5.5.2简单的三角恒等变换综合练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.2简单的三角恒等变换综合练习 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知函数，则下面选项中正确的是（　　） A．它的最小值为﹣1 B．它的最大值为2 C．它的图象关于点对称 D．它的图象关于直线对称 【分析】利用二倍角公式化简f（x）的解析式，再结合正弦函数的性质求解． 【解答】解：＝＝sin（2x+）+， 所以f（x）的最小值为﹣1+＝﹣，最大值为1+＝， 故A错误，B错误； 当x＝﹣时，2x+＝0， 而（0，0）是函数y＝sinx的对称中心， 又f（﹣）＝sin0+＝， 所以它的图象关于点（﹣，）对称，故C错误； 当x＝时，2x+＝， 而直线x＝是函数y＝sinx的对称轴， 所以直线是f（x）的对称轴，故D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，考查了正弦函数的对称性，属于基础题． 2．已知，则＝（　　） A．或7 B．或 C．7或﹣7 D．﹣7或 【分析】根据辅助角公式可求，利用同角三角函数基本关系式即可求的值． 【解答】解；因为， 故， 故， 故， 故． 故选：B． 【点评】本题考查了辅助角公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题． 3．“α＝+kπ（k∈Z）”是“＝+1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条伴 D．既不充分也不必要条件 【分析】由＝+1求出α的范围，再由充要条件的判断即可求得． 【解答】解：因为＝+1， 所以， 所以， 即， 所以，或tanα＝1， 所以（k∈Z），或（k∈Z）， 所以“α＝+kπ（k∈Z）”是“＝+1”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查同角三角函数的基本关系和充要条件的判断，属于中档题． 4．已知函数的部分图象如图所示，下列不正确的个数有（　　） ①函数f（x）的图象关于点中心对称 ②函数f（x）的单调增区间为（k∈Z） ③函数f（x）的图象可由y＝sinωx的图象向左平移个单位长度得到 ④函数g（x）＝f（tωx）在（0，π）上有2个零点，则实数t的取值范围为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据图象求出ω的值，然后利用正弦函数性质对各个命题进行验证，即可得到本题的答案． 【解答】解：根据题意，可得， 由图象知函数的最小正周期为，可得，即． 对于①，，因此函数f（x）的图象关于点中心对称，故①正确； 对于②，由，解得，k∈Z， 所以函数f（x）的单调增区间为（k∈Z），故②正确； 对于③，， 因此把y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，可得f（x）的图象，③正确； 对于④，由题意，当0＜x＜π时， （i）若t＞0，则， g（x）在（0，π）上有2个零点，则，解得； （ii）若t＜0，， g（x）在（0，π）上有2个零点，则，解得． 综上所述，实数t的取值范围是或，故④错误． 综上所述，不正确的命题为④，共1个． 故选：B． 【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质、函数的零点及其应用等知识，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中档题． 5．函数的最小正周期是（　　） A． B． C．π D．2π 【分析】利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期． 【解答】解：由余弦和角公式、倍角公式、降幂公式可得 ＝ ＝ ＝ ＝， 所以f（x）的最小正周期为． 故选：C． 【点评】本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的周期公式的应用，考查了转化思想和函数思想，属于基础题． 6．下列各式的值等于的是（　　） A．sin15°cos15° B．tan30° C． D．cos230°﹣sin230° 【分析】结合二倍角公式检验选项AD，结合特殊角三角函数值检验选项B，结合同角平方关系检验选项C． 【解答】解：sin15°cos15°＝sin30°＝，A不符合题意； tan30°＝，B不符合题意； sin2+cos2＝1，C不符合题意； cos230°﹣sin230°＝cos60°＝，D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系及特殊角的三角函数值的求解，属于基础题． 7．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先利用两角和的正切公式求tanθ，再利用三角函数恒等变化，转化为关于sinθ，cosθ的齐次分式，转化为正切表示，即可求解． 【解答】解已知若， 则， 即tanθ＝﹣2， 则 ＝． 故选：C． 【点评】本题考查了两角和的正切公式，重点考查了三角函数恒等变换，属中档题． 8．已知函数，则下列结论不正确的是（　　） A．f（x）的最小正周期为 B．f（x）的图象关于点对称 C．若f（x+t）是偶函数，则，k∈Z D．f（x）在区间上的值域为[0，1] 【分析】结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断． 【解答】解： ＝sin4x+cos4x+ ＝sin（4x+）+， 则T＝π，A正确； 因为f（）＝，即函数f（x）的图象关于（，）对称，B正确； 若f（x+t）＝sin（4x+4t+）+是偶函数，则4t+＝，k∈Z， 所以，k∈Z，C正确； 当0时，，﹣sin（4x+）≤1， 所以0，D错误． 故选：D． 【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性，周期性，奇偶性，单调性的综合应用，属于中档题． 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） （多选）9．已知，且，则（　　） A．f（x）的最小正周期是π B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．若y＝f（tx）（t＞0）在（0，π）上有且仅有两个零点，则 【分析】根据题意，求得，结合最小正周期的计算公式，可得判定A正确；由函数，可判定B正确；由，结合三角函数的性质，可得判定C不正确；由，根据x∈（0，π），得出不等 式，可判定D正确． 【解答】解：由函数f（x）＝2sinωxcosωx+2cos2ωx﹣1＝sin2ωx+cos2ωx＝2sin（2ωx+）， 因为，可得，解得，k∈Z，所以ω＝1+6k，k∈Z， 因为0＜ω＜2，可得ω＝1，所以， 对于A中，由，可得f（x）的最小正周期为，所以A正确； 对于B中，由y＝f（x+）＝2sin[2（x+）+]＝2sin（2x+）＝2cos2x， 此时函数是偶函数，所以B正确； 对于C中，由，令4x＝kπ，k∈Z，解得，k∈Z， 可得对称轴的方程为，k∈Z，所以不是的对称轴，所以C不正确； 对于D中，由函数，当x∈（0，π），可得tx∈（0，tπ），则， 要使得y＝f（tx）在（0，π）上有且仅有两个零点，则满足，解得，所以D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题． （多选）10．已知函数f（x）＝sinx•sin2x，x∈[0，2π]．下列有关f（x）的说法中，正确的是（　　） A．不等式f（x）＞0的解集为{x|0＜x＜或＜x＜π} B．f（x）在区间[0，2π]上有五个零点 C．f（x）的图象关于直线x＝π对称 D．f（x）的最大值为 【分析】由f（x）＝sinx•sin2x＝2sin2x•cosx，A中，f（x）＞0，即cosx＞0，解得x的范围，即可判断出A的真假；B中，f（x）＝0，则sinx＝0或cosx＝0，求出x的值，可判断出B的真假；C中，由条件可得f（2π﹣x）＝f（x），可判断出C的真假；D中，f（x）＝2cosx•（1﹣cos2x），设cosx＝t∈[﹣1，1]，求出函数y＝﹣2t3+2t的单调区间可得其最值，从而可判断出D的真假． 【解答】解：由f（x）＝sinx•sin2x＝2sin2x•cosx， A中，f（x）＞0，即cosx＞0，又x∈[0，2π]，则或， 即f（x）＞0的解集为：{x|或}，所以A不正确； B中，f（x）＝0，则sinx＝0或cosx＝0，又x∈[0，2π]， 所以，π，，2π，共有5个零点，所以B正确； C中，因为f（2π﹣x）＝2sin2（2π﹣x）•cos（2π﹣x）＝2sin2x•cosx＝f（x）， 所以f（2π﹣x）＝f（x）， 即f（x）的图象关于直线x＝π对称，所以C正确； D中，因为f（x）＝2sin2x•cosx＝2cosx•（1﹣cos2x）＝﹣2cos3x+2cosx， 设cosx＝t∈[﹣1，1]，则y＝﹣2t3+2t，则y'＝﹣6t2+2， 由y'＝﹣6t2+2＞0解得， 由y'＝﹣6t2+2＜0，解得， 所以y＝﹣2t3+2t在上单调递减，在上单调递增，在上单阔递减， 当时，函数y有最大值，且最大值为，所以D正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查用导数的性质判断函数的单调性及三角函数的求值问题，属于中档题． （多选）11．函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1，则下列说法中正确的有（　　） A． B．f（x）的一条对称轴方程为 C．f（x）的一个对称中心为 D．f（x）的单调递增区间为，k∈Z 【分析】对于A：根据三角恒等变换分析判断即可； 对于B，C：代入检验，结合对称性的性质分析判断； 对于D：以为整体，结合正弦函数的单调性分析求解． 【解答】解：对于选项A：，故A正确； 对于选项B：因为为最小值， 所以f（x）的一条对称轴方程为，故B正确； 对于选项C：因为为最大值， 所以不是f（x）的对称中心，故C错误； 对于选项D：令， 解得， 所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z，故D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查了三角恒等变换、正弦函数的性质及整体思想，属于基础题． 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．函数f（x）＝cos2x+sinxcosx+1的最小正周期是 　π　，f（x）在（0，π）上的单调递减区间是 　[]　． 【分析】先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期及单调性即可求解． 【解答】解： ， ∴T＝π， 令，k∈Z， 则 ，k∈Z， 又∵x∈（0，π）， ∴． 故答案为：π；[]． 【点评】本题主要考查了三角函数性质的应用，属于基础题． 13．如果tanα，tanβ是方程x2﹣3x﹣3＝0的两根，则＝　　． 【分析】tanα，tanβ是方程x2﹣3x﹣3＝0的两根，利用韦达定理推出tanα+tanβ＝3，tanαtanβ＝﹣3，利用两角和与差的正弦函数、余弦函数化简，利用齐次式化为，即可求出表达式的值． 【解答】解：因为tanα，tanβ是方程x2﹣3x﹣3＝0的两根，所以：tanα+tanβ＝3，tanαtanβ＝﹣3， 则＝． 故答案为： 【点评】本题是基础题，考查韦达定理，两角和与差的三角函数，以及三角函数的恒等变换，整体消元的思想，考查计算能力，常考题． 14．函数在[0，π]上的最大值是 　2　． 【分析】先用半角公式，降幂公式及辅助角公式进行化简，然后再结合正弦函数的图象求最大值． 【解答】解：， 因为x∈[0，π]， 所以， 所以， 所以， 所以f（x）在[0，π]上的最大值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于基础题． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知函数f（x）＝ωx﹣1（其中常数ω＞0）． （1）若函数f（x）的最小正周期是，求ω的值及函数f（x）的单调递增区间； （2）若ω＝1，，求函数f（x）的值域及零点． 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，结合三角函数的性质计算即可； （2）利用（1）化简得函数解析式，利用整体思想及三角函数的性质求值域与零点即可． 【解答】解：（1）由， 由题意可得，，即ω＝2，， 令，解得， 所以函数f（x）的单调递增区间为； （2）若ω＝1，则， 则时，有，则， 故f（x）∈[﹣1，2]，函数值域为[﹣1，2]， 而在上，只有sinπ＝0，即， 即函数的零点为． 【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题． 16．（1）设，求的值； （2）已知cos（75°+α）＝，且﹣180°＜α＜﹣90°，求cos（15°﹣α）的值． 【分析】（1）将分子的1化成sin2α+cos2α，然后将分子、分母都除以cos2α，得到关于tanα的分式，代入题中数据即可得到所求式子的值． （2）根据α的取值范围，利用同角三角函数的关系算出sin（75°+α）＝，再由互为余角的两角的诱导公式加以计算，可得cos（15°﹣α）的值． 【解答】解：（1）∵1＝sin2α+cos2α，． ∴原式＝＝＝＝； （2）∵由﹣180°＜α＜﹣90°，得﹣105°＜α+75°＜﹣15°， ∴sin（75°+α）＝， ∵cos（15°﹣α）＝cos[90°﹣（75°+α）]＝sin（75°+α） ∴cos（15°﹣α）＝． 【点评】本题求两个三角函数式的值，着重考查了同角三角函数的基本关系、任意角的三角函数与诱导公式等知识，属于基础题． 17．已知函数． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期和f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）当时，求函数f（x）的最小值及取得最小值时x的值． 【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的单调性进行求解即可． （Ⅱ）求出角的范围，利用三角函数的最值进行求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2x+＝sin2x﹣2×+＝sin2x﹣cos2x＝2（sin2x﹣cos2x）＝2sin（2x﹣）， 则函数f（x）的最小正周期T＝＝π， 由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z， 得2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z， 即kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z， （Ⅱ）当时，2x∈[π，2π]，则2x﹣∈[，]， 则当2x﹣＝，即2x＝，即x＝时，函数f（x）取得最小值，最小值f（x）＝2sin＝﹣2． 【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的单调性和最值性是解决本题的关键，是中档题． 18．已知函数． （1）求f（x）的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的x值； （2）讨论f（x）在上的单调性． 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得周期与最值； （2）利用整体代入法可得函数的单调区间． 【解答】解：（1）f（x）＝sin（）sinx﹣ ＝ ＝ ＝ ＝， 所以f（x）的最小正周期T＝π， 当时，，k∈Z，即，k∈Z，f（x）取最大值为； （2）当时，有， 令，则时，f（x）单调递增， 时，即时，f（x）单调递减， 综上所述，f（x）单调增区间为，单调减区间为． 【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题． 19．已知，，，， （1）求的值； （2）求角β﹣α的值． 【分析】（1）由二倍角公式，同角关系式对已知条件变形求得tanα，再利用二倍角公式、诱导公式化简，利用商数关系将所求式子化为关于tanα的式子，再代入计算可得； （2）确定α+β的范围，求得sin（α+β），然后利用（a+β）﹣2α＝β﹣α，结合两角差的正弦公式求得sin（β﹣α），结合角的范围得出角的大小． 【解答】解：（1）因为，所以，可得， 解得tanα＝2或，由于，所以tanα＝2． 所以 ＝＝﹣11． （2）由，知，因， 则， 由sin（β﹣α）＝sin[（α+β）﹣2α]＝sin（α+β）cos2α﹣cos（α+β）sin2α＝， 又因为，所以． 【点评】本题考查三角函数的恒等变换和诱导公式的应用，属于中档题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.5.2简单的三角恒等变换综合练习 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知函数，则下面选项中正确的是（　　） A．它的最小值为﹣1 B．它的最大值为2 C．它的图象关于点对称 D．它的图象关于直线对称 2．已知，则＝（　　） A．或7 B．或 C．7或﹣7 D．﹣7或 3．“α＝+kπ（k∈Z）”是“＝+1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条伴 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数的部分图象如图所示，下列不正确的个数有（　　） ①函数f（x）的图象关于点中心对称 ②函数f（x）的单调增区间为（k∈Z） ③函数f（x）的图象可由y＝sinωx的图象向左平移个单位长度得到 ④函数g（x）＝f（tωx）在（0，π）上有2个零点，则实数t的取值范围为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．函数的最小正周期是（　　） A． B． C．π D．2π 6．下列各式的值等于的是（　　） A．sin15°cos15° B．tan30° C． D．cos230°﹣sin230° 7．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知函数，则下列结论不正确的是（　　） A．f（x）的最小正周期为 B．f（x）的图象关于点对称 C．若f（x+t）是偶函数，则，k∈Z D．f（x）在区间上的值域为[0，1] 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） （多选）9．已知，且，则（　　） A．f（x）的最小正周期是π B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．若y＝f（tx）（t＞0）在（0，π）上有且仅有两个零点，则 （多选）10．已知函数f（x）＝sinx•sin2x，x∈[0，2π]．下列有关f（x）的说法中，正确的是（　　） A．不等式f（x）＞0的解集为{x|0＜x＜或＜x＜π} B．f（x）在区间[0，2π]上有五个零点 C．f（x）的图象关于直线x＝π对称 D．f（x）的最大值为 （多选）11．函数f（x）＝2sinxcosx+2cos2x﹣1，则下列说法中正确的有（　　） A． B．f（x）的一条对称轴方程为 C．f（x）的一个对称中心为 D．f（x）的单调递增区间为，k∈Z 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．函数f（x）＝cos2x+sinxcosx+1的最小正周期是 　 　，f（x）在（0，π）上的单调递减区间是 　 　． 13．如果tanα，tanβ是方程x2﹣3x﹣3＝0的两根，则＝　 　． 14．函数在[0，π]上的最大值是 　 　． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知函数f（x）＝ωx﹣1（其中常数ω＞0）． （1）若函数f（x）的最小正周期是，求ω的值及函数f（x）的单调递增区间； （2）若ω＝1，，求函数f（x）的值域及零点． 16．（1）设，求的值； （2）已知cos（75°+α）＝，且﹣180°＜α＜﹣90°，求cos（15°﹣α）的值． 17．已知函数． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期和f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）当时，求函数f（x）的最小值及取得最小值时x的值． 18．已知函数． （1）求f（x）的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的x值； （2）讨论f（x）在上的单调性． 19．已知，，，， （1）求的值； （2）求角β﹣α的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$