精品解析：广东省广州第六中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2023级高二上学期数学期中考试 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合, 集合，那么= A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A和B,再求. 【详解】由题得A={x|x>0},B={y|y≥1}，所以. 故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用. 2. 已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先化简复数，再根据复数是纯虚数即可列式求解. 【详解】， 又是纯虚数，，解得. 故选：C. 3. “”是“方程表示椭圆”的（    ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由方程表示椭圆求出参数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 因此，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：A 4. 若直线l：ax+by＝1（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣x﹣2y＝0，则的最小值为（　　　　） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得圆心，代入直线的方程，然后利用基本不等式求得的最小值. 【详解】圆的圆心为，由于直线平分圆，故圆心在直线上，即，所以，当且仅当时等号成立. 故选：C 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用基本不等式求最小值. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式求出的值，然后利用诱导公式、二倍角公式结合弦化切的思想可求出所求代数式的值. 【详解】，解得. 因此，. 故选：A. 【点睛】本题考查两角差的正切公式、诱导公式、二倍角公式求值，解题的关键就是利用弦化切思想进行化简，同时也要注意弦化切所适用的基本类型，考查运算求解能力，属于中等题. 6. 已知函数，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用定义法证明为奇函数，化简解析式可知为增函数，然后结合函数的奇偶性与单调性解不等式即可. 【详解】因为，所以为奇函数， 又因为， 所以为上的增函数. 因为，为奇函数， 所以， 又为上的增函数，所以， 即，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 7. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定条件找到外接球球心，利用勾股定理得到半径，再求解面积即可. 【详解】 如图，取的中点，连接， 则，又，所以， 故，因为是边长为2的等边三角形， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面， 设和的外心分别为， 则分别在线段上， 且，设外接球的球心为O， 连接， 在正方形中，由勾股定理得， 由勾股定理得， 故，故B正确. 故选：B 8. 是定义在上周期为4的函数，且，则下列说法中不正确的是（ ） A. 的值域为 B. 当时， C. 图象的对称轴为直线 D. 方程恰有5个实数解 【答案】C 【解析】 【分析】画出的部分图象结合图形分析每一个选项即可. 【详解】根据周期性，画出的部分图象如上图所示，由图可知，选项A，D正确，C不正确； 根据周期为，当时，，故B正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 平面，的法向量分别为，，则 D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线的方向向量、平面法向量的性质，结合空间向量数量积的运算性质逐一判断即可. 【详解】A：，， ，则，直线与垂直，故A正确； B：，，则， 则，或，故B错误； C：，，与不共线，不成立，故C错误； D：∵点，，，，. 向量是平面的法向量，， 即，解得，故D正确. 故选：AD. 10. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理可证；B项利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积公式求解即可；CD项，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标法表示线线角与线面角，建立函数关系求解范围与最值即可进行判断. 【详解】A项，如图，连接. ，，， 且平面， 平面，平面， ，同理，， ，且平面， 直线平面，故A正确； B项，，且， 四边形是平行四边形. ，平面，平面， 平面，点P在线段上运动， 到平面的距离，即点到平面的距离，其为定值， 又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值. 不妨设正方体的棱长为1， 则， 即三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 点P在线段上运动，则可设， 则. C项，，． 所以， ， 因为，则，， ，因为异面直线与所成角为锐角或直角， 故与所成角的取值范围为，故C错误； D项， ，． 由A选项正确，可知是平面的一个法向量， ∴直线与平面所成角的正弦值为 ， ∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 11. 中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原（成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在平面上，把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.若是该双纽线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 点的横坐标的取值范围是 B. 的最大值是 C. 面积的最大值为 D. 的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据双纽线的定义可得曲线的方程为，对于A，由解不等式即可判断；对于B，，结合，求解即可判断；对于C，令，可得，进而结合二次函数的性质求解面积最大值即可判断；对于D，结合基本不等式判断即可. 【详解】设是曲线上任意一点，根据双纽线的定义得：， 整理可得曲线的方程为， 对于A：整理可得：， 由可得， 即，解得，故A错误； 对于B，， 因为，所以， 所以，即，故B正确； 对于C：， 令，则， 所以， 所以当时，， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即时取等号， ， 所以， 所以的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于读懂题意根据双纽线的定义可得曲线的方程，进而判断各选项即可求解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下冠军.下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的60%分位数为__________. 【答案】75 【解析】 【分析】先进行排序，后按照百分位数概念计算可得. 【详解】先将成绩进行排序：63，66，66，68，70，74，76，78， 80， 84. 由于，60%分位数为第6和第7个数据的平均值.即. 故答案为：75. 13. 已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对称求出点，然后根据点的坐标得到，最后根据倾斜角与斜率的变化关系得到范围. 【详解】设点，有，解得，，所以， ，，结合图可知，. 故答案为：. 14. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义可设，利用待定系数法得的坐标为，即可根据三点共线，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】令，则． 由题意可得圆是关于点，的阿波罗尼斯圆，且， 设点坐标为，则， 整理得， 由题意得该圆的方程为，即 所以，解得， 所以点的坐标为，所以， 当时，此时最小，最小值为， 因此当时，的值最小为， 故答案为：9 【点睛】关键点点睛：根据的形式，设，则，利用阿波罗尼斯圆的定义待定出点，即可利用点到直线的距离求解. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 设三角形的内角、、的对边分别为、、且． （1）求角的大小； （2）若，边上的高为，求三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用内角和为化简，利用二倍角公式化简，再利用辅助角公式化简即可求得； （2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可. 【小问1详解】 因为，，为的内角，所以， 因为，所以可化为：， 即，即， 因为，解得：，即． 【小问2详解】 由三角形面积公式得，代入得：， 所以，由余弦定理得：， 解得：或舍去，即， 所以的周长为. 16. 已知圆M：，点P是直线l：上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B． （1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标； （2）求线段AB长度的最小值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）圆M的半径，圆心，设，由PA是圆M的一条切线，得，由此能求出点P的坐标． （2）圆N方程为，圆，从而求出圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程，求出点M到直线AB的距离，由此能求出相交弦长AB的最小值． 【小问1详解】 ∵圆，∴圆M的半径，圆心， 设，∵PA是圆M的一条切线，∴， ∵切线PA的长度为， ∴， 解得或， ∴或． 【小问2详解】 ∵圆N方程为， 即，…① 圆，即，…② ②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：， 点M到直线AB的距离， 相交弦长即：， ∴当时，线段AB长度取最小值． 17. “中式八球”是受群众欢迎的台球运动项目之一.在一场“中式八球”邀请赛中，甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠军，本次邀请赛采取“双败淘汰制”.具体赛制如下： 首先，4人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”； 接下来，“胜区”的2人对阵，胜者进入最后的决赛，“败区”的2人对阵，败者直接淘汰出局，获得第四名； 紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的2人进行最后的冠亚军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名. 现假定甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立. （1）经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.若. （I）求甲连胜三场获得冠军的概率； （Ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下获得冠军的概率； （2）除“双败淘汰制”外，“中式八球”也经常采用传统的“单败淘汰制”；抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.问当p满足什么条件时，“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠? 【答案】（1）（I）；（Ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可； （2）结合对立事件概率和独立事件概率公式再作差比较计算. 【小问1详解】 记甲在第i场比赛获胜的事件为，，2，3，4，则，. 由不同对阵结果相互独立， （I）甲连胜三场获得冠军的概率为：. （Ⅱ）甲在“双败淘汰制”下获得冠军的情况有：胜胜胜、胜败胜胜、败胜胜胜， 故概率为：. 【小问2详解】 “双败淘汰制”下甲夺冠的概率为： . “单败淘汰制”下甲夺冠的概率为：. 令得，解得：. 所以当时，“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠. 18. 如图，在四棱锥中，底面是由等边三角形和等腰三角形构成，其中为棱上一点，平面． （1）求的值； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）设，连接，求得，由线面平行的性质得出，即可得出； （2）由余弦定理求出，再证明平面，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，根据面面夹角的向量公式计算即可． 【小问1详解】 如图，设，连接， 由于为等边三角形，为等腰三角形， 根据对称性可得为中点， 所以， 因为平面平面，平面平面， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 所以，又点为中点，所以， 设，由，得，解得，所以， 又，，则， 所以， 因为，，，平面， 所以平面， 如图，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 所以，则，令，得， 设平面的法向量为， 所以，则，令，得， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 19. 已知函数，. （1）求函数的最大值； （2）设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可； （2）先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可. 【小问1详解】 ， ，， 当，即时，，当，即时，， 当时，的最大值为2. 【小问2详解】 由，得， 即，， 设，则当，，， ， 设， 由题意，是当时，函数的值域的子集. ①当，即时，函数在上单调递增， 则解得. ②当，即时，函数在上单调递减， 则不等式组无解. ③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增， 则函数的最大值是与的较大者. 令，得， 令，得，均不合题意. 综上所述，实数的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为是的值域的子集，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二上学期数学期中考试 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合, 集合，那么= A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3. “”是“方程表示椭圆”的（    ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若直线l：ax+by＝1（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣x﹣2y＝0，则的最小值为（　　　　） A. B. 2 C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 是定义在上周期为4的函数，且，则下列说法中不正确的是（ ） A. 的值域为 B. 当时， C. 图象的对称轴为直线 D. 方程恰有5个实数解 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 平面，的法向量分别为，，则 D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 10. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 11. 中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原（成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在平面上，把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.若是该双纽线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 点的横坐标的取值范围是 B. 的最大值是 C. 面积的最大值为 D. 的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下冠军.下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的60%分位数为__________. 13. 已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为_________. 14. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 设三角形的内角、、的对边分别为、、且． （1）求角的大小； （2）若，边上的高为，求三角形的周长． 16. 已知圆M：，点P是直线l：上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B． （1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标； （2）求线段AB长度的最小值． 17. “中式八球”是受群众欢迎的台球运动项目之一.在一场“中式八球”邀请赛中，甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠军，本次邀请赛采取“双败淘汰制”.具体赛制如下： 首先，4人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”； 接下来，“胜区”的2人对阵，胜者进入最后的决赛，“败区”的2人对阵，败者直接淘汰出局，获得第四名； 紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的2人进行最后的冠亚军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名. 现假定甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立. （1）经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.若. （I）求甲连胜三场获得冠军的概率； （Ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下获得冠军的概率； （2）除“双败淘汰制”外，“中式八球”也经常采用传统的“单败淘汰制”；抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.问当p满足什么条件时，“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠? 18. 如图，在四棱锥中，底面是由等边三角形和等腰三角形构成，其中为棱上一点，平面． （1）求的值； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知函数，. （1）求函数的最大值； （2）设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $