5.4.3正切函数的性质和图像综合练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.3正切函数的图像和性质综合练习解析 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．函数的单调区间是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用诱导公式化简，再根据正切函数的性质计算可得． 【解答】解：因为， 令，k∈Z，解得，k∈Z， 所以函数的单调递减区间为． 故选：D． 【点评】本题主要考查正切函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题． 2．已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．函数f（x）的图象可以由y＝tan2x的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到 B．函数y＝|f（x）|是偶函数 C．函数f（x）的图象关于点对称 D．函数f（x）的最小正周期为π 【分析】根据三角函数的变换规则判断A，求出函数的定义域即可判断B，代入法检验C，根据正切函数的性质判断D． 【解答】解：对于A，将y＝tan2x的图象向右平移个单位得到， 再将向上平移1个单位得到，选项A错误； 对于B，由，解得， 即f（x）的定义域为， 则y＝|f（x）|的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以y＝|f（x）|为非奇非偶函数，选项B错误； 对于C，因为，所以函数f（x）的图象关于点对称，选项C正确； 对于D，函数f（x）的最小正周期为，选项D错误． 故选：C． 【点评】本题考查了三角函数的定义与性质应用问题，是基础题． 3．下列函数中，周期为π，且在（0，）上单调递增的是（　　） A．y＝tan|x| B．y＝|cosx| C．y＝|sinx| D．y＝sin|x| 【分析】由三角函数的单调性与周期性对A，B，C，D四个选项逐一判断即可． 【解答】解：对于A，y＝tan|x|，不是周期函数，故A错误； 对于B，y＝|cosx|在（0，）上单调递减，故B错误； 对于C，y＝|sinx|的周期为π，且在（0，）上单调递增，故C符合题意； 对于D，y＝sin|x|，不是周期函数，故D错误； 综上所述，只有C正确． 故选：C． 【点评】本题考查三角函数的单调性与周期性，熟练掌握三角函数的性质是解决问题的关键，属于中档题． 4．比较tan48°、tan（﹣22°）、tan114°的大小关系（　　） A．tan114°＞tan48°＞tan（﹣22°） B．tan（﹣22°）＞tan114°＞tan48° C．tan（﹣22°）＞tan48°＞tan114° D．tan48°＞tan（﹣22°）＞tan114° 【分析】利用诱导公式得tan114°＝tan（﹣66°），然后由正切函数的单调性可得． 【解答】解：tan114°＝tan（180°﹣66°）＝tan（﹣66°）， 因为函数y＝tanx在（﹣，）上单调递增，且﹣66°＜﹣22°＜48°， 所以tan（﹣66°）＜tan（﹣22°）＜tan48°，即tan48°＞tan（﹣22°）＞tan114°． 故选：D． 【点评】本题主要考查正切函数的性质应用，属于基础题． 5．“”是“函数y＝tan（x+φ）的图象关于对称”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】直接利用正切函数的性质以及充分条件与必要条件求出结果． 【解答】解：当函数y＝tan（x+φ）的图象关于对称时，有， 易知⫋， 所以“”是“函数y＝tan（x+φ）的图象关于对称”的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查的知识点：正切函数的性质，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 6．下列是函数的对称中心的是（　　） A． B． C．（0，1） D． 【分析】整体法求出函数的对称中心为，一一检验得到答案． 【解答】解：令，解得， 故函数的对称中心为， 故AB错误； 当k＝1时，，故对称中心为，D正确， 经检验，C不满足要求． 故选：D． 【点评】本题主要考查了正切函数对称性的应用，属于基础题． 7．下列关于函数的说法正确的是（　　） A．图象关于点成中心对称 B．图象关于直线成轴对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【分析】根据三角函数的对称性、定义域、单调性等知识确定正确答案． 【解答】解：当时，x+＝，所以是函数y＝tan（x+）的中心对称， 所以A选项正确，B选项错误． C选项，因为x∈（﹣，π），所以x+∈（0，π），注意到x＝时，x+＝，而tan不存在，所以C选项错误． D选项，x∈（﹣π，），因为x+∈（﹣π，），注意到x＝﹣π时，x+＝﹣，而tan（﹣）不存在，所以D选项错误． 故选：A． 【点评】本题考查正切函数的性质的应用，属于基础题． 8．已知a＝tan1，b＝tan2，c＝tan3，则（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c 【分析】根据a＝tan1＞1，b＝tan2＝﹣tan（π﹣2）＜0，c＝tan3＝﹣tan（π﹣3）＜0．再根据＞π﹣2＞π﹣3＞0，可得tan（π﹣2）＞tan（π﹣3）＞0，从而得到a、b、c的大小关系． 【解答】解：∵已知a＝tan1＞1，b＝tan2＝﹣tan（π﹣2）＜0，c＝tan3＝﹣tan（π﹣3）＜0． 再根据＞π﹣2＞π﹣3＞0，∴tan（π﹣2）＞tan（π﹣3）＞0，∴﹣tan（π﹣2）＜﹣tan（π﹣3）＜0． 综上可得，a＞0＞c＞b， 故选：C． 【点评】本题主要考查诱导公式、正切函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题． 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） （多选）9．已知函数，则（　　） A．f（x）的最小正周期为4π B．f（x）的图象关于点对称 C．将f（x）的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为 D． 【分析】利用正切函数的图象的性质逐项计算可判断每个选项的正误． 【解答】解：由f（x）＝tan（x﹣）知ω＝，所以函数f（x）的最小正周期为T＝＝2π，选项A错误； 令x﹣＝kπ，k∈Z，解得， 所以f（x）的图象关于点对称， 所以k＝0时，f（x）的对称中心为，选项B正确； 将f（x）的图象向左平移个单位， 得f（x+）＝tan[（x+）﹣]＝tan（x﹣）的图象，选项C错误； 因为f（）＝tan（×﹣）＝tan，f（）＝tan（×﹣）＝tan， 又g（x）＝tanx在（﹣，）上单调递增，且， 所以，即，选项D正确． 故选：BD． 【点评】本题考查了正切函数的图象与性质应用问题，是基础题． （多选）10．已知函数的部分图象如图所示，则（　　） A．ω＝2 B． C．f（x）的图象与y轴的交点坐标为 D．函数y＝|f（x）|的图象关于直线对称 【分析】根据函数的图象确定其最小正周期，求出ω＝2，判断A；利用特殊值可求出φ，进而求出f（x）的图象与y轴的交点坐标，判断BC；判断f（x）的图象关于点对称，即可判断D． 【解答】解：由函数的部分图象可知，f（x）的最小正周期，则ω＝2，A正确； 由图象可知时，函数无意义，故， 由0＜φ＜π，得，即，则， 即f（x）的图象与y轴的交点坐标为，B，C错误； 由于，则f（x）的图象关于点对称， 可得函数y＝|f（x）|的图象关于直线对称． 故选：AD． 【点评】本题考查正切函数的图象与性质的应用，属于中档题． （多选）11．下列说法正确的是（　　） A．函数y＝tanx在定义域内是增函数 B．函数f（x）＝2tan（x+）的增区间是（kπ﹣，kπ+） C．函数y＝2tan（2x+）的定义域是{x|x≠+kπ，k∈Z} D．函数y＝tanx+1在[﹣，]上的最大值为+1，最小值为0 【分析】根据y＝tanx的性质，分别讨论复合函数的单调性，最值，定义域即可． 【解答】解：函数y＝tanx在定义域内不具有单调性，故A错误； f（x）＝2tan（x+）的增区间，令kπ﹣≤x+≤kπ+，k∈Z， 得x∈（kπ﹣，kπ+），k∈Z，B正确； 由2x+≠kπ+，k∈Z，解得x≠kπ+，k∈Z，故C错误； 因为函数y＝tanx+1在[﹣，]上是增函数，所以函数y＝tanx+1在x＝时取得最大值， 最大值+1，在x＝﹣时取得最小值，最小值为0，故D正确． 故选：BD． 【点评】本题考查正切函数的性质，属于基础题． 3． 填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．函数的最小正周期为　3π　． 【分析】利用函数y＝tan（ωx+φ）的最小正周期计算公式即可求解． 【解答】解：函数的最小正周期为：． 故答案为：3π． 【点评】本题考查了正切函数的周期公式的应用，考查了函数思想，属于基础题． 13．函数的对称中心是 　　． 【分析】根据正切函数y＝tanx的对称中心为，整体代换即可得所求函数的对称中心． 【解答】解：因为正切函数y＝tanx的对称中心为， 所以令， 则， 所以函数的对称中心是． 故答案为：． 【点评】本题考查了正切函数的性质的应用，考查了函数思想，属于基础题． 14．已知函数，y＝f（x）的部分图象如图，则＝　　． 【分析】根据正切函数的性质即可求值． 【解答】解：由，得ω＝2，f（x）＝Atan（2x+φ），又图象过点， 即，∵，∴，∴， 又图象过点（0，1），即，故A＝1，∴， ∴f． 故答案为：． 【点评】本题考查正切函数的性质，属于中档题． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．写出函数的定义域、最小正周期、单调区间、对称中心． 【分析】由，可求得其定义域，利用整体思想结合正切函数的周期性、单调性及对称性可求得其最小正周期、单调区间、对称中心． 【解答】解：由，k∈Z，可得：，k∈Z， 所以，其定义域为， 由，可得其最小正周期， 由，可得，k∈Z， 所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无递减区间； 由，得：，k∈Z， 所以y＝f（x）的对称中心为． 【点评】本题考查了正切函数的性质的应用，考查了函数思想和整体思想，属于基础题． 16．函数，已知函数y＝f（x）的图象与x轴相邻两个交点的距离为π，且图象关于点对称． （1）求f（x）的单调区间； （2）求不等式的解集． 【分析】（1）由三角函数的性质求出，令，即可求出f（x）的单调区间； （2）由，解不等式即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的最小正周期为， 因为ω＞0，所以ω＝1，所以f（x）＝tan（x+φ）， 因为函数y＝f（x）的图象关于点对称， 所以，k∈Z，即，k∈Z， 因为，所以，所以． 令，k∈Z，解得，k∈Z， 所以函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z；无单调递减区间． （2）由（1）知，，由， 得，k∈Z， 即，k∈Z； 所以不等式的解集为：． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了数学运算核心素养，是中档题． 17．设函数． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）求不等式的解集． 【分析】（1）由题意，利用正切函数的单调性，得出结论． （2）由题意，利用正切函数的图象和性质，求得不等式的解集． 【解答】解：（1）对于函数，令kπ﹣＜﹣＜kπ+，k∈Z， 求得2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z， 可得函数f（x）的单调增区间为（2kπ﹣，2kπ+）k∈Z； 此函数没有减区间． （2）不等式，即tan（﹣）≤， ∴kπ﹣＜﹣≤kπ+，k∈Z， 求得2kπ﹣＜x≤2kπ+，k∈Z， 不等式的解集为（2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z． 【点评】本题主要考查正切函数的单调性，正切函数的图象和性质，属于中档题． 18．已知函数． （Ⅰ）求f（x）的定义域和最小正周期； （Ⅱ）求f（x）的单调区间． 【分析】（Ⅰ）由题意，利用正切函数的定义域、周期性，得出结论． （Ⅱ）由题意，利用正切函数的单调性，得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）对于函数， 应有﹣≠kπ+，k∈Z，解得x≠2kπ+，k∈Z， 所以函数的定义域为{x|x≠2kπ+，k∈Z }， 故函数的最小正周期为＝2π． （Ⅱ）令kπ﹣＜﹣＜kπ+，k∈Z，则2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z， 所以函数的单调递减区间为（2kπ﹣，2kπ+ ），k∈Z； 该函数没有单调增区间． 【点评】本题主要考查正切函数的定义域、单调性和周期性，属于基础题． 19．解下列不等式： （1）tanx＞1； （2）tan（2x﹣）≥． 【分析】（1）根据正切函数的单调性解不等式即可； （2）根据正切函数的单调性和定义域求解不等式即可． 【解答】解：（1）由tanx＞1， 得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z， ∴不等式解集为{x|kπ+＜x＜kπ+，k∈Z}； （2）由tan（2x﹣）≥， ∴kπ+≤2x﹣＜kπ+，k∈Z，解得≤x＜+，k∈Z， ∴不等式解集为{x|≤x＜+，k∈Z}． 【点评】本题考查正切函数的单调性和定义域，属基础题． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4.3正切函数的图像和性质综合练习 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．函数的单调区间是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．函数f（x）的图象可以由y＝tan2x的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到 B．函数y＝|f（x）|是偶函数 C．函数f（x）的图象关于点对称 D．函数f（x）的最小正周期为π 3．下列函数中，周期为π，且在（0，）上单调递增的是（　　） A．y＝tan|x| B．y＝|cosx| C．y＝|sinx| D．y＝sin|x| 4．比较tan48°、tan（﹣22°）、tan114°的大小关系（　　） A．tan114°＞tan48°＞tan（﹣22°） B．tan（﹣22°）＞tan114°＞tan48° C．tan（﹣22°）＞tan48°＞tan114° D．tan48°＞tan（﹣22°）＞tan114° 5．“”是“函数y＝tan（x+φ）的图象关于对称”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．下列是函数的对称中心的是（　　） A． B． C．（0，1） D． 7．下列关于函数的说法正确的是（　　） A．图象关于点成中心对称 B．图象关于直线成轴对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 8．已知a＝tan1，b＝tan2，c＝tan3，则（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） （多选）9．已知函数，则（　　） A．f（x）的最小正周期为4π B．f（x）的图象关于点对称 C．将f（x）的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为 D． （多选）10．已知函数的部分图象如图所示，则（　　） A．ω＝2 B． C．f（x）的图象与y轴的交点坐标为 D．函数y＝|f（x）|的图象关于直线对称 （多选）11．下列说法正确的是（　　） A．函数y＝tanx在定义域内是增函数 B．函数f（x）＝2tan（x+）的增区间是（kπ﹣，kπ+） C．函数y＝2tan（2x+）的定义域是{x|x≠+kπ，k∈Z} D．函数y＝tanx+1在[﹣，]上的最大值为+1，最小值为0 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．函数的最小正周期为　 　． 13．函数的对称中心是 　 　． 14．已知函数，y＝f（x）的部分图象如图，则＝　 　． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．写出函数的定义域、最小正周期、单调区间、对称中心． 16．函数，已知函数y＝f（x）的图象与x轴相邻两个交点的距离为π，且图象关于点对称． （1）求f（x）的单调区间； （2）求不等式的解集． 17．设函数． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）求不等式的解集． 18．已知函数． （Ⅰ）求f（x）的定义域和最小正周期； （Ⅱ）求f（x）的单调区间． 19．解下列不等式： （1）tanx＞1； （2）tan（2x﹣）≥． 学科网（北京）股份有限公司 $$