5.6三角函数图像变换综合练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.6三角函数图像变换综合练习 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，f（x）的解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】由图象确定A的值，根据周期求出ω，利用特殊值求出φ，即得答案． 【解答】解：由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象可知A＝2，， 可得， 可得ω＝2， 由，得， 故， 由于|φ|＜π， 故， 则． 故选：B． 【点评】本题考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了函数思想和数形结合思想，属于基础题． 2．将函数y＝3sin（3x+φ）的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由三角函数图象的平移变换可得函数解析式为y＝3sin（3x﹣+φ），根据对称性可知，由此可得φ，进而得到|φ|的最小值． 【解答】解：将函数y＝3sin（3x+φ）的图象向右平移个单位长度， 得到函数y＝3sin[3（x﹣）+φ]＝3sin（3x﹣+φ）的图象， 因为函数的图象关于y轴对称，即函数为偶函数， 所以， 解得， 故当k＝﹣1时，|φ|取得最小值为． 故选：A． 【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的性质，属于基础题． 3．已知函数的部分图象如图所示，则＝（　　） A．4 B． C． D．2 【分析】根据点在图象上求出φ的值，根据五点作图法求出ω的值，进而得到函数解析式，从而算出． 【解答】解：由图可知，点在图象上， 所以， 则， 又知点在f（x）的增区间上， 所以， 由五点作图法可知，，解得ω＝3， 所以， 则． 故选：D． 【点评】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了函数思想和数形结合思想的应用，属于基础题． 4．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）在区间[﹣，]上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则θ的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据图像确定解析式，再通过图像变换得新函数g（x），最后通过g（x）为奇函数建立参数θ的方程求解． 【解答】解：∵T＝， ∴ω＝＝2， 又由“五点法”得，∴φ＝， ∴f（x）＝sin（2x+）， 将f（x）图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）， 再向右平移θ（θ＞0）个单位长度后得函数为g（x）＝sin[4x+（﹣4θ]， 又g（x）为奇函数， ∴， ∴，k∈Z，又θ＞0， ∴θ最小值为． 故选：C． 【点评】本题考查三角函数的图像性质，图像变换，函数的奇偶性，属基础题． 5．已知函数f（x）＝sin2x，将y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到y＝g（x）的图象，下列关于函数g（x）的性质说法正确的是（　　） A．g（x）的图象关于对称 B．g（x）的图象关于点对称 C．g（x）在区间上单调递减 D．g（x）在区间上单调递增 【分析】利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【解答】解：把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g（x）＝sin（2x﹣）的图象， 令x＝，可得g（）＝≠±1，故A错误； 令x＝，可得g（）＝﹣≠0，故B错误； 令，得，即g（x）在区间上单调递增，故D正确，C错误． 故选：D． 【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，属于基础题． 6．已知函数的最小正周期为π．将y＝f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的周期求ω，结合三角函数的图象平移关系，结合三角函数的奇偶性进行求解即可． 【解答】解：由题意可得，得ω＝2，则， 将y＝f（x）的图象向左平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称， 则， ∵图象关于y轴对称， ∴，k∈Z， 则，k∈Z， 当k＝1时，，当k＝0时，． 故选：B． 【点评】本题考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换以及正弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题． 7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（）图象的一个对称中心为，则（　　） A．f（x）在区间上单调递增 B．是f（x）图象的一条对称轴 C．f（x）在上的值域为 D．将f（x）图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称 【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得出A、B的真假；结合正弦函数最值可得出C的真假；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得出D的真假． 