2025年广西九年级中考数学一轮复习小专题过关课件：专题7二次函数中几何图形线段、周长及面积的最值

专题7　二次函数中几何图形线段、周长及面积的最值 模型1　抛物线中线段长度最大问题 特点 过抛物线上一动点,向x轴作垂线而形成的线段 图示 M是动点,MN∥y轴 结论 ①MN=yM-yN; ②用二次函数的性质求线段最值 【针对训练】 1.(2024·临夏州)在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,作直线BC. (1)求抛物线的解析式. (2)如图1,点P是线段BC上方的抛物线上一动点,过点P作PQ⊥BC,垂足为Q,请问线段PQ是否存在最大值?若存在,请求出最大值及此时点P的坐标;若不存在,请说明理由. (3)如图2,点M是直线BC上一动点,过点M作线段MN∥ OC(点N在直线BC下方),已知MN=2,若线段MN与抛物 线有交点,请直接写出点M的横坐标xM的取值范围. 【解析】(1)∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点, ∴,解得, ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. (2)存在.过点P作PN⊥AB于点N,交BC于点M. ∵B(3,0),C(0,3), ∴直线BC的解析式为y=-x+3. ∵OB=OC,∠BOC=90°,∴∠CBO=45°. ∵∠MNB=90°,∴∠PMQ=∠NMB=45°. ∵PQ⊥BC,∴△PQM是等腰直角三角形, ∴PM=PQ, ∴PM的值最大时,PQ的值最大. 设P(m,-m2+2m+3),则M(m,-m+3), ∴PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m. ∵-1<0,∴当m=时,PM的值最大,PM的最大值=-+=, ∴PQ的最大值=PM=,此时P(,). (3)设M(a,-a+3),则N(a,-a+1), 当点N在抛物线上时,-a+1=-a2+2a+3,∴a2-3a-2=0, 解得a1=,a2=. ∵线段MN与抛物线有交点, ∴满足条件的点M的横坐标的取值范围为≤xM≤0或3≤xM≤. 2.(2024·连云港)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx-1(a,b为常数,a>0). (1)若抛物线与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,求抛物线对应的函数解析式; (2)如图,当b=1时,过点C(-1,a),D(1,a+2)分别作y轴的平行线,交抛物线于点M,N,连接MN,MD.求证:MD平分∠CMN; (3)当a=1,b≤-2时,过直线y=x-1(1≤x≤3)上一点G作y轴的平行线,交抛物线于点H.若GH的最大值为4,求b的值. 【解析】(1)∵抛物线与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,∴分别将A(-1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx-1中, 得,解得, ∴抛物线对应的函数解析式为y=x2-x-1. (2)连接CN,如图, ∵b=1,∴y=ax2+x-1, 当x=-1时,y=a-2,∴M(-1,a-2). 当x=1时,y=a,∴N(1,a). ∵C(-1,a),N(1,a), ∴CN=2,CM=a-(a-2)=2,CM⊥CN. 在Rt△CMN中,CM=2,CN=2, ∴MN==2. ∵DN=a+2-a=2,∴DN=MN, ∴∠NDM=∠NMD. ∵DN∥CM,∴∠NDM=∠CMD, ∴∠NMD=∠CMD,∴MD平分∠CMN. (3)当a=1时,y=x2+bx-1,设G(m,m-1),则H(m,m2+bm-1),1≤m≤3, 令x2+bx-1=x-1,解得x1=0,x2=1-b. ∵b≤-2,∴x2=1-b≥3. 点G在H的上方,如图, 设GH=t,则t=-m2+(1-b)m, 其对称轴为m=,且≥. ①当≤≤3,即-5≤b≤-2时, 由图可知, 当m=时,t取得最大值=4, 解得b=-3或b=5(舍去), ②当>3时,得b<-5,由图可知, 当m=3时,t取得最大值-9+3-3b=4, 解得b=-(舍去), 综上所述,b的值为-3. 模型2　抛物线中图形的周长最大问题 特点 过抛物线上一动点,向x轴作垂线形成的线段,进而形成的直角三角形 图示 M是动点,MN∥y轴,ME⊥AC 结论 ①△MNE∽△ACO→△MNE的三边之比固定; ②MN=yM-yN,△MNE的周长最大问题转化为MN最长问题 【针对训练】 3.(2024·宜宾)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C(0, -4),其顶点为D. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标. (2)在y轴上是否存在一点M,使得△BDM的周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. (3)若点E在以点P(3,0)为圆心,1为半径的☉P上,连接AE,以AE为 边在AE的下方作等边三角形AEF,连接BF.求BF的取值范围. 【解析】(1)把A(-1,0),C(0,-4)代入y=x2+bx+c得:,解得, ∴抛物线的解析式为y=x2-3x-4. ∵y=x2-3x-4=(x-)2-, ∴抛物线顶点D的坐标为(,-). (2)在y轴上存在一点M,使得△BDM的周长最小.作D(,-)关于y轴的对称点 D'(-,-),连接BD'交y轴于M,如图: 在y=x2-3x-4中,令y=0得0=x2-3x-4,解得x=4或x=-1,∴B(4,0), ∴BD==, ∴△BDM的周长最小,只需DM+BM最小. ∵DM=D'M, ∴DM+BM=D'M+BM, ∴当B,M,D'共线时,DM+BM最小,最小值为BD'的长,此时△BDM的周长最小. 由B(4,0),D'(-,-)得直线BD'的解析式为y=x-, 令x=0得y=-, ∴M的坐标为(0,-). (3)以AP为边,在AP下方作等边三角形APQ,连接PE,QF,BQ,如图: 由A(-1,0),P(3,0),△APQ是等边三角形,可得Q点坐标为(1,-2). ∵△AEF,△APQ是等边三角形, ∴AE=AF,AP=AQ,∠EAF=∠PAQ=60°, ∴∠EAP=∠FAQ, ∴△EAP≌△FAQ(SAS), ∴PE=QF=1, ∴F的轨迹是以Q(1,-2)为圆心,1为半径的圆. ∵B(4,0), ∴BQ=. 当F在线段QB上时,BF最小,此时BF=BQ-QF=-1, 当Q在线段BF上时,BF最大,此时BF=BQ+QF=+1, ∴BF的取值范围是-1≤BF≤+1. 模型3　抛物线中线段的比值最大问题 特点 过抛物线上一动点,与x轴上一点相连,形成的两线段的比 图示 M是动点,作MN∥y轴,得△MND∽△OCD 结论 ①△MND∽△OCD→=; ②OC是定值,故MN最大时,最大 【针对训练】 4.已知:抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)如图,点P为直线BC上方抛物线上任意一点,连接PC,PB,PO,PO交直线BC于点E,设=k,求当k取最大值时点P的坐标,并求此时k的值. 【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点, ∴设y=a(x+1)(x-3),将C(0,3)代入, 得a(0+1)(0-3)=3,解得a=-1, ∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3, ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3; (2)如图,过点P作PH∥y轴交直线BC于点H, ∴△PEH∽△OEC,∴=, ∵=k,OC=3,∴k=PH. 设直线BC的解析式为y=mx+n, ∵B(3,0),C(0,3),∴, 解得, ∴直线BC的解析式为y=-x+3. 设点P(t,-t2+2t+3),则H(t,-t+3), ∴PH=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t, ∴k=(-t2+3t)=-(t-)2+, ∵-<0,∴当t=时,k取得最大值,此时,P(,). 模型4　抛物线中三角形面积最大问题 特点 过抛物线上一动点,与另外两个定点相连形成的三角形 图示 M是动点,作MN∥y轴,得S△MAC=MN·AO 结论 MN最大时,S△MAC最大 三角形面 积转化求 解法 S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD S△ABC=×BD×(h1+h2) PP'∥BC,则S△PBC=S△P'BC 【针对训练】 5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+·x+(m>0)与x轴交于A(-1,0), B(m,0) 两点,与y轴交于点C,连接BC. (1)若OC=2OA,求抛物线对应的函数解析式; (2)在(1)的条件下,点P位于直线BC上方的抛物线上,当△PBC面积最大时,求点P的坐标. 【解析】(1)∵A的坐标为(-1,0), ∴OA=1,∵OC=2OA,∴OC=2,∴C的坐标为(0,2),将点C代入抛物线y= -x2+·x+(m>0),得=2,即m=4, ∴抛物线对应的函数表达式为y=-x2+x+2; (2)如图,过P作PH∥y轴,交BC于H, 由(1)知,抛物线对应的函数表达式为y=-x2+x+2,m=4, ∴B,C坐标分别为B(4,0),C(0,2), 设直线BC的表达式为y=kx+n, 则, 解得, ∴直线BC的表达式为y=-x+2. 设点P的坐标为(t,-t2+t+2)(0<t<4),则H(t,-t+2), ∴PH=-t2+t+2-(-t+2) =-t2+2t=-(t2-4t)=-(t-2)2+2, ∵S△PBC=S△CPH+S△BPH, ∴S△PBC=PH·|xB-xC| =[-(t-2)2+2]×4=-(t-2)2+4, ∴当t=2时,△PBC的面积最大,此时点P(2,3). 模型5　抛物线中线段和的最值问题 特点 过抛物线上一动点,形成的两线段的和 图示 P是动点,作PE∥y轴,PF∥x轴,△PDF∽△OCB 结论 由△PDF∽△OCB 得PD∶PF为定值,PF可用PD表示,PE+PF最大即 转化为PE与PD最大问题 【针对训练】 6.(2024·新疆)如图,抛物线y=x2-4x+6与y轴交于点A,与x轴交于点B,线段CD在抛 物线的对称轴上移动(点C在点D下方),且CD=3.当AD+BC的值最小时,点C的坐标 为_________.  　(4,1)　 7.(2024·天津)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a>0)的顶点为P,且2a+b=0,对称轴与x轴相交于点D,点M(m,1)在抛物线上,m>1,O为坐标原点. (1)当a=1,c=-1时,求该抛物线顶点P的坐标; (2)当OM=OP=时,求a的值; (3)若N是抛物线上的点,且点N在第四象限,∠MDN=90°,DM=DN,点E在线段MN上,点F在线段DN上,NE+NF=DM,当DE+MF取得最小值时,求a的值. 【解析】(1)∵2a+b=0,a=1, ∴b=-2a=-2. 又∵c=-1, ∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-1. ∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2, ∴该抛物线顶点P的坐标为(1,-2). (2)如图,过点M(m,1)作MH⊥x轴,垂足为H,m>1, 则∠MHO=90°,HM=1,OH=m, 在Rt△MOH中,由HM2+OH2=OM2,OM=,得1+m2=()2, 解得m1=,m2=-(舍), ∴点M的坐标为(,1). ∵2a+b=0,即-=1,∴抛物线y=ax2-2ax+c的对称轴为直线x=1. ∵对称轴与x轴相交于点D, ∴OD=1,∠ODP=90°. 在Rt△OPD中,由OD2+PD2=OP2,OP=,得1+PD2=()2, 解得PD=(负值已舍去). 由a>0,得该抛物线顶点P的坐标为(1,-), ∴该抛物线的解析式为y=a(x-1)2-. ∵点M(,1)在该抛物线上, ∴1=a(-1)2-,∴a=10. (3)过点M(m,1)作MH⊥x轴,垂足为H,m>1,则∠MHO=90°,HM=1,OH=m, ∴DH=OH-OD=m-1. 在Rt△DMH中,DM2=DH2+HM2=(m-1)2+1, 如图,过点N作NK⊥x轴,垂足为K,则∠DKN=90°, ∵∠MDN=90°,DM=DN, ∴∠DNK=90°-∠NDK=∠MDH. 在△NDK和△DMH中,, ∴△NDK≌△DMH(AAS), ∴点N的坐标为(2,1-m). 在Rt△DMN中,∠DMN=∠DNM=45°, ∴MN2=DM2+DN2=2DM2,即MN=DM. ∵NE+NF=DM,∴ME=NF. 在△DMN外,作∠DNG=45°,且NG=DM,连接GF, 得∠MNG=∠DNM+∠DNG=90°, ∴△GNF≌△DME(SAS), ∴GF=DE,∴DE+MF=GF+MF≥GM, 当满足条件的点F落在线段GM上时,DE+MF取得最小值,即GM=. 在Rt△GMN中,GM 2=NG2+MN2=3DM2,∴()2=3DM 2, ∴DM 2=5,∴(m-1)2+1=5, 解得m1=3,m2=-1(舍), ∴点M的坐标为(3,1),点N的坐标为(2,-2). ∵点M(3,1),N(2,-2)都在抛物线y=ax2-2ax+c上,∴1=9a-6a+c,-2=4a-4a+c,∴a=1. $$