第2章 第5节 从全等到相似-中考数学压轴题得高分

2.解析：(1)①90°1：1(2)①45°1：2 3解析：I)MN-AC,MN∥AC (2)①，'BE=BM 台A,m-N-专c蛋-股“器-批 BA :∠EBF=45°=∠ABC,.∠ABE=∠CBF,∴△BEAO 图1 图2 △BFC,∠BCF=∠BAE.:BE=号BA,∠BEA=90, (3)如图2，连接DB,作射线CE,使得∠DCE=∠DAB,且 CE=AB,连接BE,过点E作EH⊥BC交BC的延长线于点 ∴sin∠BAE-号∴∠BAE-30,∠BCF-30.②如图1， H.则△DAB≌△DCE,∴.∠ADB=∠CDE,DB=DE, 过点C作CH⊥AD交AD于点H,则△AHC≌△BEA, .∠BDE=60°，∴.△BDE为等边三角形，，∠DBC+ ∠DEC=75°，∴∠BCE=135,∴∠ECH=45°，∴△ECH是 CH-AE-25由适意得△BEDn△CHD80-腊 等腰直角三角形.CE=AB=22,.CH=EH=2,∴，BE= 2= ,CD=42×5=62-26,:CD的长为 V2+=25ise-×25r=5.:sm 25 1+3 62-26. 号C.EH=号X2X2=2,Saw=Sam十Sam SmE十SAan=SamE一S△E=5V5-2,∴四边形ABCD的 而积为53-2. 1L.解析：问题背景：EF=AE十CF,探究延伸1：成立，探究 延伸2：成立.如图，延长FC至点P,使得CP=AE,∠BAD十 图1 ∠BCD=180°，∠BCD十∠BCP=180°，∴，∠BAD=∠BCP,(3)①如图2，当点E在线段CF上时，由题意得△ABE∽ .△BAE≌△BCP,,∠ABE=∠CBP,BE=BP,△CBF,∴∠AEB=∠F=∠EBF,,AE∥BF,,∠BAE+ '.∠CBP+∠FBC=∠ABE+∠FBC=∠FBE,即∠PBF= ∠ABF=180:②如图3，当点F在线段CE上时，由题意得 ∠EBF..△BPF≌△BEF,.EF=PF=CF+CP,即EF= △ABEO△CBF,.∠AEB=∠CFB,∴.∠AEB+∠EBF= CF+AE. ∠CFB+∠EFB=180°，.AE∥BF,.∠BAE=∠ABF.综 上，当点C,E、F在同一直线上时，∠BAE十∠ABF=180°或 ∠BAE=∠ABF (4)由题意可得EF=AE+BF,AE=75×1.2=90(海里)， BF=100×1.2=120(海里)，，.EF=AE+BF=90+120= 210(海里)，即两舰艇之间的臣离为210海里. 第5节从全等到相似 图2 图3 L.解析：连接AC,可得△AHBc△AMC,C%-AC B开一AB=2,4.解析：4)①5@5（2)不变，如图1，可证得△CDB0 ..CM=2 BH. △cEA品-合-. 图 中考数学压轴题得高分 ·17· (3)当点E在线段AB上时，如图2.由题意可证得△CDBC∽8.解析：(1)按小颖的思路：如图1，在DB上截取DM=DA,则 △CEA,-A=,CE=5,BC=2.BE=1,∴AE= △ADM是等边三角形，∴.∠BAM=60°一∠CAM=∠CAD,在 AB=AC. 3,“BD二33当点E在AB的延长线上时，如图3可得 △AMB和△ADC中，{∠BAM=∠CAD,.△AMB2△ADC 5 AM=AD. 四边形BCDE是矩形，，BD=CE=√5，综上所述，BD的长为 SAS),..MB=DC...BD=DM+BM=AD+CD. 3或5。 0 图2 图3 图1 图2 5.解桥：DAC2DE(2)BC=2V73)3 3 按小军的思路：如图2，延长CD至点N使得DN=DA,同理可 6解：折P-5,ADLCE。(2)成立.由题意可得△BDA i证△ABD≌△ACN,∴.BD=CN.又CN=CD+DN=CD+ CE DA,.BD=AD+CD.(2)【探究1】如图3，在BD上取点E △BEC.AP-BA-5,∠BCE=∠BAD=30·∠ECA 使得BE=CD.,AB=AC,∠ABE=∠ACD,,∴.△ABE☑ △ACD,∴.△ADE是等腰直角三角形，，BD=BE十DE= 90,.AD⊥CE.(3)DF=BE,可得△DBE≌△EFD, .EF=BD=25.∠DEF=∠EDB=30.∴.∠BEF=90°， CD+2AD. .四边形BEFD为矩形，∠BAD=90°一a,CE=√5，，AB 3w5,∴.AD=15..∠CAF=90°-a-30=60-a,.tan(60° w-得-9 ,即tan(60°-a)的 值为85-93 11 图3 7.解析：(1)等腰直角三角形：2(2)①成立.由题意得 【探究2】BD=3CD+2AD(3)b·BD=A·AD+c·CD ∠B'AB=a·则∠B'AD=a-90°，AB=AB=AD, 第3章几何模型 .∠ABB'=∠AB'B,∠ADB'=∠ABD..∠EB'D= ∠ABD-∠AB'B=180-a-902-180,e=45,又 第1节三垂直模型 2 2 1.(-4,8) ∠B'ED=90,∴△DEB是等腰直角三角形.连接BD,易证2.D解析：a十b=AB+BC=AC<ED=c,结论①正确： C△BDB∴那-B胎2.②如图，比值为1或3。Q+6=AB+AE>BE=√a牛，“结论②正确：a+ B 2DE② AB+AE>BE-DE 2(a十b)>c…结论③正确。 综上，所有正确结论的序号是①②③. 3.C解析：过点C作CH⊥y轴交y轴于点H,则△AOB☑ (月 D △BHC,.CH=OB=3,BH=AO=4,.点C的坐标为（一3， 1),.k=-3. 4.一2十25解析：过点A作x轴的垂线，垂足为C,过点B 作AC的垂线，垂足为D,则△AOC2△BAD,∴AC=BD=2, AD=OC=m∴点B的坐标为(m十2,2-m),∴2m=(m十 中考数学压轴题得高分 ·18·言学知道 中考数学压轴题得高分1III 第5节 从全等到相似 前言:旋转问题的探究题是近来中考题中的热点题型之一,此类问题一般从旋转的性质出发: 探究旋转型全等与相似,提炼出题型中的重要结论和一般思路,是提高解题能力的重要方式之一, E,将△ADE绕点A顺时针旋转到图2的位置. 知识导航 则图2中的值为 BD 1.从全等到相似 B D 2 E 在手拉手模型中,我们可以看成是两个 相似的等腰三角形作共点旋转,由等腰条件 C C 图1 可得一组全等三角形 图2 解析:乙ABC-90*,AB-8,BC-6. ..AC-10.::DE/BC...△ADEo△ABC. _ .:AD AB AC. AE BAC,.EAC=DAB,.△DAB C 若△ABC与△ADE非等腰,则可得到 旋转型相似. 引例2(2019·衰阳)如图,两个大小不同 以直角三角形为例; 的三角板放在同一平面内,直角顶点重合于点 如图,Rt△ABCRt△ADE,连接 C.点D在AB上,BAC=DEC=30*,AC BD,CE. 与DE交于点F,连接AE,若BD-1,AD一5. 2E 。 / 则行 .CF D 0 B 1 可得:△ADB E △AEC,且旋转的性 质,旋转角都相等依 然成立,如右图, 解析 由题意可得:△CBD)△CAE,且 BAD- EAC-EFB BD CB 1 引例1(2023·常德)如图1,在Rt△ABC AECA 中, ABC-90{*,AB-8,BC-6,D是AB上 ..AE-/③,CAE-CBD. 一点,且AD一2,过点D作DE/BC交AC于 ..BAE=BAC+CAE=BAC+ 681 几何变换 CBD-90*. 解析 (1)由题意可证△AOC△BOD. '$DE-5+(3)-28-2/7. .AC ①BD -1,② AMB= AOB=40^$(旋转$ *CD-/7,CE-②1 角都相等) 又 CAE= CBD=CDE=6 0*$$ ($): AOB=COD=90*,OAB= .CFDCOEFA. 引例3(2018·河南)(1)问题发现 如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB. BOD..△AOCo△BOD. $OC=OD.AOB=COD=40{*,连接AC、 -3.OAC-OBD. BD交于点M.填空: . AMB十OAC=AOB十OBD .AMB-AOB-90{ ②AMB的度数为 (2)类比探究 (3)如下左图1,可证△OCAo△ODB,设 如图2,在△OAB和△OCD中,AOB BD-x. $COD=90{ OAB= OCD=30*,连接A$C$ 则AC=③x,.:OD-1..'CD-2 交BD的延长线于点M.请判断 “B-/7..AB-2/7 之AMB的度数,并说明理由; 由勾股定理得(2十x)+(3x)=(2/7)*. (3)拓展延伸 解得x-2, 在(2)的条件下,将/OCD绕点O在平面 ..AC-23. 内旋转,AC、BD所在直线交于点M,若OD C(M) 1.OB=/7,请直接写出当点C与点M重合时 AC的长. C(M C B B & 图1 图2 如上右图2,由题意得△OAC)△OBD,设 BC-r. “B B 则BD=2+t,AC=3(2+x),又AB 图1 图2 2/7, '+3(x+2)-(2/7),解得x-1. 1 .AC-3③. 备用图 综上所述,AC的长为2③或3/③. N69 喜学知道 中考数学压轴题得高分III 2 2.托勒密定理 (1)定理:圆的内接四边形中,两对角线所包矩 形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一 1 C 组对边所包矩形的面积之和 证明:如图1,在平面中取点E使得/BAE 在四边形ABCD中,若A、B、C、D四点 CAD.ABE=ACD...ABEC△ACD. 共圆,则AC·BD=AB·CD+AD·BC. 即AC·BE-AB·CD①. D D 证明:在线段BD上取点E,使得 BAE 图1 图2 CAD. 连接DE,如图2: :ABE=ACD,'△AEB△ADC .ACAD.AEAD' 又 BAC- BAE+ CAE= DAC+$ 即AC·BE=AB·CD. CAE-DAE 当 BAE=CAD时,可得 BAC EAD. “AC BC' .ACB=ADB...△ABC△AED. 即AC·DE-AD·BC②, ①+②,得AC·BE+AC·DE=AB· CD+AD·BC. 即AC·DE=AD·BC. '.AC·BD<AC·(BE+DE)=AB· .AC·BE+AC·DE=AB·CD+ CD+AD·BC. AD·BC, 即AC·BD<AB·CD十AD·BC. 'AC·BD=AB·CD+AD·BC 当且仅当A、B、C、D四点共圆时取到等号。 引例4如图,AB-2,AC-1,连接BC,以 BC为斜边作等腰直角三角形BCD,且A、D位 于BC异侧,连接AD,则AD的最大值是 D (2)推广(托勒密不等式):对于任意凸四边形 ABCD,有AC·BD<AB·CD十AD·BC. 70 几何变换 法1:如图,过点D作DE |DA且DE= 的延长线于点O. DA:连接BE、AE:则△DCA△DBE, ① BOC的度数是 .$B$E=AC=1..'$AEAB+BE=3..'AD= ②BD:CE- 2 3/2 3/2 (2)类比探究.如图2,在△ABC和△DEC 2 中,BAC= EDC=90*,且 AB=AC,$$ /) DE=DC,连接AD、BE并延长交于 点O. ① AOB的度数是 ②AD:BE= E 法2:设BD=CD=a,则BC=/②a,由题 0 意得AC·BD十AB·CD AD·BC,即 B C ,..AD的最 2 图1 大值为# 3/2 2 图2 真题演练 3.(2023·岳阳)如图1,在△ABC中,AB= AC.点M、N分别为边AB、BC的中点,连 1.(2023·兰州改编)如图,在正方形ABCD 接MN. 中,E是边AB上一点,AHLCE于点H,点 初步尝试: M在CH上,且AH=HM,连接AM、BH. (1)MN与AC的数量关系是 ,MN 用等式表示线段CM 与BH的数量关系: 与AC的位置关系是 特例研讨: 7 (2)如图2,若 BAC=90*},BC=4、/2,先将$ △BMN绕点B 顺时针旋转a(a 为锐 E H 角),得到△BEF,当点A、E、F在同一直 线上时,AE与BC相交于点D,连接CF. C ①求/BCF的度数; 4 2.(2023·巴中改编)综合与实践 ②求CD的长; (1)提出问题.如图1,在△ABC和△ADE 深入探究: 中, BAC= DAE=90*,且 AB=$$ (3)若 BAC 90{,将△BMN绕点B顺时 AC.AD=AE,连接BD,连接CE交BD 针旋转a,得到△BEF,连接AE、CF.当 271 喜学知道 中考数学压轴题得高分II 旋转角a满足0*}<a 360{*,点C、E F 4.(2019·东营)如图1,在Rt△ABC中, 在同一直线上时,利用所提供的备用图 B-90*,AB=4,BC=2,点D、E分别是 探究 BAE与 ABF的数量关系,并说 边BC、AC的中点,连接DE.将△CDE绕点 明理由. C逆时针方向旋转,记旋转角为。 (1)问题发现 ①当a-0{时BD AE , ②当a-180{时BD AE , 2. E 图1 图2 (2)拓展探究 的大小有 V M 无变化?请仅就图2的情形给出证明 (3)问题解决 备用图 △CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三 点在同一条直线上时,求线段BD的长. C E B B 图1 图2 B 备用图 72 几何变换 5.(2023·广元)如图1.已知线段AB,AC,线 6.(2022·岳阳)如图,△ABC和△DBE的顶 段AC绕点A在直线AB上方旋转,连接 点B重合,ABC= DBE=90*,BAC$ BC.以BC为边在BC上方作RtBDC,目 BDE-30*,BC-3,BE-2 DBC-30*. (1)特例发现:如图1,当点D、E分别在AB、 (1)若/BDC=90{*}:以AB为边在AB 上方 BC上时,可以得出结论:CE AD 作Rt△BAE,且 AEB=90{},EBA= 30{*},连接DE,用等式表示线段AC与 直线AD与直线CE 的位置关系是 DE的数量关系是 (2)如图2,在(1)的条件下,若DE AB, (2)探究证明:如图2,将图1中的△DBE绕 AB-4,AC-2,求BC的长; 点B顺时针旋转,使点D恰好落在线段 (3)如图3,若 BCD=90*,AB=4,AC=2 AC上,连接EC,(1)中的结论是否仍然 当AD的值最大时,求此时tanCBA 成立?若成立,请证明;若不成立,请说明 的值. 理由: D (3)拓展运用:如图3,将图1中的△DBE绕 点B顺时针旋转a(19{*}<a 60{},连接 AD、EC,它们的延长线交于点F.当 B DF=BE时,求tan(60{一a)的值 图1 图2 4 A D D {C B C B EC B E 图1 图2 图3 , 图3 73 壹学知道 中考数学压轴题得高分II 7.(2020·河南)将正方形ABCD的边AB绕 8.(2019·威海)(1)方法选择 点A逆时针旋转至AB',记旋转角为g,连接 如图1,四边形ABCD是圆O的内接四边 BB',过点D作DE垂直于直线BB',垂足为 形,连接AC、BD,AB=BC三AC.求证; 点E,连接DB'、CE BD-AD+CD. 小颖认为可用截长法证明:在DB上截取 (1)如图1,当a一60时,△DEB的形状为 DM-AD,连接AM. 小军认为可用补短法证明:延长CD至点N. 使得DN-AD. 请你选择一种方法证明 (2)当0{}<a<360且a关90{时 (2)类比探究 ①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果 【探究1】 成立,请仅就图2的情形进行证明;如 如图2,四边形ABCD是。O的内接四 果不成立,请说明理由 边形,连接AC、BD,BC是圆O的直径, ②当以点B'、E、C、D为顶点的四边形是 AB=AC.试用等式表示线段AD、BD. __的值 平行四边形时,请直接写出 CD之间的数量关系,并证明你的结论; 【探究2】 如图3,四边形ABCD是圆(0的内接四 边形,连接AC、BD.若BC是圆O的直 D 径, ABC=30{*,则线段AD、BD、CD 之间的等量关系式是 (3)拓展猜想 如图4,四边形ABCD是圆O的内接四 B 边形,连接AC、BD.若BC是圆O的直 图1 图2 径,BC:AC:AB=a:b:c.则线段 AD、BD、CD之间的等量关系式是 C 图1 图2 B{ 图3 图4 74