【解答】解：由函数的对称中心可得，解得， 又|φ|＜，故，即； 对A：当时，， 由函数y＝sinx在⊈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z， 故f（x）在区间上不为单调递增，故A错误； 对B：当时，， 由不是函数y＝sinx的对称轴， 故不是f（x）图象的对称轴，故B错误； 对C：当时，， 则，故C错误； 对D：将f（x）图象上的所有点向左平移个长度单位后， 可得， 该函数关于y轴对称，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题． 8．将函数的图象向右平移φ，个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出平移后的函数解析式，结合正弦型函数的奇偶性列关系式求φ． 【解答】解：将函数的图象向右平移φ，个单位长度后， 所得函数为偶函数， 则，k∈Z， 所以， 又， 所以k＝﹣1，． 故选：B． 【点评】本题考查了三角函数的图象平移，考查了三角函数奇偶性的性质，是基础题． 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） （多选）9．对于函数，下列说法正确的是（　　） A．f（x）的最小正周期是2π B．f（x）在上单调递增 C．当时，f（x）的取值范围为 D．f（x）的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【分析】对于ABC，根据正弦函数的性质逐一分析判断即可；对于D，利用三角函数平移的性质即可判断． 【解答】解：对于，它的最小正周期，故A错误； 当时，， 又y＝sinx在上单调递增， 所以函数f（x）在上单调递增，故B正确； 当时，， 所以， 所以f（x）的取值范围为，故C正确； 的图象向左平移个单位长度得到解析式为，故D错误． 故选：BC． 【点评】本题考查了正弦函数的性质以及三角函数平移的性质，考查了函数思想，属于中档题． （多选）10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．ω＝2 B． C．是曲线y＝f（x）的一条对称轴 D．f（x）在区间上单调递增 【分析】对于A，根据图象求得ω＝2求解判断； 对于B，由，由＝，求解判断； 利用三角函数的对称轴对C选项进行判断； 利用三角函数的单调性即可对D选项进行判断． 【解答】解：对于A，因为ω＞0， 由函数的部分图象知， 可得ω＝2，A选项正确； 由图象知A＝2， 又因为， 可得＝，可得， 又， 可得，B错误； 对于C，当时，， 则不是f（x）的对称轴，故C错误； 对于D，的单调增区间满足：，k∈Z， 可得单调增区间为，k∈Z， 当k＝0时，函数增区间为， 可得f（x）在区间上单调递增，故D正确． 故选：AD． 【点评】本题考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式以及余弦函数的性质，考查了函数思想和数形结合思想，属于中档题． （多选）11．对于函数f（x）＝sinx与，下列说法正确的是（　　） A．f（x）与g（x）有相同零点 B．当x∈[0，2π]时，f（x）与g（x）的交点个数为6 C．将f（x）的图像向右平移个单位，并把横坐标变为原来的可以得到g（x）的图像 D．将f（x）的图像横坐标变为原来的，并向右平移个单位可以得到g（x）的图像 【分析】计算两个函数的零点，即可求解A，根据，求解或，即可判断B，根据函数图象的变换即可求解CD． 【解答】解；对于A，f（x）＝sinx的零点为x＝kπ，k∈Z，的零点满足，解得x＝+，k∈Z，两个函数的零点不相同，选项A错误； 对于B，令，得或，解得x＝﹣kπ或x＝+，k∈Z，所以x∈[0，2π]时，零点有，共有6个，选项B正确； 对于C，将f（x）的图像向右平移个单位，得到，再把的横坐标变为原来的倍，得，选项C正确； 对于D，将f（x）的图像横坐标变为原来的倍，得到y＝sin3x，再将y＝sin3x向右平移个单位，得的图象，选项D错误． 故选：BC． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题． 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．若将函数y＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）向右平移个单位后其图像关于y轴对称，则φ＝　　． 【分析】根据三角函数的图像变换及三角函数的性质求解即可． 【解答】解：函数y＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）向右平移个单位后， 得到函数y＝sin[2（x﹣）+φ]＝sin（2x﹣+φ）的图像， 此时函数图像关于y轴对称，则﹣+φ＝+kπ，k∈Z， 即φ＝+kπ，k∈Z， 又0＜φ＜π，所以k＝0时，． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数图像的变换及三角函数的性质，属于基础题． 13．如图为函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤π）的部分图象，则ω＝ 　　． 【分析】由图象过点结合正弦函数性质可得答案． 【解答】解：令y＝f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤π）， 则f（0）＝2sinφ＝⇒sinφ＝，又|φ|≤π， 故或，又图象过点（0，）时单调递增，则； 又f（π）＝0，由五点作图法，可得ωπ+＝2π， 则ω＝． 故答案为：． 【点评】本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于中档题． 14．若函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则f（x）的图象的一个对称中心为 　（答案不唯一）　． 【分析】由图得出A的值，再由f（0）的值确定φ的值，然后再由图得出周期的范围，由此得出ω的范围再根据最值得出ω的值，然后根据正弦函数的对称中心即可求解． 【解答】解：由题图可知A＝2，因为当x＝0时，， 因为，所以，所以， 由题图可知，所以，所以， 由题图可知，，解得．又，所以ω＝2， 所以．令，解得， 所以f（x）图象的对称中心为，当k＝0时，f（x）图象的一个对称中心为． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了三角函数的图像性质，考查了学生的数形结合能力以及运算能力，属于基础题． 4． 解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知函数为奇函数． （1）求函数f（x）的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应x的取值集合． （2）求函数f（x）的图象向右平移个长度单位再向下平移1个长度单位得到y＝g（x）的图象，求g（x）的解析式并求g（x）在的单调递减区间． 【分析】（1）求出函数f（x）的解析式，然后根据整体代换求解和，k∈Z，从而求解． （2）利用图象平移求出，k∈Z，然后利用整体代换求解相应的递减区间，从而求解． 【解答】解：（1）依题意有，因为0＜θ＜π，所以， 即f（x）＝2sin2x为奇函数，满足题意． 当时f（x）取最大值2； 当时f（x）取最小值﹣2． （2）依题意f（x）图象向右平移个长度单位再向下平移1个长度单位得到，得， 若g（x）单调递减，则， 所以， 又， 令k＝﹣1，k＝0得其减区间为与． 【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题． 16．已知函数的部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并求出f（x）在上的值域； （Ⅱ）若将函数f（x）的图象向右平移θ（θ＞0）个单位后所得曲线关于y轴对称．求θ的最小值． 【分析】（Ⅰ）由函数的部分图象求出ω、φ，写出函数f（x）的解析式，再求x∈[0，]时f（x）的最值，即可得出值域； （Ⅱ）根据函数图象平移法则，结合函数的奇偶性与对称性，求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象知， f（）＝sin（ω+φ）＝1，所以sin（ω+φ）＝，即ω+φ＝①， 由f（）＝sin（ω+φ）＝0，所以sin（ω+φ）＝0，即ω+φ＝π②， 由①②解得ω＝2，φ＝﹣，满足题意； 所以函数f（x）＝sin（2x﹣）， x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，f（x）的最小值为f（0）＝sin（﹣）＝﹣1， 最大值为f（）＝sin（2×﹣）＝， 所以f（x）在[0，]上的值域是[﹣1，]； （Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移θ（θ＞0）个单位， 得y＝f（x﹣θ）＝sin[2（x﹣θ）﹣]＝sin（2x﹣2θ﹣）， 令﹣2θ﹣＝﹣+2kπ，k∈Z，解得θ＝﹣kπ，k∈Z； 所以θ的最小值为． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题． 17．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象的一条对称轴方程为，且其图象上相邻两个零点的距离为． （1）求f（x）的解析式； （2）若对∀x∈[0，]，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【分析】（1）由题意可得周期为T＝，可求出ω的值，再由一条对称轴方程为x＝﹣，可得f（﹣）＝±2，可求出φ的值，从而可求出f（x）的解析式． （2）由题意得2sin（3x+）＞2m+1对∀x∈[0，]恒成立，利用三角函数的性质求出[2sin（3x+）]min＞2m+1即可，从而求出实数m的取值范围． 【解答】解：（1）∵f（x）图象上相邻两个零点的距离为， ∴f（x）周期为T＝，∴＝，解得ω＝3， ∴f（x）＝2sin（3x+φ）， ∵f（x）图象的一条对称轴方程为x＝﹣， ∴f（﹣）＝±2，即2sin（﹣+φ）＝±2， ∴﹣+φ＝，k∈Z， ∵|φ|＜，∴φ＝﹣， ∴f（x）＝2sin（3x﹣）． （2）由（1）得2sin（3x+）≤1，则﹣3sin（3x+）， ∴﹣3＞2m+1，解得m＜﹣2， ∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）． 【点评】本题考查三角函数解析式、实数取值范围的求法，考查三角函数的图象、对称轴方程、三角函数的恒等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 18．函数的部分图象如图所示． （1）求函数f（x）的解析式； （2）将函数f（x）的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求g（x）在上的最大值和最小值． 【分析】（1）先由图象和周期公式得A＝2，ω＝2，进而由，结合正弦函数性质得，从而得解； （2）先由平移变换求出函数g（x）的解析式，接着由，得，再结合正弦函数性质即可得g（x）max和g（x）min，从而得解． 【解答】解：（1）由函数f（x）的部分图象可知A＝2，， 所以T＝π，所以，所以函数， 又，所以， 解得，由可得， 所以； （2）将f（x）向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数y＝2sint在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，g（x）min＝﹣2， 所以g（x）在上的最大值为，最小值为﹣2． 【点评】本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题． 19．已知函数． （1）求f（x）的最小正周期； （2）将f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求不等式g（x）≥0的解集． 【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简，结合周期公式即可求解； （2）结合平移法则和诱导公式化简得，由余弦函数图象特征解不等式即可求解． 【解答】解：（1）＝，故； （2）因为，向左平移个单位长度， 得到， 故要使，需满足， 解得， 故g（x）≥0的解集为． 【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的性质，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.6三角函数图像变换综合练习 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，f（x）的解析式为（　　） A． B． C． D． 2．将函数y＝3sin（3x+φ）的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于y轴对称，则|φ|的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．已知函数的部分图象如图所示，则＝（　　） A．4 B． C． D．2 4．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）在区间[﹣，]上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则θ的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．已知函数f（x）＝sin2x，将y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到y＝g（x）的图象，下列关于函数g（x）的性质说法正确的是（　　） A．g（x）的图象关于对称 B．g（x）的图象关于点对称 C．g（x）在区间上单调递减 D．g（x）在区间上单调递增 6．已知函数的最小正周期为π．将y＝f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是（　　） A． B． C． D． 7．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（）图象的一个对称中心为，则（　　） A．f（x）在区间上单调递增 B．是f（x）图象的一条对称轴 C．f（x）在上的值域为 D．将f（x）图象上的所有点向左平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称 8．将函数的图象向右平移φ，个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ的值为（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） （多选）9．对于函数，下列说法正确的是（　　） A．f（x）的最小正周期是2π B．f（x）在上单调递增 C．当时，f（x）的取值范围为 D．f（x）的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 （多选）10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．ω＝2 B． C．是曲线y＝f（x）的一条对称轴 D．f（x）在区间上单调递增 （多选）11．对于函数f（x）＝sinx与，下列说法正确的是（　　） A．f（x）与g（x）有相同零点 B．当x∈[0，2π]时，f（x）与g（x）的交点个数为6 C．将f（x）的图像向右平移个单位，并把横坐标变为原来的可以得到g（x）的图像 D．将f（x）的图像横坐标变为原来的，并向右平移个单位可以得到g（x）的图像 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．若将函数y＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）向右平移个单位后其图像关于y轴对称，则φ＝　 　． 13．如图为函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤π）的部分图象，则ω＝ 　 　． 14．若函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则f（x）的图象的一个对称中心为 　 　． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知函数为奇函数． （1）求函数f（x）的最大值与最小值，并分别写出取最大值与最小值时相应x的取值集合． （2）求函数f（x）的图象向右平移个长度单位再向下平移1个长度单位得到y＝g（x）的图象，求g（x）的解析式并求g（x）在的单调递减区间． 16．已知函数的部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并求出f（x）在上的值域； （Ⅱ）若将函数f（x）的图象向右平移θ（θ＞0）个单位后所得曲线关于y轴对称．求θ的最小值． 17．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象的一条对称轴方程为，且其图象上相邻两个零点的距离为． （1）求f（x）的解析式； （2）若对∀x∈[0，]，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 18．函数的部分图象如图所示． （1）求函数f（x）的解析式； （2）将函数f（x）的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求g（x）在上的最大值和最小值． 19．已知函数． （1）求f（x）的最小正周期； （2）将f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求不等式g（x）≥0的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $$