2022-2024年江苏省南京中考模拟考卷二次函数解答题汇总

2022-2024年南京模考卷二次函数解答题汇总 备注：含部分一次函数、反比例函数 一．一次函数图象与系数的关系（共1小题） 1．（2022•南京二模）已知一次函数y1＝ax+3a+2（a为常数，a≠0）和y2＝x+1． （1）当a＝﹣1时，求两个函数图象的交点坐标； （2）不论a为何值，y1＝ax+3a+2（a为常数，a≠0）的图象都经过一个定点，这个定点坐标是 　 　； （3）若两个函数图象的交点在第三象限，结合图象，直接写出a的取值范围． 二．一次函数与一元一次不等式（共2小题） 2．（2022•建邺区二模）已知一次函数y1＝kx﹣2（k为常数，k≠0）和y2＝﹣x+3． （1）若y1的图象经过点（2，2），求k的值； （2）在（1）的条件下，若y1＜y2，求x的取值范围； （3）当x＞1时，y1＜y2．结合图象，直接写出k的取值范围是 　 　． 3．（2022•玄武区二模）已知一次函数y1＝﹣x+m﹣3（m为常数）和y2＝2x﹣6． （1）若一次函数y1＝﹣x+m﹣3的图象与x轴的交点在y轴右侧，求m的取值范围； （2）当x＜3时，y1＞y2，结合图象，直接写出m的取值范围． 三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 4．（2024•鼓楼区校级三模）两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数y＝x+3的图象与函数的图象交点的横坐标可视为方程x2+3x＝1的根． （1）函数y＝x+b的图象与函数的图象有两个不同交点，求b取值范围． （2）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣1（m为常数）． ①设直线y＝﹣2x+1与抛物线y＝﹣x2+2mx﹣1有两个不同交点，求m取值范围． ②已知点A（﹣2，﹣1）、B（2，﹣1），若抛物线y＝﹣x2+2mx﹣1与线段AB只有一个公共点，请直接写出m的取值范围． 四．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 5．（2024•建邺区校级二模）已知函数（k是常数，k≠0），函数． （1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（2，6），点B（4，n﹣2）． ①求k，n的值． ②当y1＞y2时，直接写出x的取值范围． （2）若点C（8，m）在函数y1的图象上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求m的值． 五．反比例函数的应用（共2小题） 6．（2023•建邺区二模）某酒杯的轴截面如图①所示，其中杯体轴截面ABC呈曲线形状（忽略杯体的厚度）．点A、C在杯口处，AC＝12cm，点B是曲线上的最低点．当酒杯装满液体时，液体最大深度（最低点B到AC的距离）是4cm．将杯中的液体倒出一部分后，液体的最大深度（最低点B到MN的距离）恰好为2cm，如图②所示． （1）如果杯体轴截面ABC呈抛物线形状，求此时MN的长度； （2）如果杯体轴截面ABC呈双曲线形状，求此时MN的长度． 7．（2022•玄武区二模）生活中充满着变化，有些变化缓慢，几乎不被人们所察觉；有些变化太快，让人们不禁发出感叹与惊呼，例如：气温“陡增”，汽车“急刹”，股价“暴涨”，物价“飞涨”等等． 【数学概念】 点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是函数图象上不同的两点，对于A，B两点之间函数值的平均变化率k（A，B）用以下方式定义：k（A，B）＝． 【数学理解】 （1）点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣2x+4图象上不同的两点，求证：k（A，B）是一个定值，并求出这个定值． （2）点C（x3，y3），D（x4，y4）是函数y＝（x＞0）图象上不同的两点，且x4﹣x3＝2．当k（C，D）＝﹣4时，则点C的坐标为 　 　． （3）点E（x5，y5），F（x6，y6）是函数y＝﹣2x2+8x﹣3图象上不同的两点，且x5+x6＜2，求k（E，F）的取值范围． 【问题解决】 （4）实验表明，某款汽车急刹车时，汽车的停车距离y（单位：m）是汽车速度x（单位：km/h）的二次函数．已知汽车速度x与停车距离y部分对应值如表： 汽车速度x 78 80 82 84 86 88 90 停车距离y 35.1 36.8 38.54 40.32 42.14 44 45.9 当x＝100时，y的值为 　 　． 六．二次函数的性质（共5小题） 8．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3），B（m，y1），C（m+2，y2）都在函数y＝ax2+bx+3（a＞0）的图象上． （1）求该图象的对称轴； （2）比较y1，y2的大小，并说明理由． 9．（2024•玄武区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值； （2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围． 10．（2023•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+（k﹣2）x+3． （1）该抛物线经过一个定点：　 　（写出坐标）； （2）点P（m，n）是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N． ①若N＝3，求k的值； ②若﹣1＜k＜3，结合该抛物线，直接写出N的取值范围． 11．（2023•鼓楼区校级三模）已知二次函数的图象顶点坐标是（2，3）． （1）设二次函数解析式为：y＝a（x﹣h）2+k，h＝　 　，k＝　 　； （2）点P（x1，y1），点Q（x2，y2）在函数图象上，x1＜x2且x1+x2＞4，比较y1与y2的大小； （3）若该二次函数的图象与一次函数y＝x+2的图象有2个公共点，结合图象，直接写出a的取值范围． 12．（2022•鼓楼区二模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）． （1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为 　 　； ②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为 　 　； ③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为 　 　． （2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值． 七．二次函数图象与系数的关系（共12小题） 13．（2024•秦淮区模拟）已知二次函数y＝x2﹣2（a﹣1）x+a+1： （1）如果直线y＝x+1经过二次函数y＝x2﹣2（a﹣1）x+a+1图象的顶点P，求此时a的值； （2）随着a的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由； （3）将该二次函数以x＝3为对称轴翻折后的图象过（a，b）（a未知，b为常数），求原函数与y轴的交点纵坐标． 14．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系xOy中，点（1，y1），（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2mx+m2上． （1）求抛物线的顶点 　 　； （2）若y1＜y2，求m的取值范围； （3）若点（x0，y0）在抛物线上，若存在﹣1＜x0＜0，使y1＜y0＜y2成立，求m的取值范围． 15．（2024•秦淮区二模）已知二次函数y＝ax2+（1﹣4a）x+3． （1）求证：不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点； （2）A（2﹣m，y1）、B（2+m，y2）（m＞0）是该函数图象上的两个点，试用两种不同的方法证明y1＜y2； （3）当3＜x＜4时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 16．（2024•雨花台区模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）． （1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值； （2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围； （3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值． 17．（2024•建邺区一模）已知函数y＝ax2+（1﹣a）x﹣1（a为常数，且a≠0）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有公共点； （2）当a＜﹣2时，该函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB长度的取值范围； （3）当0≤x≤1时，y≤0．直接写出a的取值范围． 18．（2024•建邺区二模）已知二次函数y＝x2﹣mx﹣2（m为常数）的图象与x轴的公共点为A（x1，0），B（x2，0）． （1）当x1＝1时，求x2的值； （2）当﹣1＜x1＜1，且x1≠0时，求m的取值范围； （3）线段AB长的最小值为 　 　． 19．（2024•南京二模）二次函数y＝a（x﹣h）2+4的图象过点（﹣3，m），（5，m）． （1）h的值为 　 　； （2）若（0，y1），（n，y2）是该函数图象上的两点，当a＜0，n＞2时，试说明：y1＞y2； （3）若关于x的方程a（x﹣h）2+4＝2a+5有一个正根和一个负根，直接写出a的取值范围． 20．（2024•鼓楼区一模）在平面直角坐标系，二次函数y＝ax2﹣bx﹣a的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在该函数的图象上． （1）写出该函数图象的对称轴； （2）已知点M（1，1﹣a），N（3，﹣3）． ①若函数图象恰好经过点M，求a的值； ②若函数图象与线段MN只有一个交点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 21．（2024•鼓楼区模拟）已知二次函数y＝x2+mx+n，其中m，n为实数． （1）若该函数的对称轴是直线x＝2，则m＝　 　； （2）若该函数的图象经过点（m，9n），请判断该函数的图象与x轴的交点个数； （3）该函数的图象经过点（x1，0），（x2，0），（1，a），（5，b）．若x2﹣x1＝1时，求a+b的取值范围． 22．（2023•鼓楼区校级模拟）已知抛物线y＝（x﹣2a）（x﹣2）． （1）若a＝0，当﹣3≤x＜2时，y的取值范围为 　 　； （2）写出抛物线和x轴交点的个数，并说明理由； （3）已知点A（﹣1，0），B（4，0），若该抛物线与线段AB只有一个公共点，求出此时a的取值范围． 23．（2023•南京三模）已知二次函数y＝mx2+nx+3m（m≠0）与y＝x﹣1交于点A（1，0）和点B． （1）求m，n满足的关系式； （2）该函数图象的顶点坐标是 　 　.（用含m的代数式表示） （3）当3时，结合图象，直接写出m的取值范围． 24．（2023•建邺区一模）已知二次函数y＝mx2﹣6mx+4（m为常数）． （1）不论m为何值，该函数的图象都会经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 　 　，　 　； （2）若点A（1，a），B（3，b），C（4，c）在该函数图象上，当abc＜0时，求m的取值范围． 八．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 25．（2024•秦淮区一模）点A（﹣1，y1）和点B（2，y2）在二次函数y＝x2+mx+n2（m，n是常数）的图象上． （1）当y1＝y2时，求m的值； （2）当y1＜2时，求证y2＞y1． 九．二次函数图象与几何变换（共1小题） 26．（2024•六合区校级三模）已知二次函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣4），且经过点（1，0）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当﹣5＜x＜0时，y的取值范围为 　 　． （3）该二次函数图象关于x轴对称的图象所对应的函数表达式为 　 　． 一十．待定系数法求二次函数解析式（共2小题） 27．（2023•鼓楼区一模）已知二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）． （1）求该二次函数的表达式； （2）当0＜x＜3时，y的取值范围为 　 　； （3）已知点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）在该二次函数的图象上，若y1＞y2，直接写出m的取值范围． 28．（2022•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，1），与y轴的交点坐标是（0，5）． （1）求该二次函数的表达式； （2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点，求n的取值范围． 一十一．抛物线与x轴的交点（共14小题） 29．（2024•玄武区校级模拟）已知二次函数y＝mx2﹣（2+3m）x+6（m为常数，且m≠0）． （1）判断该二次函数图象与x轴交点的个数，说明理由； （2）不论m为何值，该函数图象都会经过两个定点，这两个定点的坐标分别是 　 　、　 　． （3）该函数图象经过的象限随m值的变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的取值范围． 30．（2024•浦口区校级三模）已知二次函数． （1）直接写出该函数图象的对称轴． （2）求证：当|a|＞1时，该函数图象与x轴的两个交点均在正半轴． （3）点A（a+1，y1）、B（2a﹣2，y2）在该函数图象上，直接写出y1与y2的大小关系及相应的a的取值范围． 31．（2024•秦淮区二模）已知二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣4）（a，m为常数，a≠0）． （1）求证：不论a，m为何值，该二次函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，若不论m为何值，该二次函数的图象上都只有两个点C，D，使△ABC和△ABD的面积均为4，求a的取值范围． 32．（2024•玄武区二模）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+4﹣m2（m为常数）． （1）求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）设该函数图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值． 33．（2024•江宁区校级三模）如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式y＝x2+bx+c（b，c为常数），通过输入不同的b、c的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线L1恰好经过O（0，0）和A（2，0）两点，解决下列问题． （1）求与抛物线L1相对应的b、c的值； （2）若把抛物线L1相对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线L2，求抛物线L2与x轴交点的坐标，并说明抛物线L2是否经过L1的顶点； （3）另有直线l：y＝n与抛物线L1交于点P，Q，与抛物线L2交于点M，N，若的值是整数，请直接写出n的最大值． 34．（2024•玄武区一模）已知二次函数y＝﹣x2+2（m﹣4）x+m2﹣1（m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）求证：当﹣1＜m＜1时，该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方． 35．（2024•玄武区校级模拟）在二次函数y＝x2+2mx+m﹣1中． （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点． （2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣3，则m的值为 　 　． （3）当m＜0时，点A（n﹣2，a），B（4，b），C（n，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜m﹣1．则n的取值范围是 　 　． 36．（2024•南京一模）已知二次函数y＝ax2+bx+2（a＜0）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x2＝﹣2x1，求证a+b2＝0； （3）若A（k，y1），B（6，y2），C（k+4，y1）都在该二次函数的图象上，且2＜y2＜y1，结合函数的图象，直接写出k的取值范围． 37．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数y＝mx2﹣（m﹣2）x﹣2（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点． （2）不论m为何值，该函数的图象经过的定点坐标是 　 　． （3）在﹣2≤x≤2的范围中，y的最大值是2，直接写出m的值． 38．（2023•玄武区校级模拟）已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点． （1）求k的取值范围； （2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2． ①求k的值； ②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值． 39．（2023•秦淮区校级模拟）已知二次函数y＝x2+2mx+m2﹣1（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若函数的图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，求m的取值范围． 40．（2023•玄武区二模）已知函数y＝x2+mx+n（m，n为常数）． （1）若m＝4，n＝3，求该函数图象与x轴的两个交点之间的距离； （2）若函数y＝x2+mx+n的图象与x轴有两个交点，将该函数的图象向右平移k（k＞0）个单位长度得到新函数y′的图象，且这两个函数图象与x轴的四个交点中任意相邻两点之间的距离都相等． ①若函数y＝x2+mx+n的图象如图所示，直接写出新函数y′的表达式； ②若函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），当k＝1时，求m，n的值． 41．（2023•秦淮区一模）已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a（a，m为自然数，且a≠0）． （1）求证：不论a，m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）将该函数的图象绕原点旋转180°，则所得到的图象对应的函数表达式为 　 　． 42．（2022•鼓楼区校级二模）设二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）． （1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由． （2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式． （3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0． 一十二．二次函数与不等式（组）（共1小题） 43．（2022•建邺区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根； （2）写出方程ax2+bx+c＜0时x的取值范围； （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； （4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 一十三．二次函数综合题（共16小题） 44．（2024•鼓楼区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+a+2（a＞0）过点（1，4a+2）． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）过该抛物线与y轴的交点作y轴的垂线l，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，得到图形G，M（﹣1﹣a，y1），N（﹣1+a，y2）是图形G上的点，设t＝y1+y2． ①当a＝1时，求t的值； ②若6≤t≤9，求a的取值范围． 45．（2024•秦淮区校级三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线上一点且在x轴上方，满足∠DBA＝∠ACO，求D点坐标； （3）点M为线段BC上一动点（不与B，C重合），过点M作MP⊥x轴于点P，交抛物线于点N，如图2，在抛物线上找一点Q，连接AM，QN，QP，使得△PQN与△APM的面积相等． ①求出点Q到直线PN的距离； ②当线段NQ的长度最小时，直接写出此时Q点坐标． 46．（2024•鼓楼区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2﹣3mx﹣10m（m为常数，且m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．过点D（1，0）且平行于y轴的直线l交该二次函数图象于点E，交线段BC于点F． （1）求点A和点B的坐标； （2）求证：∠ECF＝2∠DBF； （3）若点B关于CE的对称点B′恰好落在直线l上，求此时二次函数的表达式． 47．（2024•秦淮区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣（a+4）x+4a（a为常数且a≠4）． （1）求证：不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别记为A、B，线段AB（含端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为9． ①直接写出a的取值范围； ②若a为负整数，则函数y＝|x2﹣（a+4）x+4a|的图象与函数y＝x+b的图象的交点个数随随b的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的b的取值范围． 48．（2024•鼓楼区校级二模）已知：抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣2过点A（3，4）． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣2在直线y＝﹣1下方的部分沿直线y＝﹣1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G．点M（m，y1）在图象G上，且y1≤0． ①求m的取值范围； ②若点N（m+k，y2）也在图象G上，且满足y2≥4恒成立，则k的取值范围为　 　． 49．（2024•建邺区校级模拟）定义：若函数G1的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数G2的图象上，则称函数G1，G2为关联函数，这两个点称为函数G1，G2的一对关联点．例如，函数y＝2x与函数y＝x﹣3为关联函数，点（1，2）和点（1，﹣2）是这两个函数的一对关联点． （1）判断函数y＝x+2与函数y＝﹣是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由； （2）若对于任意实数k，函数y＝2x+b与y＝kx+k+5始终为关联函数，求b的值； （3）若函数y＝x2﹣mx+1与函数y＝2x﹣（m，n为常数）为关联函数，且只存在一对关联点，求2m2+n2﹣6m的取值范围． 50．（2024•玄武区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，M为抛物线对称轴l上一动点，连接MA、MC，求MA+MC的最小值及此时M点的坐标； （3）如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，点F（2，1），P为抛物线上一动点，Q为抛物线对称轴l上一动点，以点E、F、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出所有可能的点Q的坐标． 51．（2024•南京模拟）已知二次函数y＝ax2﹣5ax+4其图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），且点B（4，0）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）如图1，已知C（﹣3，0）将线段CB平移至线段MN（点C，B的对应点分别为N，M），使点M，N都在抛物线上．试判断直线l：y＝2kx﹣3k+5是否将四边形BCNM分成面积相等的两部分，请说明理由； （3）如图2，若直线y＝3x+m与抛物线交于P，Q两点，求证：△PAQ的内心在x轴上． 52．（2024•秦淮区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它关于直线x＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成y＝|x|+1． （1）在图③中画出函数y＝2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象； （2）函数y＝﹣x2+2x+5关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝x+m有三个公共点，求m的值； （3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）关于直线x＝0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围． 53．（2023•秦淮区校级模拟）【概念认识】 已知m是实数，若某个函数图象上存在点M（m，m），则称点M是该函数图象上的“固定点”． 【数学理解】 （1）一次函数y＝﹣2x+3的图象上的“固定点”的坐标是 　 　； （2）求证：反比例函数y＝（k＞0）的图象上存在2个“固定点”； （3）将二次函数y＝x2+bx+1（b＜﹣2）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象在x轴上方的部分组成一个类似“W”形状的新图象．若新图象上恰好存在3个“固定点”，求b的值． 54．（2023•栖霞区校级三模）已知二次函数y＝ax2﹣x+c的图象经过点A（﹣2，2），该图象与直线x＝2相交于点B． （1）求点B的坐标； （2）当c＞0时，求该函数的图象顶点纵坐标的最小值； （3）点M（m，0）、N（n，0）是该函数图象与x轴的两个交点．当m＞﹣2，n＜3时，结合函数图象分析a的取值范围． 55．（2023•建邺区校级二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝2x+1的图象的“等值点”． （1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值； （3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围． 56．（2023•南京一模）已知函数y1＝ax2+3ax+1与y2＝ax+5（a为常数，且a≠0）． （1）若a＞0，求证：y1与y2的函数图象总有两个公共点； （2）若a＜，当0＜x＜2时，比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）当﹣4＜x＜1时，y1＜y2，直接写出a的取值范围． 57．（2023•栖霞区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． （1）求抛物线的解析式； （2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； （3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 58．（2022•雨花台区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上． （1）该抛物线的对称轴为 　 　； （2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3，求a，m的值； （3）在（2）的条件下，是否存在实数n，当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5，若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 59．（2022•建邺区二模）我们在研究一个新函数时，常常会借助图象研究新函数的性质．在经历列表、描点、连线的步骤后，就可以得到函数图象．利用此方法对函数y＝﹣（|x|﹣2）2进行探究． 绘制图象： （1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 观察探究： （2）结合图象，写出该函数的一条性质：　 　． （3）方程﹣（|x|﹣2）2＝﹣1的解是 　 　． （4）若关于x的方程﹣（|x|﹣2）2＝x+b有两个不相等的实数解，则b的取值范围是 　 　． 延伸思考： （5）将该函数的图象经过怎样的变换可以得到函数y2＝﹣（|x﹣1|﹣2）2+3的图象？写出变换过程，并直接写出当2＜y2≤3时，自变量x的取值范围． 一十四．四边形综合题（共1小题） 60．（2023•鼓楼区模拟）已知二次函数y＝mx2﹣（2m﹣1）x﹣2． （1）求证：该函数图象与x轴必有交点； （2）当m＜0时，该函数图象顶点的最低点坐标是（ 　 　，　 　） （3）如图，若点A（1，1）、B（3，1）、C（1，﹣1）、D（3，﹣1）四个点构成一个正方形方框，随着m的变化，函数的图象也不断发生变化；此时图象与方框的交点个数为n，请直接写出n的值以及相应的m的范围． 历年南京模考卷二次函数解答题汇总—陆老师编辑 参考答案与试题解析 一．一次函数图象与系数的关系（共1小题） 1．（2022•南京二模）已知一次函数y1＝ax+3a+2（a为常数，a≠0）和y2＝x+1． （1）当a＝﹣1时，求两个函数图象的交点坐标； （2）不论a为何值，y1＝ax+3a+2（a为常数，a≠0）的图象都经过一个定点，这个定点坐标是 　（﹣3，2）　； （3）若两个函数图象的交点在第三象限，结合图象，直接写出a的取值范围． 【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【分析】（1）当a＝﹣1时，求出y1＝﹣x﹣1，联立两函数解析式即可求出交点坐标； （2）将y1＝ax+3a+2变形为a（x+3）+2，即可求出定点坐标； （3）画出函数图象即可求出a的取值范围． 【解答】解：（1）当a＝﹣1时，y1＝﹣x﹣1， 当y1＝y2，得﹣x﹣1＝x+1， 解得x＝﹣1， 当x＝﹣1时，y1＝﹣（﹣1）﹣1＝0， ∴两个函数图象的交点坐标为（﹣1，0）； （2）y1＝ax+3a+2＝a（x+3）+2， 当x+3＝0时，y1＝2， 此时x＝﹣3， ∴不论a为何值，y1＝ax+3a+2（a为常数，a≠0）的图象都经过定点（﹣3，2）， 故答案为：（﹣3，2）； （3）函数图象如图所示： 根据图象可知，两个函数图象的交点在第三象限，a的取值范围是：a＜﹣1或a＞1． 【点评】本题考查了一次函数图象与交点问题，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 二．一次函数与一元一次不等式（共2小题） 2．（2022•建邺区二模）已知一次函数y1＝kx﹣2（k为常数，k≠0）和y2＝﹣x+3． （1）若y1的图象经过点（2，2），求k的值； （2）在（1）的条件下，若y1＜y2，求x的取值范围； （3）当x＞1时，y1＜y2．结合图象，直接写出k的取值范围是 　k≤﹣1　． 【考点】一次函数与一元一次不等式．版权所有 【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观；运算能力． 【分析】（1）把点（2，2）代入y1＝kx﹣2即可求得k的值； （2）解不等式即可求得； （3）观察图象即可求得． 【解答】解：（1）∵y1的图象经过点（2，2）， ∴2＝2k﹣2， 解得k＝2； （2）∵y1＜y2， ∴2x﹣2＜﹣x+3， 解得x＜； （3）由图象可知当x＞1时，y1＜y2，k的取值范围是k≤﹣1， 故答案为：k≤﹣1． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一元一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合是解题的关键． 3．（2022•玄武区二模）已知一次函数y1＝﹣x+m﹣3（m为常数）和y2＝2x﹣6． （1）若一次函数y1＝﹣x+m﹣3的图象与x轴的交点在y轴右侧，求m的取值范围； （2）当x＜3时，y1＞y2，结合图象，直接写出m的取值范围． 【考点】一次函数与一元一次不等式．版权所有 【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力． 【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出m﹣3＞0，求得m＞3； （2）由y1＞y2，得到﹣x+m﹣3＞2x﹣6，解得x＜，根据题意结合图象即可得出≥3，解得m≥6． 【解答】解：（1）∵y1＝﹣x+m﹣3中，k＝﹣1，且一次函数y1＝﹣x+m﹣3的图象与x轴的交点在y轴右侧， ∴b＝m﹣3＞0， ∴m＞3； （2）∵y1＞y2， ∴﹣x+m﹣3＞2x﹣6， ∴x＜， ∵当x＜3时，y1＞y2， ∴≥3， ∴m≥6， 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 4．（2024•鼓楼区校级三模）两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数y＝x+3的图象与函数的图象交点的横坐标可视为方程x2+3x＝1的根． （1）函数y＝x+b的图象与函数的图象有两个不同交点，求b取值范围． （2）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣1（m为常数）． ①设直线y＝﹣2x+1与抛物线y＝﹣x2+2mx﹣1有两个不同交点，求m取值范围． ②已知点A（﹣2，﹣1）、B（2，﹣1），若抛物线y＝﹣x2+2mx﹣1与线段AB只有一个公共点，请直接写出m的取值范围． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；运算能力． 【分析】（1）根据题意关于x的方程x+b＝有两个不相等的实数解，则Δ＝b2+4＞0，然后解不等式即可． （2）根据题意关于x的方程﹣2x+1＝﹣x2+2mx﹣1有两个不相等的实数解，则Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+m﹣2﹣b）＞0，然后解不等式即可． （3）确定函数y＝﹣x2+2mx﹣1过定点（﹣1，0），设定点为C（0，﹣1），而A（﹣2，﹣1）、B（2，﹣1），即点A、B、C在同一直线上，当m＞0时，如图实线部分，新函数图象与线段AB只有一个公共点，则函数不过点B，即m＞1；当m＜0时，同理可得：m＜﹣1，即可求解． 【解答】解：（1）∵函数y＝x+b的图象与函数的图象有两个不同交点， ∴关于x的方程x+b＝有两个不相等的实数解， 方程整理得x2+bx﹣1＝0， 根据题意得Δ＝b2+4＞0， 解得b为任意数． （2）①直线y＝﹣2x+1与抛物线y＝﹣x2+2mx﹣1有两个不同交点， ∴关于x的方程﹣2x+1＝﹣x2+2mx﹣1有两个不相等的实数解， 整理得x2﹣（2m+2）x+2＝0， 根据题意得Δ＝（2m+2）2﹣4×1×2＞0， 解得m＞或m． ②∵y＝﹣x2+2mx﹣1， ∴当x＝0时，y＝﹣1， ∴函数过定点（0，﹣1）； 设定点为C（0，﹣1），而A（﹣2，﹣1）、B（2，﹣1），即点A、B、C在同一直线上， 而抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m， 当m＞0时，如图实线部分，函数图象与线段AB只有一个公共点，则函数不过点B，即m＞1， 当m＜0时，同理可得：m＜﹣1， 从图象看，当m＝0时，也符合题意， 故m的取值范围为：m＞1或m＜﹣1或m＝0． 【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系，函数与方程的关系，解本题的关键是画出图象，分析抛物线与线段AB只有一个交点是解本题的难点． 四．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题） 5．（2024•建邺区校级二模）已知函数（k是常数，k≠0），函数． （1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（2，6），点B（4，n﹣2）． ①求k，n的值． ②当y1＞y2时，直接写出x的取值范围． （2）若点C（8，m）在函数y1的图象上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求m的值． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【分析】（1）①根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可； ②根据图形分布和解答横坐标直接写出不等式解集即可； （2）先根据平移条件得到D（5，m﹣1），再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m值即可． 【解答】解：（1）①∵函数y1和函数y2的图象交于点A（2，6），点B（4，n﹣2）， ∴k＝2×6＝4×（n﹣2），解得：k＝12，n＝5． ②由①可知，反比例函数解析式为y＝，图象分布在第一、三象限，A（2，6），B（4，3） ∴y1＞y2时，x的取值范围为：0＜x＜2或x＞4． （2）∵点C（8，m）在函数y1的图象上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D， ∴D（5，m﹣1）， ∵D恰好落在函数y1＝图象上， ∴5（m﹣1）＝8m，解得m＝﹣． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 五．反比例函数的应用（共2小题） 6．（2023•建邺区二模）某酒杯的轴截面如图①所示，其中杯体轴截面ABC呈曲线形状（忽略杯体的厚度）．点A、C在杯口处，AC＝12cm，点B是曲线上的最低点．当酒杯装满液体时，液体最大深度（最低点B到AC的距离）是4cm．将杯中的液体倒出一部分后，液体的最大深度（最低点B到MN的距离）恰好为2cm，如图②所示． （1）如果杯体轴截面ABC呈抛物线形状，求此时MN的长度； （2）如果杯体轴截面ABC呈双曲线形状，求此时MN的长度． 【考点】反比例函数的应用；二次函数的应用．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【分析】（1）建立适当的坐标系，用待定系数法求函数解析式； （2）建立如图所示坐标系，根据已知条件求出反比例函数解析式，再根据A，B坐标确定出M，N的坐标，然后得出结论． 【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，设y＝ax2， 将C（6，4）代入，得4＝36a， 解得， ∴， 将y＝2代入，得， 解得x＝±32． ∴液面宽为MN长度为； （2）建立如图所示的直角坐标系，设， 在Rt△AEC中，D为AC中点，AC＝12， ，ED＝6． ∵BD＝4， ∴EB＝2． 根据对称性，设点B的坐标为（a，a）． 则点A的坐标为 ． 将B（a，a）， 分别代入 ，得， 解得， ∴． 在 Rt△MEN 中，G为MN中点，BG＝2， 根据对称性，设点M、N的坐标分别为（x，y），（y，x）． ∴点G的坐标为 ，点E的坐标为（x，x）， 又点B的坐标为 ， ∴， ∴， ∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝﹣＝28， 即 EN＝＝2， ∴， ∴液面宽为 ． 【点评】本题考查反比例函数和二次函数的应用，关键是求出函数解析式． 7．（2022•玄武区二模）生活中充满着变化，有些变化缓慢，几乎不被人们所察觉；有些变化太快，让人们不禁发出感叹与惊呼，例如：气温“陡增”，汽车“急刹”，股价“暴涨”，物价“飞涨”等等． 【数学概念】 点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是函数图象上不同的两点，对于A，B两点之间函数值的平均变化率k（A，B）用以下方式定义：k（A，B）＝． 【数学理解】 （1）点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣2x+4图象上不同的两点，求证：k（A，B）是一个定值，并求出这个定值． （2）点C（x3，y3），D（x4，y4）是函数y＝（x＞0）图象上不同的两点，且x4﹣x3＝2．当k（C，D）＝﹣4时，则点C的坐标为 　（，10）　． （3）点E（x5，y5），F（x6，y6）是函数y＝﹣2x2+8x﹣3图象上不同的两点，且x5+x6＜2，求k（E，F）的取值范围． 【问题解决】 （4）实验表明，某款汽车急刹车时，汽车的停车距离y（单位：m）是汽车速度x（单位：km/h）的二次函数．已知汽车速度x与停车距离y部分对应值如表： 汽车速度x 78 80 82 84 86 88 90 停车距离y 35.1 36.8 38.54 40.32 42.14 44 45.9 当x＝100时，y的值为 　56　． 【考点】反比例函数的应用；二次函数的应用；解分式方程．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【分析】（1）根据题目中k（AA，B）的计算方法代入计算即可得出结果； （2）根据题意得出x3•x4＝，与题中已知条件联立求解即可得； （3）先根据题意得出k（E，FE），利用不等式的性质即可得出结果； （4）利用题中结论将数据代入求解即可． 【解答】（1）证明：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣2x+4图象上不同的两点， ∴y1＝﹣2x1+4，y2＝﹣2x2+4， ∴k（A，B）＝＝＝＝＝﹣2， ∴k（A，B）是一个定值，这个定值为﹣2； （2）解：∵点C（x3，y3），D（x4，y4）是函数y＝（x＞0）图象上不同的两点， ∴y3＝，y4＝， ∴k（C，D）＝＝＝﹣＝﹣4， ∴x3•x4＝， 又∵x4﹣x3＝2， ∴联立方程组， 解得， ∴y3＝＝＝10， ∴C（，10）， 故答案为：（，10）； （3）解：∵点E（x5，y5），F（x6，y6）是函数y＝﹣2x2+8x﹣3图象上不同的两点， ∴y5＝﹣2x+8x5﹣3，y6＝﹣2x+8x6﹣3， ∴k（E，F）＝＝＝8﹣2（x5+x6）， ∵x5+x6＜2， ∴﹣2（x5+x6）＞﹣4， ∴﹣2（x5+x6）+8＞4， ∴k（E，F）＞4； （4）解：∵y与x的关系是二次函数， ∴设y与x的函数解析式为y＝ax2+bx+c， 把x＝80，y＝36.8，x＝82，y＝38.54，x＝90，y＝45.9代入解析式得： ， 解得：， ∴y与x的函数解析式为y＝0.005x2+0.06x， ∴当x＝100时，y＝0.005×10000+0.06×100＝56． 故答案为：56． 【点评】本题主要考查一次函数、二次函数及反比例函数综合应用，理解题意是解题关键． 六．二次函数的性质（共5小题） 8．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3），B（m，y1），C（m+2，y2）都在函数y＝ax2+bx+3（a＞0）的图象上． （1）求该图象的对称轴； （2）比较y1，y2的大小，并说明理由． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【分析】（1）依据题意，令x＝0，则y＝3，从而抛物线过点（0，3），又点（﹣2，3）在抛物线y＝ax2+bx+3上，进而可以判断得解； （2）依据题意，由对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，从而b＝2a，又作差y2﹣y1＝4a （m+2），结合a＞0，从而可以根据m进行分类讨论可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵令x＝0，∴y＝3， ∴抛物线过点（0，3）． ∵点（﹣2，3）在抛物线y＝ax2+bx+3上， ∴点（0，3）和点（﹣2，3）是抛物线上的对称点． ∴对称轴为直线x＝＝﹣1． （2）由题意，∵对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， ∴b＝2a． ∴y2﹣y1＝4a （m+2）． ∵a＞0， ∴当m＜﹣2时，y1＞y2； 当m＝﹣2时，y1＝y2； 当m＞﹣2时，y1＜y2． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 9．（2024•玄武区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值； （2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可， （2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答． 【解答】解：（1）∵对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2， ∴a+b+c＝4a+2b+c， ∴3a+b＝0， ∴＝﹣3． ∵对称轴为直线x＝﹣＝， ∴t＝． （2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2， ∴，x1＜x2， ∵y1＜y2， ∵a＞0， ∴（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧， ∴＞t， 即t≤． 【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 10．（2023•鼓楼区二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+（k﹣2）x+3． （1）该抛物线经过一个定点：　（0，3）　（写出坐标）； （2）点P（m，n）是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N． ①若N＝3，求k的值； ②若﹣1＜k＜3，结合该抛物线，直接写出N的取值范围． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【分析】（1）根据抛物线的解析式即可得到y＝x（x+k﹣2）+3，即可得到当x＝0时，y＝3，即可得出答案． （2）①由二次函数图象的顶点公式可求得k值； ②已知k的取值范围，可求得顶点纵坐标的取值范围，也就得到N的取值范围． 【解答】（1）解：∵y＝x2+（k﹣2）x+3， ∴y＝x（x+k﹣2）+3， ∴当x＝0时，y＝3， ∴无论k取何值，抛物线经过（0，3）． 故答案为：（0，3）． （2）①∵y＝x2+（k﹣2）x+3，a＝1＞0， ∴二次函数的图象是开口向上的，点P为顶点时的n最小， ∵N＝3， ∴， 解得k＝2， 答：k的值为2． ②∵﹣1＜k＜3， ∴0≤（k﹣2）2＜9， ∴﹣9＜﹣（k﹣2）2≤0， ∵， ∴． 答：N的取值范围为． 【点评】本题考查了二次函数的性质及最值，解题的关键是掌握二次函数的性质及最值的求法． 11．（2023•鼓楼区校级三模）已知二次函数的图象顶点坐标是（2，3）． （1）设二次函数解析式为：y＝a（x﹣h）2+k，h＝　2　，k＝　3　； （2）点P（x1，y1），点Q（x2，y2）在函数图象上，x1＜x2且x1+x2＞4，比较y1与y2的大小； （3）若该二次函数的图象与一次函数y＝x+2的图象有2个公共点，结合图象，直接写出a的取值范围． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标求解即可； （2）利用作差法求解即可． （3）将二次函数和一次函数联立得到一元二次方程，然后令判别式大于零求解即可． 【解答】解：（1）二次函数的图象顶点坐标是（2，3）， ∴y＝a（x﹣2）2+3， ∴h＝2，k＝3， 故答案为：2，3； （2）∴y＝a（x﹣2）2+3， ∴y1﹣y2＝[a（x1﹣2）2+3]﹣[a（x2﹣2）2+3]， ＝a（x1﹣2）2﹣a（x2﹣2）2 ＝a[（x1﹣2）2﹣（x2﹣2）2] ＝a（x1+x2﹣4）（x1﹣x2）， ∵x1＜x2，x1+x2＞4， ∴x1+x2﹣4＞0，x1﹣x2＜0， ∴当a＞0时，y1﹣y2＜0即y1＜y2； 当a＜0时，y1﹣y2＞0即y1＞y2； （3）由题意得，，即a（x﹣2）2+3＝x+2， 整理得，ax2﹣（4a+1）x+4a+1＝0， ∵该二次函数的图象与一次函数y＝x+2的图象有2个公共点， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（4a+1）]2﹣4a（4a+1）＞0， 解得a＞﹣且a≠0． 【点评】本题考查了二次函数解析式的图象和性质，二次函数与一次函数的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握知识点是解题的关键． 12．（2022•鼓楼区二模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）． （1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为 　（1，2）　； ②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为 　2　； ③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为 　3　． （2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值． 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【分析】（1）①把m＝1代入，得y＝x2﹣2x+3，利用顶点坐标公式求解即可； ②y＝x2﹣2x+3，对称轴是直线x＝1，在0≤x≤4之间，故可求最小值； ③y＝x2﹣2x+3，在2≤x≤5时，y随x增大而增大，故可求最小值； （2）根据最小值，即可求得m值，根据范围判断即可． 【解答】解：（1）当m＝1时，y＝x2﹣2x+3， ①y＝x2﹣2x+3 ＝x2﹣2x+1+2， ＝（x﹣1）2+2， ∴顶点坐标为（1，2）， 故答案为：（1，2）； ②y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， 所以最小值为2， 故答案为：2； ③y＝x2﹣2x+3， 当2≤x≤5时，在对称轴x＝1的右侧， y随x的增大而增大， ∴当x＝2时，取最小值y＝22﹣2×2+3＝3， 故答案为：3； （2）∵对称轴为x＝， 当m＜﹣1时，且在﹣1≤x≤3时有最小值， ∴x＝﹣1时，有最小值1， ∴1＝（﹣1）2﹣2m×（﹣1）+3， 解得m＝； 当﹣1≤m≤3时，且在﹣1≤x≤3时有最小值， ∴x＝m时，有最小值1， ∴1＝m2﹣2m×m+3， ∴m＝， ∵﹣1≤m≤3， ∴m＝； 当m＞3时，且在﹣1≤x≤3时有最小值， ∴x＝3时，有最小值1， ∴1＝32﹣2m×3+3， 解得m＝＜3，舍去． 综上所述，m＝或． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、最值公式、顶点坐标公式． 七．二次函数图象与系数的关系（共12小题） 13．（2024•秦淮区模拟）已知二次函数y＝x2﹣2（a﹣1）x+a+1： （1）如果直线y＝x+1经过二次函数y＝x2﹣2（a﹣1）x+a+1图象的顶点P，求此时a的值； （2）随着a的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由； （3）将该二次函数以x＝3为对称轴翻折后的图象过（a，b）（a未知，b为常数），求原函数与y轴的交点纵坐标． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与几何变换．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【分析】（1）由题意得y＝x2﹣2（a﹣1）x+a+1＝（x﹣a+1）2﹣a2+3a，得顶点坐标为P（a﹣1，﹣a2+3a）．又点P在直线y＝x+1图象上，故﹣a2+3a＝a﹣1+1．再计算即可． （2）由顶点P的坐标为（a﹣1，﹣a2+3a），可设x＝a﹣1，故y＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣1）2+（a﹣1）+2．得y＝﹣x2+x+2， （3）由原抛物线的顶点坐标为P（a﹣1，﹣a2+3a），又x＝3为对称轴翻折后的图象过（a，b），故＝3，再计算即可． 【解答】解：（1）由题意，∵y＝x2﹣2（a﹣1）x+a+1＝（x﹣a+1）2﹣a2+3a， ∴P（a﹣1，﹣a2+3a）． 又∵点P在直线y＝x+1图象上， ∴﹣a2+3a＝a﹣1+1． ∴a＝0或2． （2）顶点P是在抛物线y＝﹣x2+x+2图象上，理由如下： ∵顶点P的坐标为（a﹣1，﹣a2+3a）， 又令x＝a﹣1， ∴y＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣1）2+（a﹣1）+2． ∴y＝﹣x2+x+2， ∴二次函数图象的顶点P是在抛物线y＝﹣x2+x+2图象上， （3）∵原抛物线的顶点坐标为P（a﹣1，﹣a2+3a）， 又x＝3为对称轴翻折后的图象过（a，b）， ∴＝3， ∴a＝， ∴原函数与y轴的交点纵坐标为a+1＝． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数解析式，掌握这些知识是解题关键． 14．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系xOy中，点（1，y1），（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2mx+m2上． （1）求抛物线的顶点 　（m，0）　； （2）若y1＜y2，求m的取值范围； （3）若点（x0，y0）在抛物线上，若存在﹣1＜x0＜0，使y1＜y0＜y2成立，求m的取值范围． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【分析】（1）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，可直接得到答案； （2）由y1＜y2，得到1﹣2m+m2＜9﹣6m+m2，解不等式即可； （3）由题意可知或，解不等式组即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2＝（x﹣m）2． ∴抛物线的顶点坐标为（m，0）． 故答案为：（m，0）； （2）∵点（1，y1），（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2mx+m2上，且y1＜y2， ∴1﹣2m+m2＜9﹣6m+m2， ∴m＜2； （3）∵点（x0，y0）在抛物线上，存在﹣1＜x0＜0，使y1＜y0＜y2成立， ∴或， 解得0＜m＜． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 15．（2024•秦淮区二模）已知二次函数y＝ax2+（1﹣4a）x+3． （1）求证：不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点； （2）A（2﹣m，y1）、B（2+m，y2）（m＞0）是该函数图象上的两个点，试用两种不同的方法证明y1＜y2； （3）当3＜x＜4时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】推理能力． 【分析】（1）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝7，进而即可得到结论； （2）分别用作差法和二次函数图象的对称性比较y1、y2大小即可； （3）分当a＞0时和a＜0时，对抛物线的对称轴位置进行讨论即可． 【解答】解：（1）∵当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝7， ∴不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点（0，3）、（4，7）； （2）方法一、∵A（2﹣m，y1）、B（2+m，y2）（m＞0）是该函数图象上的两个点， ∴，， ∴ ＝a（﹣4m）+（1﹣4a）（﹣2m） ＝﹣2m， ∵m＞0， ∴y1﹣y2＜0，即y1＜y2； 方法二、∵抛物线的对称轴为：直线， ， 当a＞0时，，此时，y1＜y2， 当a＜0时，，此时，y1＜y2， 综上所述：y1＜y2； （3）∵当a＞0时，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为：直线， ∴3＜x＜4时，y随x的增大而增大，符合题意； 当a＜0且或时，y随x的增大而减小或y随x的增大而增大， ∴或a＜． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的对称性是关键． 16．（2024•雨花台区模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k（k为常数）． （1）若抛物线经过点（1，k2），求k的值； （2）若抛物线经过点（2k，y1）和点（2，y2），且y1＞y2，求k的取值范围； （3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值﹣，求k的值． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；二次函数的最值．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质． 【分析】（1）把点坐标代入解析式即可； （2）分别把点（2k，y1）和点（2，y2）代入函数解析式，表示y1、y2利用条件构造关于k的不等式； （3）根据平移得到新顶点，用k表示顶点坐标，找到最小值求k． 【解答】解：（1）把点（1，k2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得 k2＝12﹣2（k﹣1）+k2﹣k 解得k＝ （2）把点（2k，y1）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得 y1＝（2k）2﹣2（k﹣1）•2k+k2﹣k＝k2+k 把点（2，y2）代入抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k，得 y2＝22﹣2（k﹣1）×2+k2﹣k＝k2﹣k+8 ∵y1＞y2 ∴k2+k＞k2﹣k+8 解得k＞1 （3）抛物线y＝x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k解析式配方得 y＝（x﹣k+1）2+（﹣） 将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为 y＝（x﹣k）2+（﹣） 当k＜1时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴x＝1时，y最小＝（1﹣k）2﹣k﹣1＝k2﹣k， ∴k2﹣k＝﹣，解得k1＝1，k2＝ 都不合题意，舍去； 当1≤k≤2时，y最小＝﹣k﹣1， ∴﹣k﹣1＝﹣ 解得k＝1； 当k＞2时，1≤x≤2对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∴x＝2时，y最小＝（2﹣k）2﹣k﹣1＝k2﹣k+3， ∴k2﹣k+3＝﹣ 解得k1＝3，k2＝（舍去） 综上，k＝1或3． 【点评】本题为二次函数综合题，考查二次函数图象性质及二次函数图象平移．解答时注意用k表示顶点． 17．（2024•建邺区一模）已知函数y＝ax2+（1﹣a）x﹣1（a为常数，且a≠0）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有公共点； （2）当a＜﹣2时，该函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB长度的取值范围； （3）当0≤x≤1时，y≤0．直接写出a的取值范围． 【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【分析】（1）利用根的判别式即可判断； （2）解方程ax2+（1﹣a）x﹣1＝0求得x1＝1，x2＝﹣，则A（1，0），B（﹣，0），AB＝|1+|，根据a＜﹣2即可求得线段AB长度的取值范围； （3）由解析式可知抛物线一定过点（1，0），（0，﹣1），分两种情况讨论即可求得a的取值范围． 【解答】（1）证明：令y＝0，则ax2+（1﹣a）x﹣1＝0， ∵Δ＝（1﹣a）2﹣4a×（﹣1）＝（1+a）2≥0， ∴该函数的图象与x轴总有公共点； （2）解：由方程ax2+（1﹣a）x﹣1＝0解得， ∴x1＝1，x2＝﹣， ∴A（1，0），B（﹣，0）， ∴AB＝|1+|， ∵a＜﹣2， ∴＜AB＜1； （3）如图， ∵x＝1时，y＝ax2+（1﹣a）x﹣1＝0，x＝0时，y＝﹣1， ∴抛物线一定过点（1，0），（0，﹣1）， ∵当0≤x≤1时，y≤0， ∴函数y＝ax2+（1﹣a）x﹣1（a为常数，且a≠0）的图象开口向上时满足题意，则a＞0， 函数y＝ax2+（1﹣a）x﹣1（a为常数，且a≠0）的图象开口向下时，﹣，解得﹣1≤a＜0， ∴当0≤x≤1时，y≤0，则a的取值范围是a＞0或﹣1≤a＜0． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，分类讨论思想的运用是解题的关键． 18．（2024•建邺区二模）已知二次函数y＝x2﹣mx﹣2（m为常数）的图象与x轴的公共点为A（x1，0），B（x2，0）． （1）当x1＝1时，求x2的值； （2）当﹣1＜x1＜1，且x1≠0时，求m的取值范围； （3）线段AB长的最小值为 　2　． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．版权所有 【分析】（1）利用根与系数的关系即可求得x2的值； （2）求得当x1＝﹣1和x＝1时m的值，即可得到当﹣1＜x1＜1，且x1≠0时，求m的取值范围； （3）利用函数与方程的关系得到x1+x2＝m，x1x2＝﹣2，然后根据AB＝|x1﹣x2|＝＝，求得AB长的最小值为2． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣mx﹣2（m为常数）的图象与x轴的公共点为A（x1，0），B（x2，0）， ∴x1，x2是方程x2﹣mx﹣2＝0的两根， ∴x1x2＝﹣2， ∵x1＝1， ∴x2＝﹣2； （2）当x1＝﹣1时，则A（﹣1，0）， 把A的坐标代入y＝x2﹣mx﹣2得，1+m﹣2＝0， ∴m＝1， 当x1＝1时，则A（1，0）， 把A的坐标代入y＝x2﹣mx﹣2得，1﹣m﹣2＝0， ∴m＝﹣1， ∴当﹣1＜x1＜1，且x1≠0时，m的取值范围是m＜﹣1或m＞1； （3）∵二次函数y＝x2﹣mx﹣2（m为常数）的图象与x轴的公共点为A（x1，0），B（x2，0）， ∴x1，x2是方程x2﹣mx﹣2＝0的两根， ∴x1+x2＝m，x1x2＝﹣2， ∴AB＝|x1﹣x2|＝＝， ∴m＝0时，AB有最小值2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 19．（2024•南京二模）二次函数y＝a（x﹣h）2+4的图象过点（﹣3，m），（5，m）． （1）h的值为 　1　； （2）若（0，y1），（n，y2）是该函数图象上的两点，当a＜0，n＞2时，试说明：y1＞y2； （3）若关于x的方程a（x﹣h）2+4＝2a+5有一个正根和一个负根，直接写出a的取值范围． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【分析】（1）依据题意，由二次函数y＝a（x﹣h）2+4的图象过点（﹣3，m），（5，m），则对称轴是直线x＝h＝，进而可以判断得解； （2）依据题意，由a＜0，故抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合（1）对称轴是直线x＝1，又n＞2，从而n﹣1＞2﹣1＝1，故n﹣1＞1﹣0，又（0，y1），（n，y2）是该函数图象上的两点，故可判断得解； （3）依据题意，由h＝1，即方程为a（x﹣1）2+4＝2a+5，又a≠0，则（x﹣1）2＝2+≥0，从而≥﹣2，又x＝1±，根据方程有一个正根和一个负根，从而1﹣＜0，故＞1，求出＞﹣1，再分类讨论即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y＝a（x﹣h）2+4的图象过点（﹣3，m），（5，m）， ∴对称轴是直线x＝h＝． ∴h＝1． 故答案为：1． （2）由题意，∵a＜0， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． 由（1）对称轴是直线x＝1． ∵n＞2， ∴n﹣1＞2﹣1＝1． 又1﹣0＝1， ∴n﹣1＞1﹣0． 又（0，y1），（n，y2）是该函数图象上的两点， ∴y1＞y2． （3）由题意，h＝1． ∴方程为a（x﹣1）2+4＝2a+5． 又a≠0， ∴（x﹣1）2＝2+≥0． ∴≥﹣2． ∴x＝1±． ∵方程有一个正根和一个负根， ∴1﹣＜0． ∴＞1． ∴2+＞1． ∴＞﹣1． ①若a＜0， ∴1＜﹣a． ∴a＜﹣1． ②若a＞0， ∴1＞﹣a． ∴a＞﹣1． ∴此时a＞0． 综上，a＜﹣1或a＞0． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 20．（2024•鼓楼区一模）在平面直角坐标系，二次函数y＝ax2﹣bx﹣a的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在该函数的图象上． （1）写出该函数图象的对称轴； （2）已知点M（1，1﹣a），N（3，﹣3）． ①若函数图象恰好经过点M，求a的值； ②若函数图象与线段MN只有一个交点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力． 【分析】（1）先求得点A的坐标，再根据平移的性质得到点B的坐标，根据A、B关于对称轴对称，可以求得该抛物线的对称轴； （2）①根据对称轴公式求得b＝﹣4a，则y＝ax2﹣4ax﹣a，代入M（1，1﹣a）即可求得a的值； ②根据题意，可以画出相应的函数图象，然后利用分类讨论的方法即可得到a的取值范围． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣bx﹣a的图象与y轴交于点A， ∴A（0，﹣a）， 点A向右平移4个单位长度，得到点B（4，﹣a）， ∴点B（4，﹣a）； ∵A与B关于对称轴x＝2对称， ∴抛物线对称轴x＝2； （2）①∵对称轴x＝2， ∴b＝4a， ∴y＝ax2﹣4ax﹣a， ∵函数图象恰好经过点M（1，1﹣a）， ∴1﹣a＝a﹣4a﹣a， ∴a＝﹣； ②当a＞0时，抛物线开口向上， ∴﹣3≤﹣4a， 解得a≤， 故0＜a≤， 当a＜0时，抛物线开口向下， ∴1﹣a≥﹣4a， 解得a≥﹣， 故﹣≤a＜0， 综上，若函数图象与线段MN只有一个交点，a的取值范围是0＜a≤或﹣≤a＜0． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合是解题的关键． 21．（2024•鼓楼区模拟）已知二次函数y＝x2+mx+n，其中m，n为实数． （1）若该函数的对称轴是直线x＝2，则m＝　﹣4　； （2）若该函数的图象经过点（m，9n），请判断该函数的图象与x轴的交点个数； （3）该函数的图象经过点（x1，0），（x2，0），（1，a），（5，b）．若x2﹣x1＝1时，求a+b的取值范围． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．版权所有 【分析】（1）依据题意，由对称轴是直线x＝2，从而﹣＝2，计算可以得解； （2）依据题意，令 y＝0，故 x2+mx+n＝0，从而Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4n，又函数的图象经过点（m，9n），可得m2＝4n，最后可以判断Δ＝0，进而可以得解； （3）依据题意，函数的图象经过点（x1，0），（x2，0），从而x1+x2＝﹣m，x1x2＝n，由，可得m2﹣1＝4n，再将（1，a），（5，b）代入 y＝x2+mx+n 得，a＝1+m+n，b＝25+5m+n，故 ＝， 再结合二次函数的性质可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵对称轴是直线x＝2， ∴﹣＝2． ∴m＝﹣4． 故答案为：﹣4． （2）由题意，当y＝0时， ∴x2+mx+n＝0． ∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4n． 又∵函数的图象经过点（m，9n）， ∴m2+m2+n＝9n． ∴m2＝4n． ∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4n＝0． ∴方程x2+mx+n＝0 有两个相等的实数根． ∴函数y＝x2+mx+n的图象与x轴有一个交点． （3）函数的图象经过点（x1，0），（x2，0）， ∴x1，x2是x2+mx+n＝0 的根． ∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝n． ∵x2﹣x1＝1， ∴． ∴m2﹣1＝4n． 将（1，a），（5，b）代入y＝x2+mx+n得， a＝1+m+n，b＝25+5m+n， ∴ ＝， ∴． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 22．（2023•鼓楼区校级模拟）已知抛物线y＝（x﹣2a）（x﹣2）． （1）若a＝0，当﹣3≤x＜2时，y的取值范围为 　﹣1≤y≤15　； （2）写出抛物线和x轴交点的个数，并说明理由； （3）已知点A（﹣1，0），B（4，0），若该抛物线与线段AB只有一个公共点，求出此时a的取值范围． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【分析】（1）先确定抛物线的顶点坐标，再计算出x＝﹣3对应的函数值，然后根据二次函数的性质求解； （2）由y＝（x﹣2a）（x﹣2）可得抛物线与x轴交点坐标为（2a，0），（2，0），当a＝1时，有一个交点，当a≠1时，有两个交点； （3）由y＝（x﹣2a）（x﹣2）可得抛物线与x轴交点坐标为（2a，0），（2，0），分类讨论点（2a，0）不在线段AB上，或（2a，0）与（2，0）重合． 【解答】解：（1）若a＝0，则y＝x（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣1）， 当﹣3≤x＜2时，x＝﹣3时，函数有最大值y＝15，x＝1时有最小值﹣1， ∴当﹣3≤x＜2时，y的取值范围为﹣1≤y≤15． 故答案为：﹣1≤y≤15． （2）∵y＝（x﹣2a）（x﹣2）， ∴抛物线与x轴交点坐标为（2a，0），（2，0）， 当a＝1时，有一个交点，当a≠1时，有两个交点； （3）∵y＝（x﹣2a）（x﹣2）， ∴抛物线与x轴交点坐标为（2a，0），（2，0）， ∴点（2，0）在线段AB上， ∴（2a，0）不在线段AB上，或（2a，0）与（2，0）重合， ∴2a＜﹣1或2a＞4或2a＝2， ∴a＜﹣或a＞2或a＝1． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的交点式与函数图象的关系． 23．（2023•南京三模）已知二次函数y＝mx2+nx+3m（m≠0）与y＝x﹣1交于点A（1，0）和点B． （1）求m，n满足的关系式； （2）该函数图象的顶点坐标是 　（2，﹣m）　.（用含m的代数式表示） （3）当3时，结合图象，直接写出m的取值范围． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【分析】（1）将点A（1，0）代入y＝mx2+nx+3m（m≠0）之中即可得出m，n满足的关系式； （2）根据（1）中m，n满足的函数关系式得n＝﹣4m，将其代入二次函数的解析式整理得y＝m（x﹣2）2﹣m，据此可得出顶点坐标； （3）点B（t，t﹣1），则，利用函数的图象有交点转化为方程组，消去y得到关于x的一元二次方程，则这个方程的解为1和t，由根与系数的关系得，结合得，然后利用不等式的性质分类讨论即可得出答案． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝mx2+nx+3m（m≠0）与y＝x﹣1交于点A（1，0）， ∴m+n+3m＝0， 整理得：4m+n＝0， ∴m，n满足的关系式为：4m+n＝0． （2）由（1）得：n＝﹣4m， ∴y＝mx2+nx+3m＝mx2﹣4mx+3m＝m（x﹣2）2﹣m， ∴该函数的顶点坐标是（2，﹣m）． （3）m的取值范围是：或． 理由如下： 设点B的横坐标为t，则点B的纵坐标为t﹣1，即B（t，t﹣1）， ∴， ∵y＝mx2+nx+3m（m≠0）与y＝x﹣1交于点A（1，0），B（t，t﹣1）， ∴点A，B的坐标为方程组的解， 消去y得：mx2+nx+3m＝x﹣1， 整理得：mx2+（n﹣1）x+3m+1＝0， 由（2）得：n＝﹣4m， ∴mx2﹣（4m+1）x+3m+1＝0（m≠0）， ∴1和t为方程mx2﹣（4m+1）x+3m+1＝0的两个实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， （ⅰ）当时，则， 整理的：， ①当m＞0时， 由，解得：m＜1，由，解得：， ∴， ②m＜0时，，故无解； （ⅱ）当时，则， 整理得：， 显然：m＜0， 由，解得：，由，解得：， ∴． 综上所述：m的取值范围是：或． 【点评】此题主要考查了二次函数的顶点坐标，二次函数与一次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，不等式的性质等，熟练掌握函数交点坐标的意义及一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键，难点分类讨论思想在解题中的应用． 24．（2023•建邺区一模）已知二次函数y＝mx2﹣6mx+4（m为常数）． （1）不论m为何值，该函数的图象都会经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 　（0，4）　，　（6，4）　； （2）若点A（1，a），B（3，b），C（4，c）在该函数图象上，当abc＜0时，求m的取值范围． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【分析】（1）由y＝mx2﹣6mx+4＝mx（x﹣6）+4，所以当x＝0时，y＝4，当x﹣6＝0，即x＝6时，y＝0，即可求得定点坐标； （2）分别求出a，b，c，利用abc＜0，得出关于m的不等式组，求出m的值即可． 【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣6mx+4＝mx（x﹣6）+4． 因为该函数的图象都会经过两个定点， 所以当x＝0时，y＝4， 当x﹣6＝0，即x＝6时，y＝4， 所以该函数图象始终过定点（0，4）、（6，4）； 故答案为：（0，4），（6，4）； （2）由题意可知，a＝m﹣6m+4＝﹣5m+4， b＝9m﹣18m+4＝﹣9m+4， c＝16m﹣24m+4＝﹣8m+4， ∵abc＜0， ∴（﹣5m+4）（﹣9m+4）（﹣8m+4）＜0， ∴（﹣5m+4），（﹣9m+4），（﹣8m+4）的负数有奇数个， 当负数有1个时，﹣9m+4＜0且﹣8m+4＞0， ∴＜m＜； 当负数有3个时，﹣5m+4＜0，﹣9m+4＜0，﹣8m+4＜0， ∴m＞， ∴m的取值范围为：＜m＜或m＞． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 八．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题） 25．（2024•秦淮区一模）点A（﹣1，y1）和点B（2，y2）在二次函数y＝x2+mx+n2（m，n是常数）的图象上． （1）当y1＝y2时，求m的值； （2）当y1＜2时，求证y2＞y1． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【分析】（1）代入坐标得到y1＝1﹣m+n2，y2＝4+2m+n2，根据y1＝y2，列出方程解出m值即可； （2）根据y1＝1﹣m+n2＜2得到2m＞2n2﹣2，代入y2，y2＝4+2m+n2＞4+2n2﹣2+n2＝2+3n2即可得以证明． 【解答】（1）解：∵y1＝1﹣m+n2，y2＝4+2m+n2，且y1＝y2， ∴1﹣m+n2＝4+2m+n2， ∴m＝﹣1， （2）证明：∵y1＜2， ∴y1＝1﹣m+n2＜2， ∴﹣m+n2＜1， ∴m＞n2﹣1， ∴2m＞2n2﹣2， ∴，y2＝4+2m+n2＞4+2n2﹣2+n2＝2+3n2， ∵n2≥0， ∴2+3n2≥2， ∴y2＞2+3n2≥2＞y1． ∴y2＞y1． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标特征是关键． 九．二次函数图象与几何变换（共1小题） 26．（2024•六合区校级三模）已知二次函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣4），且经过点（1，0）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当﹣5＜x＜0时，y的取值范围为 　﹣4≤y＜12　． （3）该二次函数图象关于x轴对称的图象所对应的函数表达式为 　y＝﹣（x+1）2+4　． 【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】推理能力． 【分析】（1）设二次函数的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，根据顶点坐标求出h＝﹣1，k＝﹣4，再将点（1，0）代入解析式即可求得a＝1； （2）求出当x＝﹣5和x＝0时的函数值，再结合函数的最值，进行比较即可求出当﹣5＜x＜0时，函数值的范围； （3）根据关于x轴对称函数的图象的特征是：当自变量取相同x时，对应的函数值互为相反数，即可求解． 【解答】解：（1）设二次函数的表达式为y＝a（x﹣h）2+k， ∵顶点坐标是（﹣1，﹣4）， ∴h＝﹣1，k＝﹣4， ∴二次函数解析式为y＝a（x+1）2﹣4， 又点（1，0）在二次函数图象上，将点（1，0）代入y＝a（x+1）2﹣4，即0＝a（1+1）2﹣4， 解得a＝1， ∴二次函数解析式为y＝（x+1）2﹣4． （2）当x＝﹣5时，y＝（﹣5+1）2﹣4＝12， 当x＝0时，y＝（0+1）2﹣4＝﹣3， ∵二次函数y＝（x+1）2﹣4对称轴为直线x＝﹣1，开口向上， ∴当x≤﹣1，y随x的增大而减小；当x＞﹣1，y随x的增大而增大； ∴在x＝﹣1，取得最小值为y＝﹣4， ∴当﹣5＜x＜0时，﹣4≤y＜12， 故答案为：﹣4≤y＜12； （3）∵关于x轴对称的函数图象的特征是：当自变量取相同x时，对应的函数值互为相反数， ∴二次函数y＝（x+1）2﹣4关于x轴对称的图象所对应的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4， 故答案为：y＝﹣（x+1）2+4． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，以及关于x轴对称的函数图象的特征，熟练掌握二次函数的图象和性质，以及关于x轴对称的函数图象的特征是解题的关键． 一十．待定系数法求二次函数解析式（共2小题） 27．（2023•鼓楼区一模）已知二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）． （1）求该二次函数的表达式； （2）当0＜x＜3时，y的取值范围为 　2≤y＜6　； （3）已知点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）在该二次函数的图象上，若y1＞y2，直接写出m的取值范围． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【分析】（1）把（2，3）代入解析式求出a即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）根据已知条件结合二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）， ∴4+2（a﹣2）+3＝3， 解得a＝0， ∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+3； （2）∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，y的最小值为2， 当x＝0时，y＝3， 当x＝3时，y＝（3﹣1）2+2＝6， ∴0＜x＜3时，y的取值范围为2≤y＜6， 故答案为：2≤y＜6； （3）∵点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）且y1＞y2，对称轴为直线x＝1， ∴＜1， 解得m＜， ∴m的取值范围为m． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 28．（2022•秦淮区二模）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，1），与y轴的交点坐标是（0，5）． （1）求该二次函数的表达式； （2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点，求n的取值范围． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】函数思想；二次函数图象及其性质；推理能力． 【分析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，再将（0，5）代入即可求解； （2）二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有两个交点可列出方程a（x﹣2）2+1＝x+n，再利用Δ＞0，即可求出解． 【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点是（2，1）， ∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+1， 将点（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+1， 得5＝a（0﹣2）2+1， 解得：a＝1， ∴二次函数的表达式为：y＝（x﹣2）2+1． （2）二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点， ∴得（x﹣2）2+1＝x+n， 化简得：x2﹣5x+5﹣n＝0， ∵有2个公共点， ∴Δ＞0， ∴25﹣4（5﹣n）＞0， 解得n＞． ∴n的取值范围为：n． 【点评】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的关系．理解题意并会待定系数法求函数解析式是解题的关键． 一十一．抛物线与x轴的交点（共14小题） 29．（2024•玄武区校级模拟）已知二次函数y＝mx2﹣（2+3m）x+6（m为常数，且m≠0）． （1）判断该二次函数图象与x轴交点的个数，说明理由； （2）不论m为何值，该函数图象都会经过两个定点，这两个定点的坐标分别是 　（0，6）　、　（3，0）　． （3）该函数图象经过的象限随m值的变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的取值范围． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝（3m﹣2）2，当（3m﹣2）2＝0，该二次函数图象与x轴有1个交点；当（3m﹣2）2＞0，该二次函数图象与x轴有2个交点； （2）把y＝mx2﹣（2+3m）x+6变形为关于m的方程得到（x2﹣3x）m＝2x+y﹣6，由于m有无数个值，所以x2﹣3x＝0，2x+y﹣6＝0，解方程得到定点坐标； （3）解方程mx2﹣（2+3m）x+6＝0得到抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（，0），然后讨论：当m＝时，抛物线开口向上，抛物线的顶点在x轴的正半轴上，此时抛物线经过第一、二象限，当m＞0且m≠时，根据二次函数的性质得到抛物线经过第一、二、四象限，当m＜0时，抛物线开口向上，根据二次函数的性质得到抛物线经过第一、二、三、四象限． 【解答】解：（1）该二次函数图象与x轴交点的个数为1个或2个． 利用如下：∵Δ＝（2+3m）2﹣4×m×6 ＝9m2﹣12m+4 ＝（3m﹣2）2， ∴当（3m﹣2）2＝0，即Δ＝0时，该二次函数图象与x轴有1个交点； 当（3m﹣2）2＞0，即Δ＞0时，该二次函数图象与x轴有2个交点； （2）∵y＝mx2﹣（2+3m）x+6， ∴（x2﹣3x）m＝2x+y﹣6， ∵m≠0， ∴x2﹣3x＝0，2x+y﹣6＝0， 解得x＝0，y＝6或x＝3，y＝0， ∴不论m为何值，该函数图象都会经过定点（0，6）和（3，0）； 故答案为：（0，6）和（3，0）； （3）当y＝0时，mx2﹣（2+3m）x+6＝0， 解得x1＝3，x2＝， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（，0）， 当m＝时，抛物线开口向上，抛物线与x轴的一个交点在x轴的正半轴上，此时抛物线经过第一、二象限， 当m＞0且m≠时，抛物线开口向上，抛物线与x轴的两交点在x轴的正半轴上，此时抛物线经过第一、二、四象限， 当m＜0时，抛物线开口向上，抛物线与x轴的两交点在y轴的两侧，此时抛物线经过第一、二、三、四象限， 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 30．（2024•浦口区校级三模）已知二次函数． （1）直接写出该函数图象的对称轴． （2）求证：当|a|＞1时，该函数图象与x轴的两个交点均在正半轴． （3）点A（a+1，y1）、B（2a﹣2，y2）在该函数图象上，直接写出y1与y2的大小关系及相应的a的取值范围． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【分析】（1）依据题意得，抛物线对称轴是直线x＝﹣＝1，即可得解； （2）依据题意，令y＝ax2﹣2ax+a﹣＝[ax﹣（a﹣1）][x﹣（1+）]＝0，从而可得x＝＝1﹣或x＝1+，故该函数图象与x轴的两个交点为（1﹣，0），（1+，0），又|a|＞1，则0＜＜1，从而﹣1＜＜1，进而可以判断得解； （3）依据题意，对称轴是直线x＝1，又点A（a+1，y1）、B（2a﹣2，y2）在该函数图象上，故可得|a+1﹣1|＝|a|，|2a﹣2﹣1|＝|2a﹣3|，进而再根据a＞0和a＜0分别讨论计算可以得解． 【解答】（1）解：由题意得，抛物线对称轴是直线x＝﹣＝1． （2）证明：由题意，令y＝ax2﹣2ax+a﹣＝[ax﹣（a﹣1）][x﹣（1+）]＝0． ∴x＝＝1﹣或x＝1+． ∴该函数图象与x轴的两个交点为（1﹣，0），（1+，0）． ∵|a|＞1， ∴0＜＜1． ∴﹣1＜＜1． ∴0＜1+＜2，﹣1＜﹣＜1． ∴0＜1﹣＜2． ∴该函数图象与x轴的两个交点均在正半轴． （3）解：由题意，对称轴是直线x＝1， 又点A（a+1，y1）、B（2a﹣2，y2）在该函数图象上， ∴|a+1﹣1|＝|a|，|2a﹣2﹣1|＝|2a﹣3|． ①当a＞0时，若|a|＞|2a﹣3|，即点A离对称轴比点B离对称轴远， ∴y1＞y2． 若0＜a＜， ∴a＞3﹣2a． ∴a＞1． ∴此时1＜a＜． 若a≥， ∴a＞2a﹣3． ∴a＜3． ∴此时≤a＜3． 综上，1＜a＜3时，y1＞y2． 当a＞0时，若|a|＜|2a﹣3|，即点A离对称轴比点B离对称轴近， ∴y1＜y2． 若0＜a＜， ∴a＜3﹣2a． ∴a＜1． ∴此时0＜a＜1． 若a≥， ∴a＜2a﹣3． ∴a＞3． ∴此时a＞3． 综上，0＜a＜1或a＞3时，y1＜y2． ②当a＜0时，若|a|＞|2a﹣3|，即点A离对称轴比点B离对称轴远， ∴y1＜y2． 此时﹣a＞3﹣2a， ∴a＞3，不合题意． 当a＜0时，若|a|＜|2a﹣3|，即点A离对称轴比点B离对称轴近， ∴y1＞y2． 此时﹣a＜3﹣2a， ∴a＜3． ∴a＜0时，y1＞y2． 综上所述，当a＜0或1＜a＜3时，y1＞y2；0＜a＜1或a＞3时，y1＜y2． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 31．（2024•秦淮区二模）已知二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣4）（a，m为常数，a≠0）． （1）求证：不论a，m为何值，该二次函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，若不论m为何值，该二次函数的图象上都只有两个点C，D，使△ABC和△ABD的面积均为4，求a的取值范围． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【分析】（1）证明判别式Δ＞0即可； （2）先求出A，B坐标，求出AB＝4，再根据二次函数的图象上都只有两个点C，D，使△ABC和△ABD的面积均为4，得出抛物线的顶点到x轴的距离小于2，解不等式即可． 【解答】（1）证明：y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣4）＝a（x2﹣2mx﹣4x+m2+4m＝ax2﹣2a（m+2）x+a（m2+4m）， Δ＝[﹣2a（m+2）]2﹣4a•a（m2+4m）＝4a2m2+16a2m+16a2﹣4a2m2﹣16a2m＝16a2， ∵a≠0， ∴16a2＞0， ∴不论a，m为何值，该二次函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）令y＝0，则a（x﹣m）（x﹣m﹣4）＝0， ∵a≠0， ∴（x﹣m）（x﹣m﹣4）＝0， ∴x1＝m，x2＝m+4， ∴A（m，0），B（m+4，0）， ∴AB＝4， ∵SABC＝S△ABD＝4， ∴C，D到x轴的距离为2， ∵该二次函数的图象上都只有两个点C，D，使△ABC和△ABD的面积均为4， ∴二次函数的顶点到x轴的距离小于2， 即||＜2， 解得﹣＜a＜，且a≠0， ∴a的取值范围为﹣＜a＜，且a≠0． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，关键是掌握二次函数的性质． 32．（2024•玄武区二模）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+4﹣m2（m为常数）． （1）求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）设该函数图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质． 【分析】（1）求出Δ＝（2m）2+4（4﹣m2）＝4m2+16﹣4m2＝16，所以二次函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）求出点C和点D的坐标，再根据面积相等，得出4﹣m2＝﹣4，求出m的值． 【解答】解：（1）∵Δ＝（2m）2+4（4﹣m2）＝4m2+16﹣4m2＝16， ∴二次函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）y＝﹣x2+2mx+4﹣m2 ＝﹣（x﹣m）2+4 ∴C（m，4），D（0，4﹣m2）， ∵△ABC的面积与△ABD的面积相等， ∴4﹣m2＝﹣4， ∴m＝． 【点评】本题考查了二次函数系数与图象的关系，二次函数与三角形面积的结合，掌握计算方法是解题的关键． 33．（2024•江宁区校级三模）如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式y＝x2+bx+c（b，c为常数），通过输入不同的b、c的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线L1恰好经过O（0，0）和A（2，0）两点，解决下列问题． （1）求与抛物线L1相对应的b、c的值； （2）若把抛物线L1相对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线L2，求抛物线L2与x轴交点的坐标，并说明抛物线L2是否经过L1的顶点； （3）另有直线l：y＝n与抛物线L1交于点P，Q，与抛物线L2交于点M，N，若的值是整数，请直接写出n的最大值． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】二次函数的应用；应用意识． 【分析】（1）把O（0，0）和A（2，0）代入抛物线y＝x2+bx+c中解答即可； （2）确定抛物线L1的顶点坐标，确定物线L2的解析式，令y＝0，解方程的根即可求抛物线L2与x轴交点的坐标，把抛物线L1的顶点坐标代入抛物线L2的解析式，验证说明即可； （3）当y＝n时，得x2﹣2＝n，x2﹣2x＝n，解得，，计算，， 得，令，根据反比例函数性质解答即可． 【解答】解：（1）把O（0，0）和A（2，0）代入抛物线y＝x2+bx+c，得 ， 解得． （2）∵， ∴L1的解析式为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， 故抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）； 根据题意，得抛物线L2的解析式y＝x2﹣2， 令y＝0， 得x2﹣2＝0， 解得， 故抛物线L2与x轴交点的坐标为； 当x＝1， y＝x2﹣2＝﹣1， 故抛物线L2经过L1的顶点． （3）∵直线l：y＝n与抛物线L1交于点P，Q，与抛物线L2交于点M，N， ∴n＞﹣1， ∴2+n＞1， 当y＝n时， 得x2﹣2＝n，x2﹣2x＝n， 解得，， ∴，， ∴， 令， 根据反比例函数的性质，得当y越小时，1+n越大， ∵的值是整数， ∴y是整数，且是整数， 当y＝1时，不是整数，不符合题意； 当y＝2时，不是整数，不符合题意； 当y＝3时，是整数，符合题意； ∴y的最小值是3，此时1+n最大，此时， 故n的最大值为． 故n的最大值是． 【点评】本题考查了待定系数法，抛物线与x轴的交点，解方程，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法，反比例函数的性质是解题的关键． 34．（2024•玄武区一模）已知二次函数y＝﹣x2+2（m﹣4）x+m2﹣1（m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）求证：当﹣1＜m＜1时，该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝8（m﹣2）2+28，则利用非负数的性质可判断Δ＞0，然后利用根的判别式的意义得到结论； （2）计算自变量为0对应的函数值得到二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，m2﹣1），然后利用﹣1＜m＜1可判断二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上． 【解答】证明：（1）∵Δ＝4（m﹣4）2﹣4×（﹣1）×（m2﹣1）＝8（m﹣2）2+28， 而8（m﹣2）2≥0， ∴Δ＞0， ∴不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）当x＝0时，y＝﹣x2+2（m﹣4）x+m2﹣1＝y＝m2﹣1， ∴二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，m2﹣1）， ∵﹣1＜m＜1， ∴m2﹣1＜0， ∴二次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴上， 即当﹣1＜m＜1时，该函数图象与y轴的交点总在x轴的下方． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质． 35．（2024•玄武区校级模拟）在二次函数y＝x2+2mx+m﹣1中． （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点． （2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣3，则m的值为 　﹣1　． （3）当m＜0时，点A（n﹣2，a），B（4，b），C（n，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜m﹣1．则n的取值范围是 　3＜n＜4或n＞6　． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【分析】（1）依据题意，由Δ＝（2m）2﹣4（m﹣1）＝4（m﹣）2+3，又对于任意的m都有（m﹣）2≥0，从而可以判断Δ的大小，进而可以得解； （2）依据题意，分“当0≤﹣m≤3时”、“当﹣m＜0时”、“当﹣m＞3时”，三种情况计算讨论，得出答案即可； （3）依据题意，根据二次函数对称轴公式，结合点A（n﹣2，a），C（n，a）两点纵坐标相等可知，对称轴直线x＝n﹣1＝﹣m，结合m＜0，a＜b＜m﹣1，列不等式求出n的各种范围，进而可以得解． 【解答】（1）证明：由题意得，Δ＝（2m）2﹣4（m﹣1） ＝4m2﹣4m+4 ＝4（m2﹣m+）+3 ＝4（m﹣）2+3． 又对于任意的m都有（m﹣）2≥0， ∴4（m﹣）2≥0． ∴Δ＝4（m﹣）2+3≥3＞0． ∴不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点． （2）解：由题意可得，y＝x2+2mx+m﹣1＝（x+m）2﹣m2+m﹣1． ∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣m． ①当﹣m≥3时，即m≤﹣3． 又抛物线开口向上， ∴当x＝3时，y取最小值为9+6m+m﹣1＝﹣3． ∴m＝﹣＞﹣3，不合题意． ②当0≤﹣m≤3时，即﹣3≤m≤0． 又抛物线开口向上， ∴当x＝﹣m时，y取最小值为﹣m2+m﹣1＝﹣3． ∴m2﹣m﹣2＝0． ∴m＝2或m＝﹣1、 又﹣3≤m≤0， ∴m＝﹣1． ③当﹣m≤0时，即m≥0． 又抛物线开口向上， ∴当x＝0时，y取最小值为m﹣1＝﹣3． ∴m＝﹣2＜0，不合题意． 综上，m＝﹣1． 故答案为：﹣1． （3）解：由题意得，对称轴是直线x＝﹣m＝． ∴﹣m＝n﹣1． ∴m＝﹣n+1． 又m＜0， ∴﹣n+1＜0． ∴n＞1． 又抛物线过B（4，b）， ∴16+8m+m﹣1＝b． 又b＜m﹣1， ∴9m+15＜m﹣1． ∴m＜﹣2． ∴﹣m＞2． ∴n＝1﹣m＞3，即n＞3． ∵抛物线开口向上， ∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小． ∵a＜b， ∴n﹣（﹣m）＜|﹣m﹣4|． ∴当n+m＜m+4时，解得n＜4； 当n+m＜﹣m﹣4时，n+（1﹣n）＜n﹣1﹣4，解得n＞6． 综上，3＜n＜4或n＞6． 故答案为：3＜n＜4或n＞6． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 36．（2024•南京一模）已知二次函数y＝ax2+bx+2（a＜0）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x2＝﹣2x1，求证a+b2＝0； （3）若A（k，y1），B（6，y2），C（k+4，y1）都在该二次函数的图象上，且2＜y2＜y1，结合函数的图象，直接写出k的取值范围． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【分析】（1）依据题意得，Δ＝b2﹣4a×2＝b2﹣8a，再结合a＜0，可得﹣8a＞0，又对于任意的实数b都有b2≥0，从而可以判断得解； （2）依据题意，由x1+x2＝﹣，x1•x2＝，又x2＝﹣2x1，从而求出x1＝，x2＝﹣，又x1•x2＝，进而可以﹣＝，故变形可以得解； （3）依据题意，对称轴是直线x＝＝k+2，又令x＝0，则y＝2，再由a＜0时，当抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，又2＜y2＜y1，从而|k+2﹣0|＞|k+2﹣6|＞|k+2﹣k|，进而分三类①k＜﹣2②﹣2≤k≤4③k＞4进行讨论，即可得解． 【解答】（1）证明：由题意得，Δ＝b2﹣4a×2＝b2﹣8a． ∵a＜0， ∴﹣8a＞0． 又对于任意的实数b都有b2≥0， ∴b2﹣8a＞0，即Δ＞0． ∴该函数的图象与x轴总有两个公共点． （2）证明：由题意，x1+x2＝﹣，x1•x2＝． 又x2＝﹣2x1， ∴x1＝，x2＝﹣． 又x1•x2＝， ∴﹣＝． ∴﹣b2＝a． ∴a+b2＝0． （3）解：由题意，对称轴是直线x＝＝k+2． 又令x＝0，则y＝2． ∵a＜0， ∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． 又2＜y2＜y1， ∴|k+2﹣0|＞|k+2﹣6|＞|k+2﹣k|． ∴|k+2|＞|k﹣4|＞2． ①当k＜﹣2时，﹣k﹣2＞4﹣k＞2． ∴无解． ②当﹣2≤k≤4时，k+2＞4﹣k＞2． ∴1＜k＜2． ③当k＞4时，k+2＞k﹣4＞2． ∴k＞6． 综上，1＜k＜2或k＞6． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 37．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数y＝mx2﹣（m﹣2）x﹣2（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点． （2）不论m为何值，该函数的图象经过的定点坐标是 　（1，0）（0，﹣2）　． （3）在﹣2≤x≤2的范围中，y的最大值是2，直接写出m的值． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用判别式证明即可； （2）当x＝1时，y＝0，当x＝0时，y＝﹣2，即可得到定点坐标； （3）利用抛物线过两个定点，得到函数y随x增大而增大，代入解析式求出m值即可． 【解答】解：（1）①当m＝0时，函数解析式为y＝2x﹣2，此一次函数与x轴有交点； ②当m≠0时，函数解析式为y＝mx2﹣（m﹣2）x﹣2，令y＝0，则有mx2﹣（m﹣2）x﹣2＝0， Δ＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）＝m2﹣4m+4+8m＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0． ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点． （2）y＝mx2﹣（m﹣2）x﹣2＝mx2﹣mx+2x﹣2＝m（x2﹣x）+2x﹣2， 当x＝1时，y＝0， 当x＝0时，y＝﹣2， ∴不论m为何值，该函数的图象经过的定点坐标是（1，0）．（0，﹣2） 故答案为：（1，0），（0，﹣2）， （3）若m＝0，函数y＝2x﹣2，y随x增大而增大，当x＝2时，y＝2，与题干条件符； 当m≠0时，函数y＝mx2﹣（m﹣2）x﹣2是二次函数， ①当m＞0时，抛物线过（1，0），（0，﹣2）两点，当﹣2≤x≤2的范围中时，y随x的增大而增大， ∴当x＝2时，y＝2， 即2＝4m﹣2（m﹣2）﹣2，解得m＝0（舍去）． ②当m＜0时，抛物线过（1，0），（0，﹣2）两点，其增减性依旧是y随x的增大而增大和①相同． 当顶点（2，2）时，类同①． 综上分析，m＝0． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 38．（2023•玄武区校级模拟）已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点． （1）求k的取值范围； （2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2． ①求k的值； ②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值． 【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数的定义；二次函数的最值．版权所有 【专题】压轴题． 【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0． （2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值． 【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点． 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点， 令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0． △＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1． 综上所述，k的取值范围是k≤2． （2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点， ∴k＜2，且k≠1． 由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①， 将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得： 2k（x1+x2）＝4x1x2． 又∵x1+x2＝，x1x2＝， ∴2k•＝4•． 解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）． ∴所求k值为﹣1． ②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+． 且﹣1≤x≤1． 由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝． ∴y的最大值为，最小值为﹣3． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键． 39．（2023•秦淮区校级模拟）已知二次函数y＝x2+2mx+m2﹣1（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若函数的图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，求m的取值范围． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念． 【分析】（1）由b2﹣4ac＝4m2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，即可求解； （2）求出函数图象与x轴的交点的坐标为（﹣m+1，0），（﹣m﹣1，0），因为函数图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，且﹣m+1＞﹣m﹣1，进而求解． 【解答】解：（1）因为b2﹣4ac＝4m2﹣4（m2﹣1）＝4＞0， 所以方程x2+2mx+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根， 所以该函数图象与x轴总有两个公共点； （2）当y＝0时，x2+2mx+m2﹣1＝0．解这个方程，得x1＝﹣m+1，x2＝﹣m﹣1． 函数图象与x轴的交点的坐标为（﹣m+1，0），（﹣m﹣1，0）， 因为函数图象与x轴的两个公共点分别在原点的两侧，且﹣m+1＞﹣m﹣1， 所以﹣m+1＞0且﹣m﹣1＜0， 解得﹣1＜m＜1． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 40．（2023•玄武区二模）已知函数y＝x2+mx+n（m，n为常数）． （1）若m＝4，n＝3，求该函数图象与x轴的两个交点之间的距离； （2）若函数y＝x2+mx+n的图象与x轴有两个交点，将该函数的图象向右平移k（k＞0）个单位长度得到新函数y′的图象，且这两个函数图象与x轴的四个交点中任意相邻两点之间的距离都相等． ①若函数y＝x2+mx+n的图象如图所示，直接写出新函数y′的表达式； ②若函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），当k＝1时，求m，n的值． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，再求出与x轴的交点坐标，二者相减取绝对值即可； （2）①利用待定系数法求出函数解析式，并写成关于x的完全平方形式，新函数的对称轴是将原函数的对称轴向右平移与x轴的两个交点之间距离的倍或2倍； ②k值为函数与x轴的两个交点之间距离的倍或2倍，再将点（1，3）代入函数求解方程组即可． 【解答】解：（1）若m＝4，n＝3，则有y＝x2+4x+3． 当y＝x2+4x+3＝（x+1）（x+3）＝0时，解得：x＝﹣1或x＝﹣3． ∴该函数图象与x轴的两个交点之间的距离为|﹣3﹣（﹣1）|＝2． （2）①将（0，0）和（4，0）代入y＝x2+mx+n，得， 解得：m＝﹣4，n＝0． ∴y＝x2﹣4x，整理得y＝（x﹣2）2﹣4． 若k＝2，则y'的对称轴为x＝4， ∴y'＝（x﹣4）2﹣4，即y'＝x2﹣8x+12． 若k＝8时，则y'的对称轴为x＝10， ∴y'＝（x﹣10）2﹣4，即y'＝x2﹣20x+96． ②将点（1，3）代入y＝x2+mx+n，得m+n＝2． 设x1和x2分别为函数y＝x2+mx+n与x轴的交点坐标， ∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝n． ∴＝﹣4x1x2＝m2﹣4n， ∴|x1﹣x2|＝． 当k＝|x1﹣x2|＝1时，有＝1， ∴m2﹣4n﹣4＝0． ∴， 解得：m＝2，n＝0；m＝﹣6，n＝8． 当k＝2|x1﹣x2|＝1时，有2＝1， ∴4m2﹣16n﹣1＝0． ∴， 解得：m＝，n＝；m＝﹣，n＝． 【点评】本题通过几何变换，考查了二次函数与x轴的交点、性质等，综合性较强，难度不小，注意分情况讨论． 41．（2023•秦淮区一模）已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a（a，m为自然数，且a≠0）． （1）求证：不论a，m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）将该函数的图象绕原点旋转180°，则所得到的图象对应的函数表达式为 　y＝﹣a（x+m）2+a　． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【分析】（1）方法一，根据求根公式证明；方法二，根据因式分解法证明；方法三，根据直接开平方法可以证明； （2）根据题目中的函数解析式，可以求得原函数的顶点坐标，然后根据旋转的特点，可以写出旋转后的解析式． 【解答】（1）证明：方法一， 令y＝0，得方程ax2﹣2amx+am2﹣a＝0， ∵一元二次方程ax2﹣2amx+am2﹣a＝0的根的判别式Δ＝（﹣2am）2﹣4a（am2﹣a）＝4a2，a≠0， ∴4a2＞0， ∴方程ax2﹣2amx+am2﹣a＝0有两个不相等的实数根， ∴不论a，m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； 方法二， 令y＝0，得方程a（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）＝0， ∵a≠0， ∴x1＝m﹣1，x2＝m+1， ∵m﹣1≠m+1， ∴方程a（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）＝0有两个不相等的实数根， ∴不论a，m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； 方法三， 令y＝0，得方程a（x﹣m）2﹣a＝0， ∵a≠0， ∴原方程可化为（x﹣m）2＝1， ∵1＞0， ∴方程a（x﹣m）2﹣a＝0有两个不相等的实数根， ∴不论a，m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）∵二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a的顶点坐标为（m，﹣a）， ∴将该函数的图象绕原点旋转180°，则所得到的图象对应的函数表达式为y＝﹣a（x+m）2+a， 故答案为：y＝﹣a（x+m）2+a． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 42．（2022•鼓楼区校级二模）设二次函数y＝ax2+bx﹣（a+b）（a，b是常数，a≠0）． （1）判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由． （2）若该二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式． （3）若a+b＜0，点P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．版权所有 【专题】代数综合题；二次函数图象及其性质． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式． （2）当x＝1时，y＝0，所以抛物线过点AB （3）把x＝2代入用ab表示m，由m的范围结合a+b＞0可解． 【解答】解：（1）设y＝0 ∴0＝ax2+bx﹣（a+b） ∵Δ＝b2﹣4•a[﹣（a+b）]＝b2+4ab+4a2＝（2a+b）2≥0 ∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根． ∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个 （2）当x＝1时，y＝a+b﹣（a+b）＝0 ∴抛物线不经过点C 把点A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得 解得 ∴抛物线解析式为y＝3x2﹣2x﹣1 （3）当x＝2时 m＝4a+2b﹣（a+b）＝3a+b＞0① ∵a+b＜0 ∴﹣a﹣b＞0② ①②相加得： 2a＞0 ∴a＞0 【点评】本题考查了二次函数图象性质及数形结合思想．解答时，注意将相关的点坐标代入解析式． 一十二．二次函数与不等式（组）（共1小题） 43．（2022•建邺区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根； （2）写出方程ax2+bx+c＜0时x的取值范围； （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； （4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【考点】二次函数与不等式（组）；根的判别式；抛物线与x轴的交点．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念． 【分析】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根； （2）找出函数值小于0时x的取值范围即可； （3）首先找出对称轴，然后根据图象写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； （4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围． 【解答】解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和3； （2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0； （3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x＝2，开口向下， 即当x＞2时，y随x的增大而减小； （4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2， 若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值， 则k＜2． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大． 一十三．二次函数综合题（共16小题） 44．（2024•鼓楼区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+a+2（a＞0）过点（1，4a+2）． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）过该抛物线与y轴的交点作y轴的垂线l，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，得到图形G，M（﹣1﹣a，y1），N（﹣1+a，y2）是图形G上的点，设t＝y1+y2． ①当a＝1时，求t的值； ②若6≤t≤9，求a的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】几何综合题；推理能力． 【分析】（1）利用待定系数法求出a，b的关系，再利用对称轴公式求解即可． （2）①分别求出y1，y2，可得结论； ②分三种情形：当0＜a＜1时，a＝1时，a＞1时，分别求解，可得结论． 【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx+a+2（a＞0）过点（1，4a+2）， ∴4a+2＝a+b+a+2， ∴b＝2a， ∴y＝ax2+2ax+a+2＝a（x+1）2+2， ∴该抛物线的顶点坐标为（﹣1，2）； （2）∵b＝2a， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1， ①当a＝1时，则y＝（x+1）2+2，M（﹣2，y1），N（0，y2）， ∴y1＝（﹣2+1）2+2＝3，y2＝（0+1）2+2＝3， ∴t＝y1+y2＝6； ②∵y＝ax2+2ax+a+2， ∴直线l的解析式为y＝a+2， 当0＜a＜1时，﹣1﹣a＜﹣1+a． ∴点M，N在原抛物线上， ∴点M，N关于直线x＝﹣1对称， ∴y1＝y2， 当x＝0时，y0＝a+2， ∵a＞0， ∴抛物线的开口向上， ∴x≥﹣1时，y随x的增大而增大， ∴y2＜y0， ∴t＝y1+y2＜2（a+2）＜6，不符合题意， 当a＝1时，由①可知t＝6，符合题意， 当a＞1时，﹣1﹣a＜0＜﹣1+a， ∴点M在原抛物线上，点N在原抛物线沿直线l翻折后的抛物线上， ∴点N关于直线l的对称点N′在原抛物线上， ∴点M（﹣1﹣a，y1），N′（﹣1+a，2a+4﹣y2）关于x＝﹣1对称， ∴y1＝2a+4﹣y2， ∴t＝y1+y2＝2a+4， ∵6≤t≤9， ∴6≤2a+4≤9， ∴1≤a≤． 综上所述，a的取值范围为1≤a≤． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会于分类讨论的射线思考问题． 45．（2024•秦淮区校级三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为抛物线上一点且在x轴上方，满足∠DBA＝∠ACO，求D点坐标； （3）点M为线段BC上一动点（不与B，C重合），过点M作MP⊥x轴于点P，交抛物线于点N，如图2，在抛物线上找一点Q，连接AM，QN，QP，使得△PQN与△APM的面积相等． ①求出点Q到直线PN的距离； ②当线段NQ的长度最小时，直接写出此时Q点坐标． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】代数几何综合题；分类讨论；解直角三角形及其应用；推理能力． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣4），tan∠ACO＝＝tan∠DBA，则直线BD的表达式为：y＝﹣（x﹣4），即可求解； （3）①由△PQN与△APM的面积相等，即AP×PM＝PN×d，即（4﹣m）（m+1）＝（m2﹣3m﹣4）•d，即可求解； ②设点N（m，m2﹣3m﹣4），则点Q（m+1，m2﹣m﹣6）或（m﹣1，m2﹣5m），即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）＝ax2+bx﹣4， 则a＝1， 即抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣4）， 则tan∠ACO＝＝tan∠DBA， 则直线BD的表达式为：y＝﹣（x﹣4）， 联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣3x﹣4＝﹣（x﹣4）， 解得：x＝4（舍去）或﹣， 则点D（﹣，）； （3）①由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x﹣4， 设点N（m，m2﹣3m﹣4），则点M（m，m﹣4）， 则AP＝m+1，PM＝4﹣m， 设点Q到直线PN的距离为d， ∵△PQN与△APM的面积相等， 即AP×PM＝PN×d，即（4﹣m）（m+1）＝（m2﹣3m﹣4）•d， 解得：d＝1， 即点Q到直线PN的距离为1； ②设点N（m，m2﹣3m﹣4），则点Q（m+1，m2﹣m﹣6）或（m﹣1，m2﹣5m）， 则NQ2＝1+（2﹣2m）2＝4m2﹣8m+5或NQ2＝1+（2m﹣4）2， 当m＝1时，NQ2＝4m2﹣8m+5有最小值为1， 该函数的对称轴为直线m＝1， 当m＝1时，NQ2取得最小值为1， 即m＝1，点Q（2，﹣6）； 同理可得： 当m＝2时，NQ2＝1+（2m﹣4）2，有最小值为1， 此时，m＝2，点Q（1，﹣6）； 综上，点Q（2，﹣6）或（1．﹣6）． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 46．（2024•鼓楼区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2﹣3mx﹣10m（m为常数，且m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．过点D（1，0）且平行于y轴的直线l交该二次函数图象于点E，交线段BC于点F． （1）求点A和点B的坐标； （2）求证：∠ECF＝2∠DBF； （3）若点B关于CE的对称点B′恰好落在直线l上，求此时二次函数的表达式． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】代数几何综合题；数形结合；推理能力． 【分析】（1）令y＝mx2﹣3mx﹣10m＝0，即可求解； （2）证明点C在E、F的中垂线上，即可求解； （3）求出直线BB′的表达式为：y＝（x﹣5），得到xH＝，即可求解． 【解答】（1）解：令y＝mx2﹣3mx﹣10m＝0， 解得：x＝﹣2或5， 即点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（5，0）； （2）证明：过点C作CT⊥EF于点T， 当x＝0时，y＝﹣10m，当x＝1时，y＝mx2﹣3mx﹣10m＝﹣12m， 即点C、E的坐标分别为：（0，﹣10m），（1，﹣12m）， 由点B、C（0，﹣10m）的坐标得，直线BC的表达式为：y＝2m（x﹣5）， 当x＝1时，y＝2m（x﹣5）＝﹣8m，即点F（1，﹣8m）， 由点E、F、C的纵坐标知，点C在E、F的中垂线上， 即CT平分∠ECF， ∵CT∥x轴， 则∠DBF＝∠TCF＝∠TCE， 即∠ECF＝2∠DBF； （3）解：由（2）知，点C、E的坐标分别为：（0，﹣10m），（1，﹣12m）， 由点C、E的坐标得，直线CE的表达式为：y＝﹣2mx﹣10m， 设BB′的交CE于点H， ∵点B关于CE的对称点B′恰好落在直线l上， 则点H是BB′的中点，CE⊥BB′， 则直线BB′的表达式为：y＝（x﹣5）， 联立直线BB′和CE的表达式得：﹣2mx﹣10m＝（x﹣5）， 解得：xH＝， 由中点坐标公式得：＝（xB+xB′）＝（1+5）， 解得：m＝±（舍去正值）， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、中垂线的性质等，正确的数据运算能力和理解题意是解题的关键． 47．（2024•秦淮区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣（a+4）x+4a（a为常数且a≠4）． （1）求证：不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别记为A、B，线段AB（含端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为9． ①直接写出a的取值范围； ②若a为负整数，则函数y＝|x2﹣（a+4）x+4a|的图象与函数y＝x+b的图象的交点个数随随b的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的b的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】数形结合；函数的综合应用；运算能力；应用意识． 【分析】（1）令y＝0，得到一元二次方程，证明＞0即可； （2）①当y＝0，x2﹣（a+4）x+4a＝（x﹣a）（x﹣4）＝0，则与x轴交于（4，0），（a，0），由4+3+2＝9或4+5＝9得1＜a≤2或5≤a＜6； ②讨论a＞4和a＜4的情况，逐个画图，找临界状态即可，重点在于画出函数y＝|x2﹣（a+4）x+4a|的图象． 【解答】（1）证明：当y＝0，则x2﹣（a+4）x+4a＝0， ∴Δ＝（a+4）2﹣4×1×4a＝a2﹣8a+16＝（a﹣4）2， ∵a≠4， ∴Δ＝（a﹣4）2＞0， ∴不论a为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）解：①当y＝0时， x2﹣（a+4）x+4a＝（x﹣a）（x﹣4）＝0， ∴与x轴交于（4，0），（a，0）， ∵4+3+2＝9或4+5＝9， ∴1＜a≤2或5≤a＜6或﹣2＜a≤﹣1； ②由①知，a＝﹣1， ∴y＝|x2﹣（a+4）x+4a|＝|x2﹣3x﹣4|， 第一种情况，直线y＝x+b经过（4，0）时，得b＝﹣4， ∴b＝﹣4时，函数y＝|x2﹣3x﹣4|的图象与函数y＝x+b有一个交点，如图示： 第二种情况：b＜﹣4时，函数y＝|x2﹣3x﹣4|的图象与函数y＝x+b没有交点； 第三种情况：直线y＝x+b经过（﹣1，0）时，则b＝1，此时有3个交点，如图示： 第四种情况：当﹣4＜b＜1时，有2个交点，如图示： 当直线y＝x+b与函数y＝|x2﹣3x﹣4|相切时，有3个交点，如图示： 联立直线y＝x+b与函数y＝﹣x2+3x+4组成方程组， 得， ∴x2﹣2x+b﹣4＝0， 由Δ＝4﹣4（b﹣4）＝0得：b＝5； 第五种情况：时，b＝5直线y＝x+b与函数y＝|x2﹣3x﹣4|有3个交点； 第六种情况：当1＜b＜5时，有4个交点，如图示： 第七种情况：当b＞5时，有2个交点如图示： 综上，当b＜﹣4时，函数y＝|x2﹣3x﹣4|的图象与函数y＝x+b没有交点； 当b＝﹣4时，函数y＝|x2﹣3x﹣4|的图象与函数y＝x+b有一个交点； 当﹣4＜b＜1或b＞5时，函数y＝|x2﹣3x﹣4|的图象与函数y＝x+b有2个交点； 当b＝1或b＝5时，函数y＝|x2﹣3x﹣4|的图象与函数y＝x+b有3个交点； 当1＜b＜5时，函数y＝|x2﹣3x﹣4|的图象与函数y＝x+b有4个交点． 【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了根的判别式，二次函数与x轴交点问题，与直线的交点问题与不等式的关系，题目综合性强，难度大． 48．（2024•鼓楼区校级二模）已知：抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣2过点A（3，4）． （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣2在直线y＝﹣1下方的部分沿直线y＝﹣1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G．点M（m，y1）在图象G上，且y1≤0． ①求m的取值范围； ②若点N（m+k，y2）也在图象G上，且满足y2≥4恒成立，则k的取值范围为　k≤﹣4或k≥4　． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【分析】（1）将A（3，4）代入y＝ax2+（a﹣2）x﹣2，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2； （2）①图象G的解析式分为两部分，当x≤或x≥时，y＝x2﹣x﹣2，此时与x轴的两个交点为（﹣1，0），（2，0）；当＜x＜时，根据对称性求出解析式为y＝﹣（x﹣）2+，即y＝﹣x2+x，此时与x轴的两个交点为（0，0），（1，0）．所以当点M（m，y1）在图象G上，且y1≤0时，可得m的取值范围是﹣1≤m≤0或1≤m≤2； ②先根据y2≥4求出自变量的取值范围是m+k≤﹣2或m+k≥3，又由①知﹣1≤m≤0或1≤m≤2，根据不等式的性质即可得出k≤﹣4或k≥4． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣2过点A（3，4）， ∴4＝9a+3（a﹣2）﹣2，解得a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2； （2）①∵y＝x2﹣x﹣2， ∴当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或2， ∴y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点（﹣1，0），（2，0）． 当y＝﹣1时，x2﹣x﹣2＝﹣1，解得x＝， ∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣， ∴顶点为（，﹣），它关于直线y＝﹣1对称点的坐标为（，）， ∴当x≤或x≥时，图象G的解析式不变，仍然为y＝x2﹣x﹣2； 当＜x＜时，图象G的解析式为y＝﹣（x﹣）2+，即y＝﹣x2+x， 当y＝0时，﹣x2+x＝0，解得x＝0或1， ∴如果点M（m，y1）在图象G上，且y1≤0时，﹣1≤m≤0或1≤m≤2； ②由图象可知，y≥4时，x2﹣x﹣2≥4， x2﹣x﹣6≥0， （x﹣3）（x+2）≥0， 解得x≤﹣2或x≥3． ∴m+k≤﹣2或m+k≥3， 又∵﹣1≤m≤0或1≤m≤2， ∴k≤﹣4或k≥4． 故答案为k≤﹣4或k≥4． 【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式的关系，对称轴与坐标轴平行时二次函数解析式的特点，不等式的性质，难度适中．运用数形结合是解题的关键． 49．（2024•建邺区校级模拟）定义：若函数G1的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数G2的图象上，则称函数G1，G2为关联函数，这两个点称为函数G1，G2的一对关联点．例如，函数y＝2x与函数y＝x﹣3为关联函数，点（1，2）和点（1，﹣2）是这两个函数的一对关联点． （1）判断函数y＝x+2与函数y＝﹣是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由； （2）若对于任意实数k，函数y＝2x+b与y＝kx+k+5始终为关联函数，求b的值； （3）若函数y＝x2﹣mx+1与函数y＝2x﹣（m，n为常数）为关联函数，且只存在一对关联点，求2m2+n2﹣6m的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】新定义；一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；应用意识． 【分析】（1）设函数y＝x+2图象上一点为（a，a+2），把（a，﹣a﹣2）代入y＝﹣得﹣a﹣2＝﹣，即可解得a＝1或a＝﹣3，故函数y＝x+2与函数y＝﹣的关联点为（1，3）与（1，﹣3）或（﹣3，﹣1）与（﹣3，1）； （2）设函数y＝2x+b图象上一点为（p，2p+b），把（p，﹣2p﹣b）代入y＝kx+k+5得﹣2p﹣b＝kp+k+5，根据对于任意实数k，函数y＝2x+b与y＝kx+k+5始终为关联函数，可得，即可解得b的值为﹣3； （3）设函数y＝x2﹣mx+1图象上一点为（t，t2﹣mt+1），把（t，﹣t2+mt﹣1）代入y＝2x﹣得﹣t2+mt﹣1＝2t﹣，根据函数y＝x2﹣mx+1与函数y＝2x﹣（m，n为常数）为关联函数，且只存在一对关联点，知Δ＝（2﹣m）2﹣4（1﹣）＝0，有n2＝﹣m2+4m，由n2≥0求出m的范围，结合2m2+n2﹣6m＝2m2+（﹣m2+4m）﹣6m＝m2﹣2m＝（m﹣1）2﹣1，即可得到答案． 【解答】解：（1）函数y＝x+2与函数y＝﹣为关联函数，理由如下： 设函数y＝x+2图象上一点为（a，a+2），这点关于x轴的对称点坐标为（a，﹣a﹣2）， 把（a，﹣a﹣2）代入y＝﹣得： ﹣a﹣2＝﹣， 解得a＝1或a＝﹣3， ∴函数y＝x+2与函数y＝﹣的关联点为（1，3）与（1，﹣3）或（﹣3，﹣1）与（﹣3，1）； （2）设函数y＝2x+b图象上一点为（p，2p+b），这点关于x轴的对称点坐标为（p，﹣2p﹣b）， 把（p，﹣2p﹣b）代入y＝kx+k+5得： ﹣2p﹣b＝kp+k+5， 整理得：（p+1）k+2p+b+5＝0， ∵对于任意实数k，函数y＝2x+b与y＝kx+k+5始终为关联函数， ∴对于任意实数k，（p+1）k+2p+b+5＝0恒成立， ∴， 解得， ∴b的值为﹣3； （3）设函数y＝x2﹣mx+1图象上一点为（t，t2﹣mt+1），这点关于x轴的对称点为（t，﹣t2+mt﹣1）， 把（t，﹣t2+mt﹣1）代入y＝2x﹣得： ﹣t2+mt﹣1＝2t﹣， 整理得：t2+（2﹣m）t+1﹣＝0， ∵函数y＝x2﹣mx+1与函数y＝2x﹣（m，n为常数）为关联函数，且只存在一对关联点， ∴关于t的方程t2+（2﹣m）t+1﹣＝0有两个相等的实数解， ∴Δ＝（2﹣m）2﹣4（1﹣）＝0， ∴n2＝﹣m2+4m， ∵n2≥0， ∴﹣m2+4m≥0，即m2﹣4m≤0， ∴0≤m≤4， ∵2m2+n2﹣6m＝2m2+（﹣m2+4m）﹣6m＝m2﹣2m＝（m﹣1）2﹣1， ∴当m＝4时，2m2+n2﹣6m最大为8，当m＝1时，2m2+n2﹣6m最大为﹣1， ∴2m2+n2﹣6m的取值范围是﹣1≤2m2+n2﹣6m≤8． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，一次函数与反比例函数等知识，解题的关键是读懂题意，理解关联点、关联函数的概念，用含字母的式子表示相关点坐标． 50．（2024•玄武区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，M为抛物线对称轴l上一动点，连接MA、MC，求MA+MC的最小值及此时M点的坐标； （3）如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，点F（2，1），P为抛物线上一动点，Q为抛物线对称轴l上一动点，以点E、F、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出所有可能的点Q的坐标． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】代数几何综合题；二次函数图象及其性质；推理能力． 【分析】（1）根据待定系数法即可求抛物线的表达式； （2）连接BC交直线l于点M，则MA+MC的最小值即为BC，求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，根据y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，可得点M的横坐标为1，然后把x＝1代入y＝﹣x+3，进而求出M的坐标； （3）分EF是对角线与边两种情况讨论画图即可解答． 【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0）， 代入y＝ax2+bx+3得：， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）如图，连接BC交直线l于点M，则MA+MC的最小值即为BC， ∵y＝﹣x2+2x+3， ∴C（0，3）， ∵B（3，0）， ∴OB＝OC＝3， ∴BC＝3， ∴MA+MC的最小值为3； 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 将B（3，0），C（0，3）代入得， ， ∴， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， ∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1， 当x＝1时，y＝﹣1+3＝2， ∴M（1，2）， ∴MA+MC的最小值为3，此时M点的坐标为（1，2）； （3）过点F作FG⊥OB于G，如图2中， ∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1， ∴OE＝1， ∵B（3，0），C（0，3） ∴OC＝OB＝3， 又∵∠COB＝90°， ∴△OCB是等腰直角三角形， ∵点F的坐标为（2，1）， ∴EG＝FG＝1， ∵BE＝OB﹣OE＝2， ∴FG＝GB＝EG＝1， ∴△EFB是等腰直角三角形， ∴∠EFB＝90°， 当EF为边时， ∵四边形EFPQ为平行四边形， ∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴， ∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2， 当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3， ∴点P的坐标为（2，3）， ∴QE＝PF＝3﹣1＝2， 点Q的坐标为（1，2）， 根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形； 当EF为对角线时，如图3中， ∵四边形PEQF为平行四边形， ∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴， 同理求得：点P的坐标为（2，3）， ∴QE＝PF＝3﹣1＝2， 点Q的坐标为（1，﹣2）； 综上，点P的坐标为（2，3）时，点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2），P（0，3）时，Q（1，4）． ∴所有可能的点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2），Q（1，4）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及平行四边形的性质，（3）注意要分EF是对角线与边两种情况讨论． 51．（2024•南京模拟）已知二次函数y＝ax2﹣5ax+4其图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），且点B（4，0）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）如图1，已知C（﹣3，0）将线段CB平移至线段MN（点C，B的对应点分别为N，M），使点M，N都在抛物线上．试判断直线l：y＝2kx﹣3k+5是否将四边形BCNM分成面积相等的两部分，请说明理由； （3）如图2，若直线y＝3x+m与抛物线交于P，Q两点，求证：△PAQ的内心在x轴上． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力． 【分析】（1）将点B（4，0）代入y＝ax2﹣5ax+4，求出a，即可； （2）先求出BC的长，在根据对称性求得M，N的坐标，从而求得平行四边形的中心坐标，再判定直线l经过平行四边形的中心，即可得出结论； （3）联立一次函数和二次函数解析式，求得P、Q坐标，再求得设直线AP、AQ的解析式，得到∵y＝tx﹣t交y轴于（0，﹣t），y＝﹣tx+t与y轴交于（0，t），从而得出直线AP和直线AQ关于x轴对称，即得出结论． 【解答】解：（1）把B（4，0）代入y＝ax2﹣5ax+4，得： 16a﹣20a+4＝0， 解得：a＝1， ∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣5x+4； （2）直线l：y＝2kx﹣3k+5将四边形BCNM分成面积相等的两部分．理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵B（4，0），C（﹣3，0）， ∴BC＝7， ∵将线段CB平移至线段MN（点C，B的对应点分别为N，M）， ∴MN＝BC＝7，MN∥BC， ∴M、N关于直线对称， ∴M横坐标为6，N的横坐标为﹣1， 当x＝﹣1时，y＝10， ∴M（6，10），N（﹣1，10）， ∴，， ∴平行四边形CBNM的对称中心是， 把代入y＝2kx﹣3k+5，得y＝5， ∴直线y＝2kx﹣3k+5经过平行四边形CBNM的对称中心是， ∴直线l：y＝2kx﹣3k+5将四边形BCNM分成面积相等的两部分． （3）证明：如图2， 作PE⊥AB于E，QF⊥AB于F， 由得： ，， 设t＝12+m， ∴，， ∴PE＝t2+3t，AE＝（4+t）﹣1， 设直线AP的解析式为：y＝kx+b， ， ∴， ∴y＝tx﹣t， 同理可得：直线AQ的解析式为y＝﹣tx+t， ∵y＝tx﹣t交y轴于（0，﹣t），y＝﹣tx+t与y轴交于（0，t）， 直线AP和直线AQ关于x轴对称， ∴△PAQ的内心在x轴上． 【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数及其图象性质，二次函数图象与一次函数的交点与方程组的关系，一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式和二次函数及其图象性质． 52．（2024•秦淮区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x＝m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x＝m的“镜面函数”．例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它关于直线x＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成y＝|x|+1． （1）在图③中画出函数y＝2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象； （2）函数y＝﹣x2+2x+5关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝x+m有三个公共点，求m的值； （3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）关于直线x＝0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】综合题；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数y＝﹣2x+1的“镜面函数”的图象即可； （2）分直线y＝x+m过“镜面函数”图象与直线x＝﹣1的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可； （3）先求出y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“镜面函数”解析式，再分x＝﹣1以及顶点在y＝﹣2上的情况和x＝3时，列出不等式求解即可． 【解答】解：（1）如图③，即为函数函数y＝2x+1关于直线x＝1的“镜面函数”的图象， （2）对于y＝﹣x2+2x+5，当x＝0时，y＝5， ∴函数y＝﹣x2+2x+5与y轴的交点坐标为（0，5）， 函数y＝﹣x2+2x+5与x＝﹣1的交点为： y＝﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+5＝2，即交点为（﹣1，2）， 当直线y＝x+m经过点（﹣1，2）时，m＝3； 此时y＝﹣x2+2x+5关于直线x＝﹣1的“镜面函数”与直线y＝x+m有三个公共点， 当直线y＝x+m与原抛物线只有一个交点时，则有：x+m＝﹣x2+2x+5， 整理得，x2﹣x+2+m﹣5＝0， 此时，Δ＝（﹣1）2﹣4×（m﹣5）＝0， 解得：m＝， y＝0时，Δ＝（﹣1）2﹣4×（m﹣5）＞0， ∴m＝不合题意，舍去， 综上，m的值为3； （3）函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“镜面函数”解析式为y＝x2+2nx+2（n＞0）， 当x＝﹣1时，y＜0， ∴1﹣2n+2＜0， 解得，； 当y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的顶点在CD上时，， 解得n＝2或n＝﹣2（舍）， 此时，函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）关于直线x＝0的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边有5个交点，不合题意， ∴， 当x＝3时，y＜﹣2， ∴9﹣6n+2＜﹣2， 解得，； 综上，n的取值范围为或． 【点评】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． 53．（2023•秦淮区校级模拟）【概念认识】 已知m是实数，若某个函数图象上存在点M（m，m），则称点M是该函数图象上的“固定点”． 【数学理解】 （1）一次函数y＝﹣2x+3的图象上的“固定点”的坐标是 　（1，1）　； （2）求证：反比例函数y＝（k＞0）的图象上存在2个“固定点”； （3）将二次函数y＝x2+bx+1（b＜﹣2）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象在x轴上方的部分组成一个类似“W”形状的新图象．若新图象上恰好存在3个“固定点”，求b的值． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】函数思想；应用意识． 【分析】（1）令固定点为（m，m），把（m，m）代入一次函数中，可求得m的值，即可得出点坐标； （2）令y＝x可得反比例函数解析式x2＝k，解方程得两个x值，即对应2个y值，即得两个固定点； （3）画出二次函数大致图象，设固定点为（m，m）代入y＝x2+bx+1中，得到m2+（b﹣1）m+1＝0，方程Δ＞0，可得有2个固定点，翻折后图形关于x轴对称，即y＝﹣（x2+bx+1），再有一个固定点便可得3个固定点．即把（m，m）代入y＝﹣（x2+bx+1）中得到关于m的一元二次方程，只需Δ＝0即可求出b的值． 【解答】（1）解：设固定点为（m，m）把（m，m）代入一次函数y＝﹣2x+3中， 得m＝﹣2m+3， 解得m＝1， ∴固定点为（1，1）； （2）证明：在y＝（k＞0）中，令y＝x，可得x2＝k． 解得x1＝，x2＝﹣． 将x1＝代入y＝中，得y1＝． 将x2＝﹣代入y＝中，得y2＝﹣． 因此反比例函数y＝（k＞0）的图象上存在2个“固定点”，分别为（，）和（﹣，﹣）． （3）图象大致如下： 设固定点为（m，m），将（m，m）代入y＝x2+bx+1， 得m2+bm+1＝m， 即m2+（b﹣1）m+1＝0， Δ＝（b﹣1）2﹣4＞0， 即原图象（翻折前）有两个“固定点”， 翻折后图形为：y＝﹣（x2+bx+1）， 将（m，m）代入：m＝﹣（m2+bm+1）， 即﹣m2﹣（b+1）m﹣1＝0， 依题意，只需该方程有一个根即可（对应一个“固定点”，与前两个合成三个）， ∴Δ＝（b+1）2﹣4＝0， 即（b+1）2＝4， ∴b+1＝±＝±2， ①当b+1＝2时，b＝1（不合题意，b＜﹣2舍去）， ②当b+1＝﹣2时，b＝﹣3， 综上，b＝﹣3． 【点评】本题主要考查函数图象的性质及综合应用能力，解本题关键要熟练掌握二次函数的性质，代入法求值，解一元二次方程及判断一元二次方程根的情况． 54．（2023•栖霞区校级三模）已知二次函数y＝ax2﹣x+c的图象经过点A（﹣2，2），该图象与直线x＝2相交于点B． （1）求点B的坐标； （2）当c＞0时，求该函数的图象顶点纵坐标的最小值； （3）点M（m，0）、N（n，0）是该函数图象与x轴的两个交点．当m＞﹣2，n＜3时，结合函数图象分析a的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【分析】（1）将（﹣2，2）代入解析式求出c与a的关系，再将x＝2代入解析式求解． （2）由抛物线顶点坐标公式求出顶点纵坐标为c+，由a2+b2≥2ab可得a＝b时，即c＝时，c+取最小值． （3）分类讨论图象开口向上，向下两种情况，结合图象，根据抛物线经过定点A，B求解． 【解答】解：（1）将（﹣2，2）代入y＝ax2﹣x+c得2＝4a+2+c， ∴4a+c＝0， 将x＝2代入y＝ax2﹣x+c得y＝4a﹣2+c＝﹣2， ∴点B坐标为（2，﹣2）． （2）∵4a+c＝0， ∴c＝﹣4a， ∵c＞0， ∴a＜0， ∵y＝ax2﹣x+c， ∴抛物线顶点纵坐标为＝c﹣＝c+， ∵a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0， ∴a2+b2≥2ab， ∴a＝b时，a2+b2＝2ab为最小值， ∴当c＝时，c+取最小值， 解得c＝﹣1（舍）或c＝1， ∴c+最小值为2，即图象顶点纵坐标的最小值为2． （3）如图，抛物线y＝ax2﹣x﹣4a开口向上， ∵抛物线经过定点A（﹣2，2），B（2，﹣2），m＞﹣2，n＜3， ∴n＝3时，y＞0， ∴， 解得a＞． 如图，抛物线开口向下， 点N在点A左侧，n＜﹣2满足题意， 点M在点A右侧点B左侧，m＞﹣2满足题意， ∴a＜0符合题意． 综上所述，a＞或a＜0． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． 55．（2023•建邺区校级二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（﹣1，﹣1）是函数y＝2x+1的图象的“等值点”． （1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值； （3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】代数几何综合题；压轴题；新定义；运算能力；推理能力；应用意识． 【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案； （2）先根据“等值点”的定义求出函数y＝（x＞0）的图象上有两个“等值点”A（，），同理求出B（b，b），根据△ABC的面积为3可得×|b|×|﹣b|＝3，求解即可； （3）先求出函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），再利用翻折的性质分类讨论即可． 【解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝x+2，得0＝2不成立， ∴函数y＝x+2的图象上不存在“等值点”； 在y＝x2﹣x中，令x2﹣x＝x， 解得：x1＝0，x2＝2， ∴函数y＝x2﹣x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（2，2）； （2）在函数y＝（x＞0）中，令x＝， 解得：x＝， ∴A（，）， 在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b， 解得：x＝b， ∴B（b，b）， ∵BC⊥x轴， ∴C（b，0）， ∴BC＝|b|， ∵△ABC的面积为3， ∴×|b|×|﹣b|＝3， 当b＜0时，b2﹣2﹣24＝0， 解得b＝﹣2， 当0≤b＜2时，b2﹣2+24＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×24＝﹣84＜0， ∴方程b2﹣2+24＝0没有实数根， 当b≥2时，b2﹣2﹣24＝0， 解得：b＝4， 综上所述，b的值为﹣2或4； （3）令x＝x2﹣2， 解得：x1＝﹣1，x2＝2， ∴函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2）， ①当m＜﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上必有2个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2）， W1：y＝x2﹣2（x≥m）， W2：y＝（x﹣2m）2﹣2（x＜m）， 令x＝（x﹣2m）2﹣2， 整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0， ∵W2的图象上不存在“等值点”， ∴Δ＜0， ∴（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0， ∴m＜﹣， ②当m＝﹣1时，有3个“等值点”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2）， ③当﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”， ④当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（2，2）， ⑤当m＞2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”， 综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m＜﹣或﹣1＜m＜2． 【点评】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“等值点”综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题． 56．（2023•南京一模）已知函数y1＝ax2+3ax+1与y2＝ax+5（a为常数，且a≠0）． （1）若a＞0，求证：y1与y2的函数图象总有两个公共点； （2）若a＜，当0＜x＜2时，比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）当﹣4＜x＜1时，y1＜y2，直接写出a的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】分类讨论；二次函数图象及其性质；用函数的观点看方程（组）或不等式；运算能力；应用意识． 【分析】（1）令y1＝y2，得ax2+3ax+1＝ax+5，证明Δ＞0，即可得y1与y2的函数图象总有两个公共点； （2）设y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4，可得图象的对称轴为直线x＝﹣1，故y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，而当x＝2时，y＜0，当x＝0时，y＝﹣4＜0，即可知y1＜y2； （3）由（2）知y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4的图象的对称轴为直线x＝﹣1，根据当﹣4＜x＜1时，y1＜y2，可知当﹣4＜x＜1时，y的最大值为负数，分两种情况：当a＞0时，y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4在x＝﹣4时取最大值，有16a﹣8a﹣4≤0，当a＜0时，y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4在顶点处，即x＝﹣1时取最大值，有a﹣2a﹣4＜0，解不等式可得答案． 【解答】（1）证明：令y1＝y2，得ax2+3ax+1＝ax+5， ∴ax2+2ax﹣4＝0， ∴Δ＝（2a）2﹣4a×（﹣4）＝4a2+16a， ∵a＞0， ∴Δ＞0， ∴方程ax2+2ax﹣4＝0有两个不相等的实数根， 即y1与y2的函数图象总有两个公共点； （2）解：设y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4， ∵函数y＝ax2+2ax﹣4的图象的对称轴为直线x＝﹣1， ∴函数y＝ax2+2ax﹣4的图象在0＜x＜2时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小， 当x＝2时，y＝4a+4a﹣4＝8a﹣4， ∵a＜， ∴8a﹣4＜0，即x＝2时，y＜0， ∴y1＜y2， 当x＝0时，y＝﹣4＜0， ∴y1＜y2， 综上所述，当0＜x＜2时，y1＜y2； （3）解：由（2）知y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4的图象的对称轴为直线x＝﹣1， ∵当﹣4＜x＜1时，y1＜y2， ∴当﹣4＜x＜1时，y的最大值为负数， 当a＞0时， ∵﹣1﹣（﹣4）＞1﹣（﹣1）， ∴y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4在x＝﹣4时取最大值， ∵x＞﹣4， ∴16a﹣8a﹣4≤0， 解得a≤， ∴0＜a≤； 当a＜0时，y＝y1﹣y2＝ax2+2ax﹣4在顶点处，即x＝﹣1时取最大值， ∴a﹣2a﹣4＜0， 解得a＞﹣4， ∴﹣4＜a＜0， 综上所述，a的范围是0＜a≤或﹣4＜a＜0． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及不等式，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是掌握二次函数的性质． 57．（2023•栖霞区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． （1）求抛物线的解析式； （2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； （3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】函数的综合应用；推理能力． 【分析】（1）将点A，B的坐标代入二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，可分别表达△OAB和△PAB的面积，根据题意列出方程求出PN的长，设出点P的坐标，表达PN的长，求出点P的坐标即可； （3）由PD∥OB，可得△DPC∽△BOC，所以CP：CO＝CD：CB＝PD：OB，所以＝，＝，则+＝．设直线AB交y轴于点F．则F（0，），过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，易证PDG∽△OBF，所以PD：OB＝PG：OF，设P（n，﹣n2+n）（1＜n＜4），由（2）可知，PG＝﹣n2+n﹣，所以+＝＝＝PG＝﹣（n﹣）2+．利用二次函数的性质可得出最值． 【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x． （2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t， 将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t， ∴， 解得． ∵A（4，0），B（1，4）， ∴S△OAB＝×4×4＝8， ∴S△OAB＝2S△PAB＝8，即S△PAB＝4， 过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图， ∴S△PAB＝S△PNB+S△PNA＝PN×BE+PN×AM＝PN＝4， ∴PN＝． 设点P的横坐标为m， ∴P（m，﹣m2+m）（1＜m＜4），N（m，﹣m+）， ∴PN＝﹣m2+m﹣（﹣m+）＝． 解得m＝2或m＝3； ∴P（2，）或（3，4）． （3）∵PD∥OB， ∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC， ∴△DPC∽△BOC， ∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB， ∵＝＝，＝＝， ∴+＝． 设直线AB交y轴于点F．则F（0，）， 过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图， ∵∠PDC＝∠OBC， ∴∠PDG＝∠OBF， ∵PG∥OF， ∴∠PGD＝∠OFB， ∴△PDG∽△OBF， ∴PD：OB＝PG：OF， 设P（n，﹣n2+n）（1＜n＜4）， 由（2）可知，PG＝﹣n2+n﹣， ∴+＝＝＝PG＝﹣（n﹣）2+． ∵1＜n＜4， ∴当n＝时，+的最大值为． 【点评】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、三角函数、三角形面积、相似三角形的判定与性质等基础知识，考查数形结合、函数与方程，函数建模等数学思想方法，考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养． 58．（2022•雨花台区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上． （1）该抛物线的对称轴为 　直线x＝2　； （2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3，求a，m的值； （3）在（2）的条件下，是否存在实数n，当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5，若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【分析】（1）将x＝0代入解析式可得抛物线经过（0，3），由抛物线的对称性求解． （2）由m＞0，2﹣m≤x≤2+2m可得x＝2时，y取最小值，从而可得a的值，由x＝2+2m时y＝3可得2+2m＝4，从而可得m的值． （3）抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，分类讨论n≤2或n﹣2≥2求解． 【解答】解：（1）将x＝0代入y＝ax2+bx+3得y＝3， ∴抛物线经过（0，3）， ∵点（4，3）在抛物线上， ∴抛物线对称轴为直线x＝2， 故答案为：直线x＝2． （2）由（1）得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2， ∴b＝﹣4a， ∴y＝ax2﹣4ax+3， ∵m＞0，2﹣m≤x≤2+2m， ∴x＝2时，y＝﹣1为函数最小值，即抛物线顶点坐标为（2，﹣1）， ∴﹣1＝4a﹣8a+3， 解得a＝1， ∴y＝x2﹣4x+3， ∵2+2m﹣2＞2﹣（2﹣m）， ∴x＝2+2m时，y＝3为最大值， ∵m＞0， ∴2+2m＝4， 解得m＝1， ∴a＝1，m＝1． （3）∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝2， ∴当n≤2时，x＝n﹣2时y＝3n+5，x＝n时，y＝3n﹣3， ∴， 解得n＝1， 当n﹣2≥2时，x＝n﹣2时y＝3n﹣3，x＝n时y＝3n+5， ∴， 方程无解， 综上所述，n＝1． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 59．（2022•建邺区二模）我们在研究一个新函数时，常常会借助图象研究新函数的性质．在经历列表、描点、连线的步骤后，就可以得到函数图象．利用此方法对函数y＝﹣（|x|﹣2）2进行探究． 绘制图象： （1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 观察探究： （2）结合图象，写出该函数的一条性质：　函数图象关于y轴对称（答案不唯一）　． （3）方程﹣（|x|﹣2）2＝﹣1的解是 　x＝﹣3或x＝﹣1或x＝1或x＝3　． （4）若关于x的方程﹣（|x|﹣2）2＝x+b有两个不相等的实数解，则b的取值范围是 　b＜﹣4或﹣　． 延伸思考： （5）将该函数的图象经过怎样的变换可以得到函数y2＝﹣（|x﹣1|﹣2）2+3的图象？写出变换过程，并直接写出当2＜y2≤3时，自变量x的取值范围． 【考点】二次函数综合题．版权所有 【专题】代数综合题；推理能力． 【分析】（1）分x＞0或x＜0，分别画出二次函数的图象即可； （2）根据图象可知函数的性质，写出一条即可； （3）当y＝﹣1与函数图象交点的横坐标即为方程的解； （4）分两种情形：当﹣（x﹣2）2＝x+b有两个相等的实数根时或当﹣（x+2）2＝x+b有两个相等的实数根时，分别利用Δ＝0，可得b的值； （5）将函数y＝﹣（|x|﹣2）2向右平移1个单位，再向上平移3个单位可得函数y2＝﹣（|x﹣1|﹣2）2+3的图象，利用解不等式可得答案． 【解答】解：（1）如图所示； （2）由图象知：函数图象关于y轴对称（答案不唯一）， 故答案为：函数图象关于y轴对称（答案不唯一）； （3）方程﹣（|x|﹣2）2＝﹣1的解为x＝﹣3或x＝﹣1或x＝1或x＝3， 故答案为：x＝﹣3或x＝﹣1或x＝1或x＝3； （4）由图象知，b＜﹣4时，直线y＝x﹣4与图象y＝﹣（|x|﹣2）2有两个交点， 当﹣（x﹣2）2＝x+b有两个相等的实数根时，则x2﹣3x+4+b＝0， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4（4+b）＝0， ∴b＝﹣， 当﹣（x+2）2＝x+b有两个相等的实数根时，则x2+5x+4+b＝0， ∴Δ＝52﹣4（4+b）＝0， ∴b＝， ∴方程﹣（|x|﹣2）2＝x+b有两个不相等的实数解时，b＜﹣4或﹣， 故答案为：b＜﹣4或﹣； （5）将函数y＝﹣（|x|﹣2）2向右平移1个单位，再向上平移3个单位可得函数y2＝﹣（|x﹣1|﹣2）2+3的图象， 当2＜﹣（|x﹣1|﹣2）2+3≤3， ∴﹣1＜﹣（|x﹣1|﹣2）2≤0， ∴﹣1＜|x﹣1|﹣2＜1， ∴1＜|x﹣1|＜3， ∴﹣3＜x﹣1＜﹣1或1＜x﹣1＜3， ∴﹣2＜x＜0或2＜x＜4． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，方程与二次函数的关系，一元二次方程根的判别式，函数图象的平移，函数与不等式的关系等知识，熟练掌握二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键． 一十四．四边形综合题（共1小题） 60．（2023•鼓楼区模拟）已知二次函数y＝mx2﹣（2m﹣1）x﹣2． （1）求证：该函数图象与x轴必有交点； （2）当m＜0时，该函数图象顶点的最低点坐标是（ 　2　，　0　） （3）如图，若点A（1，1）、B（3，1）、C（1，﹣1）、D（3，﹣1）四个点构成一个正方形方框，随着m的变化，函数的图象也不断发生变化；此时图象与方框的交点个数为n，请直接写出n的值以及相应的m的范围． 【考点】四边形综合题．版权所有 【专题】数形结合；分类讨论；二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；应用意识． 【分析】（1）利用一元二次方程根的情况判断抛物线与x轴的交点情况； （2）由y＝mx2﹣（2m﹣1）x﹣2＝m（x﹣）2﹣，设函数顶点纵坐标为y'，则y'＝﹣•（2m+1）2，由二次函数性质可得答案． （3）令y＝0，得x＝2或x＝﹣，故抛物线必过点（2，0），抛物线的对称轴为直线x＝1﹣，由（2）知顶点坐标为（1﹣，﹣），再分情况讨论． 【解答】（1）证明：令y＝0，得mx2﹣（2m﹣1）x﹣2＝0， ∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2+8m＝（2m+1）2≥0， ∴二次函数y＝mx2﹣（2m﹣1）x﹣2的图象与x轴必有交点； （2）解：∵y＝mx2﹣（2m﹣1）x﹣2＝m（x﹣）2﹣， 设函数顶点纵坐标为y'，则y'＝﹣•（2m+1）2， ∵m＜0， ∴﹣＞0， ∴当m＝﹣时，y'的最小值为0， 此时二次函数解析式为y＝﹣x2+2x﹣2＝﹣（x﹣2）2， ∴该函数图象顶点的最低点坐标是（2，0）， 故答案为：2，0； （3）解：令y＝0，则mx2﹣（2m﹣1）x﹣2＝0， ∴x＝2或x＝﹣， ∴抛物线必过点（2，0），抛物线的对称轴为直线x＝1﹣， 由（2）知顶点坐标为（1﹣，﹣）， ①当m＞0时，如图， ∵1﹣＜1， ∴抛物线的对称轴在直线x＝1的左侧， ∴抛物线在对称轴左侧的部分与正方形方框无交点， ∵（2，0）在正方形方框内部， ∴抛物线在对称轴右侧的部分与正方形方框有两个交点， ∴当m＞0时，n＝2； ②当m＜0时， ∵1﹣＞1， ∴抛物线的对称轴直线x＝1﹣在直线x＝1的右侧， （Ⅰ）若抛物线y＝mx2﹣（2m﹣1）x﹣2过A（1，1），则1＝m﹣（2m﹣1）﹣2， 解得m＝﹣2， 此时抛物线顶点为（，），顶点在直线AB上方，如图： 由图可知m＝﹣2时，n＝3； （Ⅱ）当m＜﹣2时，如图： 此时抛物线顶点在直线AB上方，抛物线在对称轴直线左侧的部分与正方形方框无交点， ∴m＜﹣2时，n＝2； （Ⅲ）当顶点在线段AB上时，如图： 此时﹣＝1， 解得m＝（此时顶点在线段AB上，舍去）或m＝， 由图可知，m＝时，n＝3； （Ⅳ）当﹣2＜m＜时，如图： 此时顶点在直线AB上方，抛物线与正方形方框有4个交点， ∴﹣2＜m＜时，n＝4； （Ⅴ）当对称轴直线过（2，0）时，如图： 1﹣＝2， 解得m＝﹣， 此时抛物线顶点为（﹣2，0）， ∴m＝﹣时，n＝2； （Ⅵ）当＜m＜﹣时，抛物线顶点在正方形方块内部，故n＝2； （Ⅶ）当2＜1﹣＜3，即﹣＜m＜﹣时，如图： 此时抛物线顶点在正方形方块内部， ∴﹣＜m＜﹣时，n＝2， （Ⅷ）当1﹣＝3，即m＝﹣时，抛物线顶点为（3，﹣），如图： ∴m＝﹣时，n＝2； （Ⅸ）当﹣＜m＜0时，如图： 此时抛物线在对称轴右侧部分与正方形方块无交点， ∴n＝2； 综上所述，m＞0时n＝2，当＜m＜0时n＝2，当m＝或m＝﹣2时n＝3，当﹣2＜m＜时n＝4，当m＜﹣2时n＝2． 【点评】本题考查四边形综合应用，涉及二次函数的性质及应用，解题的关键是分类讨论思想的应用． 考点卡片 1．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 2．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 3．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 4．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 5．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 6．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 7．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 8．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 9．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 10．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 11．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 12．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 13．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 14．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 15．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 16．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 17．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 18．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 19．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 20．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 21．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 22．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 23．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 24．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 25．四边形综合题 涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/24 23:23:08；用户：13072572469；邮箱：13072572469；学号：22194380 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$