.传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到水平放置的开水锅里．如图，面刚被削离时与锅边缘的高度差h=0.45 m，与锅边缘水平距离L=0.3 m，锅的半径R=0.5 m.若将削出的小面条P（当作质点）的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度 忽略不计），则其水平初速度v0不可能为（提示：h=gt2，g≈10 m/s2，水平移动距离s=vt）（ ） A． 2.5 m/s B． 3 m/s C． 3.5 m/s D． 5 m/s （第7题图） （第8题图） 8. 新情境如图，某公司“祥云”布艺图案是由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成的，且关于y轴对称．其中半圆与y轴相交于点D，两支抛物线的顶点分别为E，C，与x轴分别相交于点A，B．已知CE=2，OD=1.9，AB=5，则图案中AE这段抛物线的函数表达式为___________． 9. ［2024·南充］如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5 m时，水柱落点距O点2.5 m；喷头高4m时，水柱落点距O点3 m．那么喷头高_____ m时，水柱落点距O点4 m． （第9题图） 10. ［2024·邯郸丛台区五模］高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面10 m的点A和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为12 m.待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为12 m，假设两次灭火时水流的最高点到高-44- 楼的水平距离均为3 m.建立如图所示的平面直角坐标系．-45- （1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； （2）若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求A，B之间的距离； （3）若消防员站在到高楼水平距离为9 m的地方，想要扑灭距地面高度12～18 m范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为3 m时，直接写出a的取值范围． （第10题图） 核心素养·中考新考法 11. 综合与实践某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． （第11题图） 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间t 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 1 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间（t单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 第六节 二次函数的实际应用 立足教材·夯实基础 1. B 2. D 提示：如图，以线段AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．由题意得，点C的坐标为（0，2），点B的坐标为（2，0）．设抛物线解析式为y=ax2+k. ∴抛物线解析式为 ①当水面宽度为5 m时，x=． ∴ ∵|-1.125|=1.125， ∴当水面宽度为5 m时，水面下降了1.125 m. 故①正确，符合题意； ②当水面下降1m时，y=-1． ∴水面宽度为 故②正确，符合题意； ③当水面下降2 m时，y=-2． ∴ ∴水面宽度为 ∴水面宽度增加了故③正确，符合题意； ∴正确的有3个． 3. C 提示：设AD边长为x m，则AB边长为 m.当AB=6 m时，=6，解得x=28， ∵AD的长不能超过26 m，∴x≤26，故①不正确； ∵菜园ABCD面积为192 m2， ∴x·=192，整理得x2-40x+384=0， 解得x=24或x=16，故②正确； 设矩形菜园的面积为S m2， 根据题意得S=x·= ∴当x=20时，S有最大值，最大值为200，故③正确. 4. 1＜m＜5 提示：如图，建立平面直角坐标系，由题意可知C（3，1.8）， 设抛物线的解析式为y=a（x-3）2+1.8（a≠0）， 把A（0，0.9）代入y=a（x-3）2+1.8，得a=-0.1， ∴所求的抛物线的解析式是y=-0.1（x-3）2+1.8， 当y=1.4时，-0.1（x-3）2+1.8=1.4，解得x1=1，x2=5， ∴m的取值范围是1＜m＜5． 5. 解：（1）∵球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，∴设y=kx+b（k≠0）． ∵经过点（0，3.36），（2，2.52）． ∴ ∴球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式为y=-0.42x+3.36（0≤x≤8）； （2）当x＞8时，设抛物线的解析式为y=ax2+b′x+c（a≠0）． ∴y=-0.05x2+1.6x-9.6． 当y=0时，0=-0.05x2+1.6x-9.6． 整理得x2-32x+192=（x-24）（x-8）=0． 解得x1=24，x2=8． ∴乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为24 dm； （3）∵2.8 m=28 dm．∴球台的一半长14 dm． 当y=1.5时，1.5=-0.05x2+1.6x-9.6． 整理得x2-32x+222=0． 解得x1=16+，x2=16-． ∴14-（16-）=-2． ∵28-24=4，-2＜4， ∴发球口最多向右平移（-2）dm． 拓展进阶·提高能力 6. C 7. D 提示：∵ ∵L＜s＜L+2R，根据s=v0t，可得最小 速度为 最大速度为 由此可知，选项A，B，C在此范围内，不符合题意，选项D中5 m/s不在此范围内，符合题意. 8. 提示：如图，记CE与y轴的交点为F， ∵CE=2，且半圆关于y轴对称，∴FE=FC=FD=1， ∵OD=1.9，∴OF=0.9， 则左侧抛物线的顶点E坐标为（-1，0.9）， ∴设抛物线解析式得y=， ∵AB=5，∴A（，0） 将A点坐标代入抛物线解析式得 9. 8 提示：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，以O为原点，水平线为x轴， 建立平面直角坐标系，当喷头高2.5 m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式， 得6.25a+2.5b+2.5=0，整理得2.5a+b+1=0①； 喷头高4 m时，可设y=ax2+bx+4， 将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②， 联立①②可求出 设喷头高为h m时，水柱落点距O点4 m， ∴此时的解析式为 将（4，0）代入可得， 解得h=8． 10. 解：（1）由题意可知，第一次灭火时水流最高点的坐标为（3，12），∴水流所在抛物线的解析式为y= a（x-3）2+12， 又∵点A（0，10）在抛物线上， ∴10=a（0-3）2+12，解得 ∴y=（x-3）2+12. ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为y=（x-3）2+12； （2）∵两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最高点到高楼的水平距离均为3 m， ∴可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为y=（x-3）2+c， ∵由题意可知该抛物线过点（12，0），解得c=18， 令x=0，则y=16，∴B（0，16）， ∵A（0，10），∴AB=16-10=6， 即A，B之间的距离为6 m； （3） 提示：由题意可知，灭火过程中y与x始终满足y=a（x-3）2+h，将（9，0）代入后可得0=36a+h，∴h=-36a，∴y=a（x-3）2-36a， 当抛物线过点（0，12）时，12=a（0-3）2-36a，解得a=；当抛物线过点（0，18）时，18=a（0-3）2-36a，解得a=；∴ ∴当水流最高点到高楼的水平距离始终为3 m时，a的取值范围是 核心素养·中考新考法 11. 解：（1）设y=at2+bt+c， 将（0，0），（1，27），（2，48）代入， 得 ∴y关于t的函数解析式y=-3t2+30t； （2）当t=4时，y=-3×42+30×4=72. 答：汽车刹车4 s后，行驶了72 m； （3）不会．理由：∵y=-3t2+30t=-3（t-5）2+75， 又∵-3＜0，开口向下， ∴当t=5时，y有最大值75，即当t=5时，刹车距离为75m， ∵75＜80， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． $$ 2025年河北中考数学一轮复习提升训练- 第三章 函数 第五节 二次函数的图象和性质 学科网（北京）股份有限公司 立足教材·夯实基础 1. ［教材冀九下P35，BT1衍生］将y=-（x+4）2+1的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数最大值为（ ） A. y=-2 B. y=2 C. y=-3 D. y=3 2. ［2024·达州］抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ） A． b+c＞1 B． b=2 C． b2+4c＜0 D． c＜0 3. ［2024·眉山］定义运算：a⊗b=（a+2b）（a-b），例如4⊗3=（4+2×3）（4-3），则函数y=（x+1）⊗2的最小值为（ ） A． -21 B． -9 C． -7 D． -5 4. 重点［教材人九上P39练习改编］对于二次函数y=x2-2x+3的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线x=-1 C. 顶点坐标是（1，2） D. 与y轴的交点为（0，2） 5. ［教材冀九下P38，AT2改编］已知抛物线y=ax2-2ax+b（a＜0）的图象上三个点的坐标分别为 A（3，y1），B（，y2），C（-，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ） A. y3＜y1＜y2 B. y2＜y1＜y3 C. y1＜y3＜y2 D. y1＜y2＜y3 6. 易错点 如图，现要在抛物线y=x（4-x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下： 甲：若b=5，则点P的个数为0； 乙：若b=4，则点P的个数为1； 丙：若b=3，则点P的个数为1． 下列判断正确的是（ ） A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对，丙错 D. 甲错，丙对 （第6题图） （第8题图） 7. 已知P（-1，3），Q（4，3）为平面直角坐标系内两点，连接PQ．若抛物线y=-x2+6x+m与线段PQ只有一个公共点，则m的取值范围是（ ） A. -5≤m＜10或m=-6 B. -5≤m＜9或m=6 C. -5＜m≤10或m=-6 D. -5≤m≤10或m=-6 8. 难点 如图，二次函数y=ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（-1，0），（x1，0），其中2＜x1＜3．结合图象给出下列结论： ①ab＞0；②a-b=-2；③当x＞1时，y随x的增大而减小；④关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）的另一个根是-；⑤b的取值范围为1＜b＜．其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 已知A，B是抛物线y=x2上两点，M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点C，且MC=2．设A，B两点的横坐标分别为t1，t2（t2＞t1）．-39- （1）若C是抛物线的顶点，则点A的坐标是_______； （2）t2-t1的值为____________． 10. 已知抛物线y=-x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y=-x2+2x的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点A（x1，y1）在抛物线y=-x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y=-x2+bx上． ①若h=3t,且x1≥0，t＞0，求h的值； ②若x1=t-1，求h的最大值． 拓展进阶·提高能力 11. ［2024·乐山］已知二次函数y=x2-2x（-1≤x≤t-1），当x=-1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ） A. 0＜t≤2 B. 0＜t≤4 C. 2≤t≤4 D. t≥2 12. ［2024·福建］已知二次函数y=x2-2ax+a（a≠0）的图象经过A（，y1），B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数a，使得y1＞a B. 无论实数a取什么值，都有y1＞a C. 可以找到一个实数a，使得y2＜0 D. 无论实数a取什么值，都有y2＜0 13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线l∶y=-（x-3）2+2，点M（x1，m），N（x2，m）是l上两点，且x1＜x2，将MN上方抛物线沿MN向下翻折，翻折后得到一个形如“”的新图象．当这个新图象与直线y=-2恰好只有2个公共点时，关于m的取值范围，甲说：m＜-2；乙说：m=-2；丙说：-2＜m≤0；丁说：0＜m＜2，则（ ） A. 甲、丁合在一起才正确 B. 乙、丙合在一起才正确 C. 乙、丁合在一起才正确 D. 甲、丙合在一起才正确 （第13题图） （第14题图） 14. ［2024·邯郸丛台区三模］如图，若抛物线y=x2与直线y=x+3围成的封闭图形内部有k个整点（不包括边界），则一次函数y=kx+k的图象为（ ） -40- 15. ［2024·上海］对于一个二次函数y=a（x-m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′-m=y′-k≠0，则称2x′-m为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线y=-x2+x+3的“开口大小”为______． 16. 如图，将抛物线y=x2-2x-3在x轴下方的图象沿 x轴翻折到x轴上方，原抛物线x轴上方的图象与翻折得到的图象组成一个新函数的图象，若直线y=x+b与新函数的图象有三个交点，则b的取值范围是_______． （第16题图） 17. ［2024·南通］已知函数y=（x-a）2+（x-b）2（a，b为常数）．设自变量x取x0时，y取得最小值． （1）若a=-1，b=3，求x0的值； （2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y=-上，且x0=．求点P到y轴的距离； （3）当a2-2a-2b+3=0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数． 18. ［2024·石家庄平山一模］在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比横坐标大2，则把这样的点称为“龙点”，例如，点（1，3），（-3，-1）都是“龙点”．如图，抛物线L：y=-x2+2x+m+1（m为常数），与x轴交于点A，B. （1）写出抛物线L的对称轴，并求当抛物线L与y轴的交点恰为“龙点”时，m的值； （2）我们发现，若用（x，x+2）来表示“龙点”，则无论x怎样变化，“龙点”始终在一条确定的直线l上． ①求直线l的解析式； ②当抛物线L上有两个不同的“龙点”时，求m的取值范围． （第18题图） 核心素养·中考新考法 19. 新定义定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数y=-x+c（c为常数，c＜0）的图象与x轴交于点M，其轴点函数y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为N．若ON=OM，则b的值为（ ） A. 5 B. 3或-1 C. 3 D. -5或3 -41- 第五节 二次函数的图象和性质 立足教材·夯实基础 1. A 2. A 3. B 4. C 5. A 提示：∵y=ax2-2ax+b（a＜0）， ∴二次函数图象的开口向下，对称轴是直线x= =1，∴x＞1时，y随x的增大而减小， ∵C点关于直线x=1的对称点是D（，y3）， ∵＜3＜，∴y3＜y1＜y2． 6. C 提示：y=x（4-x）=-x2+4x=-（x-2）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（2，4）， ∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4， ∴甲、乙的说法正确； 若b=3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个， ∴丙的说法不正确. 7. C 提示：∵y=-x2+6x+m=-（x-3）2+m+9， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=3，抛物线顶点坐标为（3，m+9），如图1，当抛物线顶点落在PQ上时，m+9=3，解得m=-6，满足题意． 如图2，把Q（4，3）代入y=-x2+6x+m，得3=-16+24+m，解得m=-5，把P（-1，3）代入y=-x2+6x+m，得3=-1-6+m，解得m=10，∴-5＜m≤10满足题意，综上所述，m=-6或-5＜m≤10． 8. C 提示：由图象可知，＞0， ∴ab＜0，故结论①错误； ∵二次函数y=ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（-1，0），∴a-b+2=0，即a-b=-2，故结论②正确； ∵二次函数y=ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（-1，0），（x1，0），其中2＜x1＜3，∴， ∵ab＜0，a-b=-2，∴a＜0，b＞0， ∴抛物线开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小， 故结论③正确； ∵二次函数y=ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于（-1，0），（x1，0）， ∴-1，x1是方程ax2+bx+2=0的两个根， ∴-1·x1=，∴x1=， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）的另一个根是，故结论④正确； ∵a-b+2=0，∴a=b-2， ∴y=（b-2）x2+bx+2，∵2＜x1＜3， 解得1＜b＜，故结论⑤正确． 10.解：（1）∵抛物线y=-x2+bx的顶点横坐标为，y=-x2+2x的顶点横坐标为1，∴-1=1，∴b=4； （2）∵点A（x1，y1）在抛物线y=-x2+2x上，∴y1=-x12+2x1， ∵B（x1+t，y1+h）在抛物线y=-x2+4x上， ∴y1+h=-（x1+t）2+4（x1+t），∴-x12+2x1+h=-（x1+t）2+ 4（x1+t），∴h=-t2-2x1t+2x1+4t，①∵h=3t，∴3t=-t2-2x1t+ 2x1+4t，∴t（t+2x1）=t+2x1， ∵x1≥0，t＞0，∴t+2x1＞0，∴t=1，∴h=3； ②将x1=t-1代入h=-t2-2x1t+2x1+4t，∴h=-3t2+8t-2， ∵-3＜0，∴当t=，即x1=时，h取最大值． 拓展进阶·提高能力 11.C 12.C提示：∵二次函数解析式为y=x2-2ax+a（a≠0）， ∴二次函数开口向上，且对称轴为 x==a，顶点坐标为（a，a-a2）， 将A（，y1），代入y=x2-2ax+a，得 y1=（）2-2a×+a=a2+a， ∵a≠0，∴a2＜0，∴a2+a＜a，即y1＜a， 故A，B错误.将B（3a，y2)代入y=x2-2ax+a，得y2=9a2-6a2+a=3a2+a=3（a+ ∴y2可以是负数、0、正数，故C正确，符合题意；D错误，不符合题意. 13. C 提示：若m＜-2，可画出如图1所示图象，显然新图象与直线y=-2没有交点，即甲说法错误； 若m=-2，可画出如图2所示图象，显然新图象与直线y=-2有2个交点，即乙说法正确； 若-2＜m≤0，可画出如图3所示图象，显然新图象与直线y=-2有4个交点，故丙说法错误； 若0＜m＜2，可画出如图4所示图象，显然新图象与直线y=-2有2个交点，故丁说法正确. 综上，乙、丁合在一起才正确． 14. D 提示：由 ∴抛物线与直线的交点为和（2，4），把x=-1代入y=x2求得y=1，代入y=x+3求得y=， 把x=1代入y=x2求得y=1，代入y=x+3求得y=， ∴（-1，2），（0，1），（0，2），（1,2），（1，3）共5个整点在封闭图形内，∴k=5， ∴一次函数y=kx+k的解析式为y=5x+5，故D正确. 15. 4 16. b=1或b= 提示：当y=0时，x2-2x-3=0， 解得x1=-1，x2=3，则抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点 为A（-1，0），B（3，0），把抛物线y=x2-2x-3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=-（x2-2x-3）=-（x-1）2+4（-1≤x≤3），顶点坐标为M（1，4），如图1，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新函数的图象恰好有一个公共点，∴3+b=0，解得b=-3； 如图2，当直线y=x+b过点A时，直线y=x+b与该新函数图象恰好有三个交点，∴-1+b=0，解得b=1； ∴当-3＜b＜1时，所得新函数的图象与直线y=x+b的图象恰有2个公共点．当直线y=x+b与抛物线y=-（x- 1）2+4（-1≤x≤3）相切时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点， 即-（x-1）2+4=x+b有两个相等的实数解，整理得x2-x+b-3=0，∴Δ=12-4（b-3）=0，解得b=． 综上，当b=1或b=时，所得新函数的图象与直线y=x+b的图象恰有3个公共点. 17. 解：（1）若a=-1，b=3，则y=（x+1）2+ （x-3）2=2x2-4x+10，∴当x==1时，y取得最小值，∴x0=1； （2）∵点P（a，b）在双曲线y= ∴a1=2，a2=-1，当a=2时，点P到y轴的距离为2；当a=-1时，点P到y轴的距离为1. 综上所述，点P到y轴的距离为2或1； （3）y=（x-a）2+（x-b）2=2x2-（2a+2b）x+a2+b2， ∵a2-2a-2b+3=0，∴ 整理得1≤a2＜9，∴-3＜a≤-1或1≤a＜3， ∵a为整数，∴a=-2或-1或1或2，共4个． 18. 解：（1）抛物线L的对称轴为直线 x==1，当x=0时，y=-x2+2x+m+1=m+1， ∴抛物线L与y轴的交点为（0，m+1）， ∴m+1=0+2，∴m=1； （2）①设直线l的解析式为y=kx+b， 当x=0时，x+2=2，x=1时，x+2=3，把（0，2），（1，3）代入y=kx+b得 ∴直线l的解析式为y=x+2； ②由题意得-x2+2x+m+1=x+2，整理，得x2-x-m+1=0，∵抛物线L：y=-x2+2x+m+1上有两个不同的“龙点”， ∴Δ=（-1）2-4（-m+1）＞0，解得m＞． ∴m的取值范围是m＞． 核心素养·中考新考法 19. D 提示：∵函数y=-x+c（c为常数，c＜0）的图象与x轴交于点M，∴M（c，0）．∴OM=-c． ∵ON=OM， ∵其轴点函数y=ax2+bx+c与x轴的 两个交点为M，N， ∴b=-5或b=3． $$ 2025年河北中考数学一轮复习提升训练- 第三章 函数 第七节 二次函数的综合应用 学科网（北京）股份有限公司 立足教材·夯实基础 1. ［教材北师九下P61，T23改编］一块三角形材料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12．用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D，E，F分别在BC，AB， AC上，下列结论中正确的个数是（ ） ①当AE=3时，矩形CDEF的面积是； ②矩形CDEF面积最大时，E为AB的中点； ③当AE=x,矩形CDEF面积为y时，； ④当矩形CDEF面积为时，BE=8． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 （第1题图） （第2题图） 2. ［教材人九上P52，T7高仿］如图，四边形ABCD是正方形，AB=6，四边形EFGH也是正方形，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上．点E在AB边上移动时，正方形EFGH面积也随之改变，当AE的长度为______时，正方形EFGH的面积最小，最小面积为______． 3. ［教材人九上P54“活动2”衍生］如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下操作步骤： ①连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P； ②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线． 某数学兴趣小组在探究时发现在x轴上取几个特殊位置的点M，可以求出相对应的点P的坐标； 例如：取点M（-4，0），过点P作PB⊥y轴于点B． ∴P（-4，y），∴PM2=y2． 在Rt△PAB中，根据勾股定理得PA2=PB2+AB2= ___________； ∵点P在AM的垂直平分线上，∴PA=PM， ∴PM2=PA2．解得y=_____，∴P（-4，5）． （1）请帮忙完成以上填空； （2）请你帮该数学兴趣小组求出点P所在曲线L的解析式； （3）兴趣小组在建立平面直角坐标系时受纸张大小的限制，若点M只能在-5＜x＜6的范围内移动，求y的取值范围.（直接写出答案） （第3题图） -46- 拓展进阶·提高能力 4. 难点［2024·石家庄新华区模拟］如图，直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是-2，点B的横坐标是3，则以下结论： ①抛物线y=ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点； ②x＞0时，直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大； ③AB的长度可以等于5； ④△OAB有可能为等边三角形； ⑤当-3＜x＜2时，ax2+kx＜b， 其中正确的结论是（ ） A． ①② B． ①②⑤ C． ②③④ D． ①②④⑤ （第4题图） 5. ［2024·南充］已知抛物线C1∶y=x2+mx+m与x轴交于两点A，B（点A在点B的左侧），抛物线C2∶y=x2+nx+n（m≠n）与x轴交于两点C，D（点C在点D的左侧），且AB=CD．下列四个结论：①C1与C2交点为（-1，1）；②m+n=4；③mn＞0；④A，D两点关于（-1，0）对称．其中正确的结论是______.（填写序号） 6. 综合与探究［2024·齐齐哈尔］如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=x-2与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的另一个交点为点B（-1，0），点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F． （1）求抛物线的表达式； （2）点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标； （3）当EF=AC时，求点P的坐标； （4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA+MP的最小值为_________． （第6题图） 核心素养·中考新考法 7. 新考向·抽象能力在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y=（x-2）（20≤x≤3）的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数y=x2+bx+c（０≤ｘ≤３）图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b=________． （第7题图） -47- 第七节 二次函数的综合应用 立足教材·夯实基础 1. B提示：∵∠A=30°，∠C=90°，AB=12，∴BC=AB=6， ， ∵四边形CDEF是矩形，∴EF∥CD，即EF∥CB， ∴△AFE∽△ACB， ∴矩形CDEF的面积=CF·EF=，故①正确； 设AE=x，则， ∴CF=AC-AF=， ∵矩形CDEF的面积y=CF·EF=，故③错误； ∵矩形CDEF的面积 ∵∴当x=6时，即AE=6时，矩形CDEF面积最大， ∵AE=6，∴E为AB的中点， ∴矩形CDEF面积最大时，E为AB的中点，故②正确；令y=，则解得x1=4，x2=8，即AE=4或8，∴BE=8或4， ∴当矩形CDEF面积为时，BE=8或4，故④错误. 综上，正确的有①②，共2个. 2. 3 18 提示：设AE=x，则BE=6-x， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EH=EF，∠HEF=90°，∴∠AEH+∠BEF=90°， ∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠AHE=∠BEF， 在△AHE和△BEF中， ∴△AHE≌△BEF（AAS）， 同理可证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH， ∴AE=BF=CG=DH=x，AH=BE=CF=DG=6-x， ∴EF2=BE2+BF2=（6-x）2+x2， ∴正方形EFGH的面积S=EF2=（6-x）2+x2=2（x-3）2+18，即当AE=3（即E为AB边上的中点）时，正方形EFGH 的面积最小，最小面积为18． 3. 解：（1）16+（y-2）2 5 （2）设点P坐标为P（x，y）， ∴PB=|x|，PM=y，点B的坐标为B（0，y）， ∴BA=|y-2|，∵点P在线段AM的垂直平分线上， ∴PM=PA=y， 在Rt△PBA中，PA2=PB2+AB2， 即y2=（|x|）2+（|y-2|）2， 化简得x2-4y+4=0，∴y=+1， ∴点P所在曲线L的解析式为y=+1； （3）1≤y＜10. 拓展进阶·提高能力 4. B 提示：①抛物线y=ax2，利用顶点坐标公式，得顶点坐标为（0，0），本选项正确； ②根据图象，得直线y=kx+b（k≠0）的函数值y随x的增大而增大；抛物线y=ax（2a≠0），当x＞0时，y的值随x的增大而增大，则x＞0时，直线与抛物线的函数值都随着x的增大而增大，故本选项正确； ③∵A，B横坐标分别为-2，3，若AB=5，可得出直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾，∴AB不可能为5，故本选项错误； ④若OA=OB，得到直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾，∴OA≠OB，即△OAB不可能为等边三角形，本选项错误； ⑤直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称，如图所示. 可得出直线y=-kx+b与抛物线交点C，D的横坐标分别为-3，2，由图象可得，当-3＜x＜2时，ax2＜-kx+b，即ax2+kx＜b，则正确的结论有①②⑤． 5. ①②④ 提示：令x2+mx+m=x2+nx+n，解得x=-1，把x=-1代入y=x2+mx+m得，y=1，∴C1与C2交点为 （-1，1），故①正确；∵抛物线C1：y=x2+mx+m与抛物线C2：y=x2+nx+n的开口方向和大小相同，且AB=CD， ∴两抛物线沿直线x=-1对折能够重合，∴两抛物线关于直线x=-1对称，∴A，D两点关于（-1，0）对称，故④正确； ∵，∴m+n=4，故②正确； ∵抛物线C1：y=x2+mx+m的对称轴为直线x=，抛物线C2：y=x2+nx+n的对称轴为直线x=，C1与C2 的交点为（-1，1），∴m＞2，n＜2或m＜2，n＞2，∴mn＞0不一定成立，故③错误． 6.解：（1）∵直线y=x-2与x轴交于点A，与y轴交于点C，则点A，C的坐标分别为（4，0），（0，-2）， 则抛物线的表达式为y=a（x-4）（x+1）=a（x2-3x-4），把（0，-2）代入，得-4a=-2，则a=，则抛物线的表达式为y=； （2）D1（-4,0），D2（4+,0），D3（4- ，0）； 提示：设点D（x，0），由点A，C，D的坐标得，AC2=20，AD2=（x-4）2，CD2=x2+4，由题意得AC=AD或AC=CD，即20=（x-4）2或20=x2+4，解得x=4±或4（舍去）或-4，即点D（4±，0）或（-4，0）； （3）∵PE∥x轴，∴∠PEA=∠OAC. ∵PF∥y轴，∴∠PFE=∠OCA. 又∵EF=AC，∴△AOC≌△EPF（ASA）， ∴PF=OC=2. ∵点P是抛物线位于第四象限图象上的动点， 设点P（m，）（0<m<4）， 则点F（m，）， ∴PF= ， 解得m=2. 当m=2时，∴P（2，-3）； （4） 提示：如图，作点A关于y轴的对称点A′（-4，0），将点A′向右平移（MN的长度）个单位长度，得到点A″（，0），连接PA″交抛物线对称轴于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，连接 A′N， ∵A′A″∥MN且A′A″=MN， ∴四边形A′A″MN为平行四边形，则A′N=A″M， 则NA+MP=A′N+MP=A″M+MP=A″P， 此时NA+MP的值最小，最小值为 核心素养·中考新考法 7. 