精品解析：福建省泉州市四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校四校联盟 2024—2025学年上学期期中考联考 高二年段数学学科试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：周瑞明 审核人：张国川 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】由直线倾斜角的定义，即可得到结果. 【详解】∵直线与x轴垂直，∴的倾斜角为． 故选：B 2. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 3. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化为椭圆标准方程，再根据椭圆方程性质列不等式组计算即可求参. 【详解】因为方程表示椭圆， 所以且与不相等， 所以. 故选：C. 4. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系以及二元二次方程表示圆的条件可得不等式，解不等式即可． 【详解】由已知圆，则， 又点在圆的外部， 则， 即，解得， 故选：C． 5. 若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设可得直线恒过定点，曲线表示以为圆心，1为半径的圆的右半部分，进而结合图象及直线与圆的位置关系求解即可. 【详解】由直线，恒过定点， 曲线，即， 该曲线表示以为圆心，1为半径的圆的右半部分，如图， 当直线与该半圆相切时，，且，解得； 当直线过点时，有，解得， 结合图象可知，要使直线与该半圆至少有一个公共点， 则，即实数的取值范围是. 故选：B 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则是钝角； B. 直线l的方向向量，平面的法向量，则 C. 直线l经过点，，则到的距离为 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由，得到是钝角或平角判断；对于B，由与是否共线判断；对于C，易得，从而即为所求；对于D，假设三个向量共面，由是否成立判断. 【详解】对于A，若，则是钝角或平角，故A错误； 对于B，因为直线的方向向量，平面的法向量， 则，故与不共线，即不成立，故B错误； 对于C，因为，，， 则，，， 故到的距离为，故C错误； 对于D，假设三个向量共面，则， 所以，又是空间的一组基底， 所以，无解，即不共面， 所以也是空间的一组基底，故D正确； 故选：D 7. 已知直线过点，且与圆交于，两点，当面积最大时，的方程为（    ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】如图，易知点在圆内，设，利用基本不等式确定的最大值，求出此时的，结合点线距计算即可求解. 【详解】依题意，圆的圆心，半径， 显然，即点在圆内，设的中点为，连接， 设，则 面积， 当且仅当即时，等号成立， 此时，圆心到直线的距离， 故过点的直线斜率一定存在， 设其方程为， 即 由，解得或， 此时直线方程为或. 故选：D 8. 已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点为，连接、、，推导出四边形为矩形，设，在中，利用勾股定理可解得，然后在中，利用勾股定理可求得椭圆的离心率的值. 【详解】解：如图，设椭圆的左焦点为，连接、、， 由题意可知，、关于原点对称，且为的中点， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形. 因为，设，， 则，， 所以，， 在中，，即， 解得，或（舍去），所以，，， 在中，由勾股定理可得，即， 整理可得，解得. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是（    ） A. 上的点到直线的最小距离为 B. 若点在上，则的最小值是 C. 若点在上，则的最小值是 D. 圆与有且只有两条公切线，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，由条件可求得轨迹为是为圆心，半径的圆，对于A，求出到直线的距离，可知为所求；对于B，令，求出到直线的距离，由求解即可；对于C，令，求出到直线的距离，由求解即可；对于D，记圆，由条件可知两圆相交，所以，求解即可. 【详解】设，又，，且， ， 化简得：，， 轨迹为是为圆心，半径的圆， 对于A，到直线的距离为， 所以上的点到直线的最小距离为，故A正确； 对于B，令，即， 到直线的距离为， 由题意，即，解得， 的最小值是，故B正确； 对于C，令，即， 到直线的距离为， 由题意，即，解得， 的最小值是，故C错误； 对于D，记圆，其圆心为，半径为， 圆与有且只有两条公切线，两圆相交， 所以，即，解得，故D正确. 故选：ABD. 10. 设，是椭圆的两个焦点，（）是椭圆上一动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 的周长为 B. 的最大值为36 C. 满足的点P有两个 D. 直线与圆相交 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用椭圆定义可得选项A正确；根据椭圆定义结合基本不等式可得选项B正确；根据椭圆与圆有四个交点可得选项C错误；根据圆心到直线的距离小于半径可得选项D正确. 【详解】 由，得，，，. A.由椭圆定义得，所以，故A正确. B.由得， 当且仅当时等号成立，故的最大值为36，故B正确. C.若，则点在以为直径的圆上（扣掉与轴的交点）. 因为椭圆与圆有四个交点，所以满足的点P有4个，故C错误. D.圆的圆心为，半径为1，圆心到直线的距离， ∵是C上一点（除去与x轴的交点），∴，即，且， ∴，即， ∴，即，故直线与相交，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，正方体棱长为2，分别是棱，棱的中点，点M是其侧面上的动点（含边界），下列结论正确的是（    ） A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为 B. 过点的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 当时，点M的轨迹长度为 D. 保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A中，将正方形沿着展在平面求解；对于B中，根据，得到截面为等腰梯形求解；对于C中，由点的轨迹为以为圆心，半径为的圆在正方形内的部分求解；对于D中，建立空间直角坐标系，根据与垂直，由，得到点M的轨迹求解. 【详解】对于A中，如图所示， 将正方形沿着展在平面，在直角中，可得，将沿着展开到与平面重合， 在直角中，可得，所以A正确； 对于B中，如图所示， 连接， 因为为的中点，可得， 因为，所以， 所以过点的平面截该正方体所得的截面为等腰梯形， 其中，且，可得高为， 可得等腰梯形的面积为，所以B正确； 对于C中，如图所示： 取的中点，连接，因为为的中点，所以， 因为平面，可得平面， 又因为平面，所以， 在直角中，由，可得， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆在正方形内的部分， 如图所示， ， 在直角中，由，可得， 所以，可得， 即当时，点M的轨迹长度为，所以C错误； 对于D中，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，设，其中， 则， 因为与垂直，可得，即， 令，可得；当，可得， 即直线与正方形的边的交点为， 可得，所以D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点且，则的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程可得的值，利用椭圆定义可求，，结合余弦定理可得结果. 【详解】由椭圆可知，，，， 由椭圆定义得， ∵，∴，， ∴， ∵，∴. 故答案为： 13. 函数的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得表示与、的距离之和，求出C关于x的轴对称点，数形结合，求解即可. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离， 又关于x轴的对称点，如图， 所以， 所以． 故答案为： 14. 画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为．已知椭圆C的离心率为，点A，B均在椭圆C上，则点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为________（用含b的式子表示），若，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足，则面积的最大值为________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可得蒙日圆方程，即可求解第一空；若则C：，蒙日圆方程为，设，，求出切线方程，进而可得直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理个弦长公式表示弦长，由点线矩表示原点到直线的距离，结合基本不等式计算即可求解面积的最大值. 【详解】由离心率，且可得， 所以蒙日圆方程； 由于原点到蒙日圆上任意一点的距离为， 原点到椭圆上任意一点的距离最大值为， 所以椭圆C上的点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为； 若，则椭圆C的方程为，即，蒙日圆方程为， 不妨设，因为其在蒙日圆上，所以， 设，又，所以可知与椭圆相切， 此时可得直线的方程为，同理直线的方程为； 将代入的直线方程中可得， 所以直线的方程即为， 联立，消去整理可得； 由韦达定理可得， 所以， 原点到直线的距离为， 因此的面积 ； 当且仅当，即时等号成立， 因此面积的最大值为. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，平面. （1）证明：∥平面ADE； （2）求平面ADE与平面CEF夹角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为，且，则且， 可知四边形是平行四边形，则，且， 又因为是菱形，则，且， 可得且，可知四边形是平行四边形， 则， 且平面平面， 所以∥平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，可得，即可证明线面平行； （2）建系标点，求平面ADE与平面CEF的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接交于，取中点， 因为平面，则平面，且， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面CEF的一个法向量为，则， 令，则，可得， 设平面ADE的一个法向量为，则， 令，则，可得， 设平面ADE与平面CEF的夹角为， 则， 所以平面ADE与平面CEF夹角余弦值为. 16. 如图，已知圆，点. （1）求圆心在直线上，经过点，且与圆相外切的圆的方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）通过求圆的圆心和半径来求得圆的方程. （2）首先判断出，求得到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案. 【小问1详解】 由， 化为标准方程：. 所以圆的圆心坐标为， 又圆的圆心在直线上，设圆的圆心坐标为， 又经过点A，且与圆相外切，所以切点为， 则有， 即， 解得， 所以圆的圆心坐标为，半径， 故圆的方程为. 【小问2详解】 因为圆弧PQ恰为圆C周长的，所以. 所以点到直线的距离为2. 当直线的斜率不存在时，点C到轴的距离为2， 直线即为轴，所以此时直线的方程为. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 所以，解得， 所以此时直线的方程为. 综上，所求直线的方程为或. 17. 已知点，动点在圆上运动，线段的垂直平分线交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）设直线与点的轨迹交于、两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质及椭圆定义可得动点的轨迹方程； （2）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，再根据点到直线的距离可得三角形面积，再结合对勾函数单调性可得最值. 【小问1详解】 由已知圆，则， 又线段的垂直平分线交于点， 所以， 则， 所以动点到定点，的距离之和为定值， 即动点的轨迹为以，为焦点的椭圆， 且，，即，， 椭圆方程为； 【小问2详解】 设直线与椭圆的交点为，， 联立直线与椭圆，得， 即， 且，， 则， 又点到直线的距离， 则的面积， 设，则，， 又函数在上单调递增， 即当，即时，取得最小值为， 此时取得最大值为. 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题. 18. 如图，在斜三棱柱中，底面是边长为4的正三角形，侧面为菱形，已知，． （1）当时，求三棱柱的体积； （2）设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）24 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，根据等边三角形可知，再计算出各个长度可知，根据线面垂直判定定理可证平面，即为三棱柱的高，根据体积公式求出即可； （2）根据及余弦定理求出，以为原点建立合适空间直角坐标系，找出点的坐标，求出平面的一个法向量，设，求出，根据直线面所成角的正弦值等于线与法向量夹角的余弦值的绝对值建立等式，构造新函数，根据二次函数性质即可求得范围. 【小问1详解】 如图，取的中点为O， 因为为菱形，且，所以为正三角形， 又为正三角形且边长为4，则，， 且，，所以， 所以， 因为又， 由平面，平面， 所以平面， 所以三棱柱的体积． 【小问2详解】 在中，，， 由余弦定理可得， 所以， 由（1），， 又，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 所以在平面内作，则平面， 以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示 则，，，， ，， ，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 取得， 设， 则 ， 设直线与平面所成角为， 则 ， 令， 则在单调递增，所以， 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 19. 常用测量距离的方式有3种．设，，定义欧几里得距离；定义曼哈顿距离，定义余弦距离，其中（O为坐标原点）． （1）求满足的点H的轨迹所围成的图形面积； （2）若，，求的取值范围： （3）动点P在直线上，动点Q在函数图象上，求的最小值． 【答案】（1）2 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）设，则， 根据的符号去绝对值，作出图形求面积即可； （2）因，令，可知与有交点，根据直线与圆的位置关系求解； （3）设动点，则，分类讨论去绝对值，结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 设，则， 当，时，则；当，时，则; 当，时，则；当，时，则． 如图，点的轨迹是一个边长为的正方形， ∴点的轨迹所围成的图形面积为 【小问2详解】 因， 令，则， 即与有交点， 也即半圆与直线有交点， 下面，先计算直线与半圆相切和经过点时的情况． 由圆心到直线的距离解得，， 由题知此时，即; 又由，代入点，解得． 如图， 由题知，要使两者有交点，需使，此时， 因，则有; 【小问3详解】 设动点，， 则， 因，所以， ①当时，， 此时，当且仅当时取得; ②当时，， 此时； ③当时，， 此时， 又， 所以， 综合得，当时取等号． 即的最小值为. 【点睛】关键点点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题,在新环境下研究“旧”性，主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校四校联盟 2024—2025学年上学期期中考联考 高二年段数学学科试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：周瑞明 审核人：张国川 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则是钝角； B. 直线l的方向向量，平面的法向量，则 C. 直线l经过点，，则到的距离为 D. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 7. 已知直线过点，且与圆交于，两点，当面积最大时，的方程为（    ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是（    ） A. 上的点到直线的最小距离为 B. 若点在上，则的最小值是 C. 若点在上，则的最小值是 D. 圆与有且只有两条公切线，则的取值范围是 10. 设，是椭圆的两个焦点，（）是椭圆上一动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 的周长为 B. 的最大值为36 C. 满足的点P有两个 D. 直线与圆相交 11. 如图，正方体棱长为2，分别是棱，棱的中点，点M是其侧面上的动点（含边界），下列结论正确的是（    ） A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为 B. 过点的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 当时，点M的轨迹长度为 D. 保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点且，则的大小为______． 13. 函数的最小值为______． 14. 画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为．已知椭圆C的离心率为，点A，B均在椭圆C上，则点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为________（用含b的式子表示），若，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足，则面积的最大值为________ 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，平面. （1）证明：∥平面ADE； （2）求平面ADE与平面CEF夹角的余弦值. 16. 如图，已知圆，点. （1）求圆心在直线上，经过点，且与圆相外切的圆的方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程. 17. 已知点，动点在圆上运动，线段的垂直平分线交于点. （1）求点的轨迹方程； （2）设直线与点的轨迹交于、两点，求面积的最大值. 18. 如图，在斜三棱柱中，底面是边长为4的正三角形，侧面为菱形，已知，． （1）当时，求三棱柱的体积； （2）设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 19. 常用测量距离的方式有3种．设，，定义欧几里得距离；定义曼哈顿距离，定义余弦距离，其中（O为坐标原点）． （1）求满足的点H的轨迹所围成的图形面积； （2）若，，求的取值范围： （3）动点P在直线上，动点Q在函数图象上，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $