2025年广西九年级中考数学一轮复习小专题过关课件：专题5分段函数的实际应用问题

专题5　分段函数的实际应用问题 类型1　分段函数中的行程问题 【思维切入】 1.分段函数中的行程问题多为折线类图象,涉及一次函数的求解,及每段线都对应相应的一次函数. 2.注意各个拐点的坐标,求出相应一次函数解析式是求解关键. 【针对训练】 1.(2024·天津)已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上,画社离家0.6 km,文化广场离家1.5 km.张华从家出发,先匀速骑行了4 min到画社,在画社停留了15 min,之后匀速骑行了6 min到文化广场,在文化广场停留6 min后,再匀速步行了20 min返回家.如图,图中x表示时间,y表示离家的距离.图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系. 请根据相关信息,回答下列问题: (Ⅰ)①填表: ②填空:张华从文化广场返回家的速度为　　　　km/min;  ③当0≤x≤25时,请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数解析式; (Ⅱ)当张华离开家8 min时,他的爸爸也从家出发匀速步行了20 min直接到达了文化广场,那么从画社到文化广场的途中(0.6<y<1.5)两人相遇时离家的距离是多少?(直接写出结果即可) 张华离开家的时间/min 1 4 13 30 张华离家的距离/km 　  0.6 　  　  【解析】(Ⅰ)①由题中图象可填表: 张华离开家的时间/min 1 4 13 30 张华离家的距离/km 0.15 0.6 0.6 1.5 ②由题中图象可知,张华从文化广场返回家的速度为=0.075(km/min). 答案:0.075 ③张华从家到画社的速度为=0.15(km/min), 张华从画社到文化广场的速度为=0.15(km/min), 当0≤x≤4时,y=0.15x; 当4<x≤19时,y=0.6; 当19<x≤25时,y=0.15(x-19)+0.6=0.15x-2.25, ∴当0≤x≤25时,y与x的函数解析式为 y=; (Ⅱ)爸爸的速度为=0.075(km/min), 设张华出发m分钟时和爸爸相遇, 根据题意得:0.15m-2.25=0.075(m-8), 解得m=22, ∴0.15×22-2.25=1.05(km), 答:从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离为1.05 km. 2.(2024·浙江)小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼.小明先跑,10分钟后小丽才开始跑,小丽跑步时中间休息了两次.跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分.小明与小丽的跑步相关信息如表所示,跑步累计里程s(米)与小明跑步时间t(分)的函数关系如图所示.   时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 16:00~16:50 不分段 A档 4 000米 小 丽 16:10~16:50 第一段 B档 1 800米 第一次休息 第二段 B档 1 200米 第二次休息 第三段 C档 1 600米 (1)求A,B,C各档速度(单位:米/分); (2)求小丽两次休息时间的总和(单位:分); (3)小丽第二次休息后,在a分钟时两人跑步累计里程相等,求a的值. 【解析】(1)由题意可知,A档速度为4 000÷50=80(米/分),B档速度为80+40= 120(米/分), C档速度为120+40=160(米/分). (2)小丽第一段跑步时间为1 800÷120=15(分), 小丽第二段跑步时间为1 200÷120=10(分), 小丽第三段跑步时间为1 600÷160=10(分), 则小丽两次休息时间的总和为50-10-15-10-10=5(分). (3)∵小丽第二次休息后,在a分钟时两人跑步累计里程相等, ∴此时小丽在跑第三段,所跑时间为a-10-15-10-5=(a-40)分, ∴80a=3 000+160(a-40),∴a=42.5. 类型2　分段函数中的销售类问题 【思维切入】 1.此类问题要弄清或确定销售数量和售价的变化关系. 2.根据利润=售价-进价,构建函数模型,再结合函数性质求解销售问题中的最优化问题. 【针对训练】 3.在某火车站托运物品时,不超过1 kg的物品需付款2元,以后每增加1 kg(不足 1 kg按1 kg计)需增加托运费0.5元.则托运x kg(x为大于1的整数)物品的费用 为______________元.  　(0.5x+1.5)　 4.为了振兴乡村经济,我市某镇鼓励广大农户种植山药,并精加工成甲、乙两种产品.某经销商购进甲、乙两种产品,甲种产品进价为8元/kg;乙种产品的进货总金额y(单位:元)与乙种产品进货量x(单位:kg)之间的关系如图所示.已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg. (1)求出0≤x≤2 000和x>2 000时,y与x之间的函数关系式; (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6 000 kg,并能全部售出.其中乙种产品的进货量不低于1 600 kg,且不高于4 000 kg,设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元(利润=销售额-成本),请求出w(单位:元)与乙种产品进货量x(单位:kg)之间的函数关系式,并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案; (3)为回馈广大客户,该经销商决定对两种产品进行让利销售.在(2)中获得最大利润的进货方案下,甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg,全部售出后所获总利润不低于15 000元,求a的最大值. 【解析】(1)当0≤x≤2 000时, 设y=k'x,根据题意得,2 000k'=30 000, 解得k'=15,∴y=15x; 当x>2 000时,设y=kx+b, 根据题意可得,, 解得,∴y=13x+4 000. ∴y=. (2)根据题意可知,购进甲种产品(6 000-x) kg,1 600≤x≤4 000, ∴当1 600≤x≤2 000时, w=(12-8)×(6 000-x)+(18-15)·x =-x+24 000, ∵-1<0,∴当x=1 600时,w取得最大值,最大值为-1×1 600+24 000=22 400(元); 当2 000<x≤4 000时, w=(12-8)×(6 000-x)+18x-(13x+4 000)=x+20 000, ∵1>0,∴当x=4 000时,w取得最大值,最大值为4 000+20 000=24 000(元)> 22 400元, 综上,w=; 当购进甲产品2 000千克,乙产品4 000千克时,获得最大利润,为24 000元. (3)当x=4 000时,w取得最大值,根据题意可知,降价后, w=(12-8-a)×(6 000-4 000)+(18-2a)×4 000-(13×4 000+4 000)=-10 000a+24 000, ∴-10 000a+24 000≥15 000, 解得a≤0.9.∴a的最大值为0.9. 5.由于乡村振兴的措施科学得当,小颖家今年种植的草莓喜获丰收,采摘上市16天全部销售完.小颖对销售情况进行统计后发现,在该草莓上市第x天(x取整数)时,日销售量y(单位:千克)与x之间的函数关系式为y=,草莓价格m(单位:元/千克)与x之间的函数关系如图所示. (1)求第14天小颖家草莓的日销售量; (2)求当4≤x≤12时,草莓价格m与x之间的函数关系式; (3)试比较第8天与第10天的销售金额哪天多? 【解析】(1)∵当10<x≤16时,y=-20x+320,∴当x=14时,y=-20×14+320=40, ∴第14天小颖家草莓的日销售量是40千克. (2)当4≤x≤12时,设草莓价格m与x之间的函数关系式为m=kx+b, ∵点(4,24),(12,16)在m=kx+b的图象上, ∴,解得, ∴函数关系式为m=-x+28. (3)当0≤x≤10时,y=12x, ∴当x=8时,y=12×8=96, 当x=10时,y=12×10=120; 当4≤x≤12时,m=-x+28, ∴当x=8时,m=-8+28=20, 当x=10时,m=-10+28=18, ∴第8天的销售金额为96×20=1 920(元), 第10天的销售金额为120×18=2 160(元), ∵2 160>1 920,∴第10天的销售金额多. 类型3　分段函数的其他应用 【思维切入】 对应自变量的不同的取值范围,存在不同的函数图象,由此形成的分段函数,求出相应函数解析式是解决问题的关键. 【针对训练】 6.(2024·广元)如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,点P从点A出发沿A→C→B以1 cm/s 的速度匀速运动至点B,图②是点P运动时,△ABP的面积y(cm2)随时间x(s)变化的 函数图象,则该三角形的斜边AB的长为( ) A.5 B.7 C.3 D.2 A A.(4,2) B.(4,4) C.(4,2) D.(4,5) 7.(2023·临夏州)如图1,正方形ABCD的边长为4,E为CD边的中点.动点P从点A出 发沿AB→BC匀速运动,运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,线段PE的长为 y,y与x的函数图象如图2所示,则点M的坐标为( ) C 8.(2024·南宁模拟)如图1,在某个盛有部分水的容器内放一个小水杯,现在匀速持 续地向容器内注水,小水杯内水的高度y(cm)和注水时间t(s)之间的关系如图2所 示,则从开始注水至把小水杯注满水需要的时间为________秒.  　15　 9.(2024·柳州一模)综合与实践: 【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”,资料显示,一般饮用低度白酒100毫升后,血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似用如图所示的图象表示.国家规定,人体血液中的酒精含量大于或等于20(毫克/百毫升)时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路. 【实践探究】(1)求部分曲线BC的函数解析式; 【问题解决】(2)参照上述数学模型,假设某人晚上20:00喝 完100毫升低度白酒,则此人第二天早上9:00能否驾车出行? 请说明理由. 【解析】(1)设直线OA的函数解析式为y=kx,则k=20, ∴k=60, ∴直线OA的函数解析式为y=60x, ∴当x=时,y=90. 可设部分曲线BC的函数解析式为y=, 由题中图象可知,当x=3时,y=90, ∴m=270, ∴部分曲线BC的函数解析式为y=; (2)在y=中,令y<20, 可得<20, 解得x>13.5. ∵晚上20:00到第二天早上9:00的时间间隔为9+4=13(时),13<13.5, ∴此人晚上20:00喝完100毫升低度白酒,在第二天早上9:00不能驾车出行. $$