提示：由y=（x-2）（20≤x≤3）可知，当x=0时，y=4， ∴C（0，4），∵A（3，0），四边形ABCO是矩形， ∴B（3，4）， ①当抛物线经过点O，B时，将点O（0，0），B（3，4）的坐标代入y=x2+bx+c（0≤x≤3），得 ，解得b=； ②当抛物线经过点A，C时，同理可得b=， 综上所述，. $$ 2025年河北中考数学一轮复习提升训练- 第三章 函数 第四节 反比例函数及其应用-36- 学科网（北京）股份有限公司 立足教材·夯实基础 1. ［教材冀九上P133，AT2改编］已知点（-3，2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值为 （ ） A. -3 B. 3 C. -6 D. 6 2. ［教材人九下P8练习T2改编］已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在反比例函数y=的图象上，若x1＜0＜x2，则有（ ） A. y1＜0＜y2 B. y2＜0＜y1 C. y1＜y2＜0 D. 0＜y1＜y2 3. ［教材北师九上P161，T6改编］函数y=（k≠0）与函数y=kx-k在同一坐标系中的图象可能是（ ） 4. 跨物理 ［教材人九下P17，T8改编］嘉嘉利用如图1所示的电路探究电流与电阻的关系，通过实验，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成如图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1.5 Ω，则该电路能通过的（ ） A. 最大电流是24 A B. 最大电流是27 A C. 最小电流是36 A D. 最小电流是24 A （第4题图） 5. 某反比例函数y=具有下列性质：当x＞0时，y随x的增大而减小．写出一个满足条件的k的值是________. 6. 反比例函数y=的图象在第一、三象限，则点（k，-3）在第_____象限． 7. ［2024·齐齐哈尔］如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，点O，C在x轴上，若点B（-1，3），SABCO＝3，则实数k的值为____． （第7题图） 8. 跨物理 ［2024·唐山丰润区一模］如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 桌面所受压强 P（Pa） 200 400 500 800 1 000 受力面积 S（m2） 0.5 0.25 a 0.125 0.1 （1）根据表中数据，求出桌面所受压强P（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式及a的值； （2）将另一长、宽、高分别为0.3 m，0.2 m，0.1 m且与原长方体相同质量的长方体按图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2 000 Pa，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由． （第8题图） 9. ［教材冀九上P140，AT2改编］某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息．张先生在该销售商手上购买了一辆价值为20万元的新能源汽车，交了首付款后，余款由平均每月付款y万元，x个月结清，y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题： （1）确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目； （2）若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元？ （3）如果张先生打算每月付款0.3万元，那么他要多少个月才能结清余款？ （第9题图） 拓展进阶·提高能力 10. ［2024·宿迁］如图，点A在双曲线y1=（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2=（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO=AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 （第10题图） （第11题图） 11. ［2024·通辽］如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y=（k为常数，k＞0）上，将正六边形ABCDEF向上 平移个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 3 12. ［2024·扬州］如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC=30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为_______． （第12题图） 13. 如图，双曲线y＝（x＞0）经过点（2，2）和点M（4，n），经过双曲线上的点A且平行于OM的直线与y轴交于点B，点A在点M左上方，设G为y轴、直线AB、双曲线y＝（x＞0）及线段OM之间的部分（阴影部分），解决下列关于G（不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）的问题：-37- （1）G内整点的个数最多有______个； （2）若G内整点的个数为4，则点B的纵坐标m的取值范围是____________． （第13题图） 14. 某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系如图所示，其中曲线AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w（万元），当销售单价为多少元时，年利润最大？最大年利润是多少？（说明：年利润=年销售利润-研发费用） （第14题图） 15. ［2024·雅安］如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y=的图象交于M （，4），N（n，1）两点． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）求△OMN的面积； （3）若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点P的坐标． （第15题图） 核心素养·中考新考法 16.跨学科·物理当作用于一个物体的压力F（N）一定时，这个物体所受的压强p（Pa）与它的受力面积S（m2）的函数表达式为p=（S≠0），则下列描述不正确的是（ ） A. 当压力F=5 N，受力面积S为1 m2时，物体所受压强为5 Pa B. 图象位于第一、三象限-38- C. 压强p（Pa）随受力面积S（m2）的增大而减小 D. 图象不可能与坐标轴相交 第四节 反比例函数及其应用 立足教材·夯实基础 1. C 2. A 3. A 4. A 5. 1（答案不唯一） 6. 四 7. -6 8. 解：（1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，设P=，将（200，0.5）代入得k=200×0.5=100， ∴P=，即所受压强P（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式为P=，当P=500时，S==0.2，∴a=0.2； （2）这种摆放方式不安全， 理由：由题图可知S=0.1×0.2=0.02（m2），∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，P==5 000（Pa）， ∵5 000＞2 000，∴这种摆放方式不安全． 9. 解：（1）由图象可知y与x成反比例关系，设y与x的函数关系式为y=（k≠0），把（10，1.5）代入关系式得1.5=，∴k=15，∴y与x的函数 关系式为y=（0＜x≤60）， ∵20-15=5（万元）．∴首付款为5万元； （2）当x=40时，y==0.375（万元）. 答：平均每月应付0.375万元； （3）当y=0.3时，0.3=，解得x=50． 答：张先生至少要50个月才能结清余款． 拓展进阶·提高能力 10. C 提示：如图，过点A作AD⊥x轴于点D． 由题意，设A（a，）（a＞0）， ∵AO=AC，AD⊥OC，∴OC=2OD=2a. 又设直线OA为y=mx，∴ma=．∴m=. ∴直线OA为y=x. 联立 11. A 提示：如图，作DG⊥EF交EF的延长线于点G，DG交反比例函数图象于点H， ∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴， ∴∠EDO=∠EDC=×120°=60°，∴∠EDG=30°， ∴EG=ED，GD=ED. 设正六边形ABCDEF的边长为a， 则E（a，a），H（a，）， ∵点E，H都在反比例函数图象上， ∴a·a=a，解得a=4， ∴H（4，），∴k=4． 12. 2 提示：设点B的坐标为（m，），则C（m，0），∵A（1，0），∴AC=m-1，由对称可知，AD=m-1， ∠DAB=∠CAB=30°，∴∠DAC=60°， 如图，作DG⊥x轴，垂足为G，∴∠ADG=30°， ∵点D在反比例函数图象上， 在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°， 由①②，解得k=2或k=0（舍 去）.故k=2. 13. （1）5 （2） 提示：（1）如图所示，取点C（1，4）， ∵双曲线y=（x＞0）经过点（2，2）， 点M（4，n）， ∴k=2×2=4n=4， ∴反比例函数解析式为y=，n=1，∴M（4，1）， 当点A在点C的左侧时，G内整点的个数最多有（1，3），（1，2），（1，1），（2，1），（3，1），共5个点； （2）∵M（4，1），设直线OM的解析式 为y=k1x，则k1=，∴y=x，∵AB∥OM，∴设AB的解析式为y=x+m， 若G内整点的个数为4，则点A在点C点的右侧，当AB经过点（1，3）时，3=×1+m，解得m=， 当AB经过点（1，2）时，2=×1+m，解得m=， ∵G内整点有4个：（1，2），（1，1），（2，1），（3，1），则AB不经过（1，2）， ∴. 14. 解：（1）当4≤x≤8时，设y=，将A（4，40）代入得k=4×40=160， ∴y与x之间的函数关系式为y=； 当8＜x≤28时，设y=k′x+b，将B（8，20），C（28，0）代入得， ∴y与x之间的函数关系式为y=-x+28， 综上所述，y= （2）当4≤x≤8时，w=（x-4）y-40=（x- 4）·-40=120-640x， ∵当4≤x≤8时，w随着x的增大而增 大，∴当x=8时，w最大=120-=40； 当8＜x≤28时，w=（x-4）y-40=（x- 4）（-x+28）-40=-（x-16）2+104， ∴当x=16时，w最大=104； ∵104＞40，∴当销售单价定为16元时，年利润 最大，最大年利润为104万元． 15. 解：（1）∵M（，4）在反比例函数 y=的图象上，∴k=×4=2．∴反比例函数表达式为y=．∵N（n，1）在反比例函数y=的图象上， ∴n=2．∴N（2，1）．设一次函数表达式为y=ax+b，∴ ∴一次函数的表达式为y=-2x+5； （2）如图1，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B， ∵直线l为y=-2x+5，∴A（，0），B（0，5）． ∴OA=，OB=5． ∴S△OMN=S△AOB-S△AON-S△BOM=×AO×BO-×AO·yN-×BO×xM=××5-××1-×5×=； （3）如图2，作点M关于y轴的对称点M′，连接M′N交y轴于点P，则PM+PN的最小值等于M′N的长． ∵M（，4）与M′关于y轴对称， ∴M′（-，4）． 又∵N（2，1）， ∴易得直线M′N为y=-x+． 令x=0，则y=，∴P（0，）. 核心素养·中考新考法 16.B $$