28.1锐角三角函数（课时1）课件- 2023—2024学年人教版数学九年级下册

28.1锐角三角函数 （课时1） 第二十八章 锐角三角函数 素养目标 1.理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变)； 2.能根据正弦概念正确进行计算； 3.培养学生良好的数形结合的能力，激发学生的求知欲和学习的自信心. 重点 重难点 情境导入 意大利比萨斜塔 意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔顶中点偏离垂直中心线2.1m．1972年比萨地区发生地震，这座高54.5m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2m，而且还以每年增加1cm的速度继续倾斜，随时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm． 情境导入 意大利比萨斜塔 【提问】根据上述信息，你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角Ө”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？ θ 垂直中心线 塔身中心线 探究新知 【探究一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡的坡角（∠A）为30°，为使出水口的高度为35m，需要准备多长的水管？ 探究新知 【分析】这个问题可以归结为:在Rt△ABC，∠C = 90° ∠A = 30°，BC = 35 m，求AB的长.（如图所示） A C B 探究新知 A C B 在Rt△ABC，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35 m，求AB的长. 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”， 即 可得AB = 2BC =70 (m).因此，需要准备70m长的水管. 探究新知 【思考】如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？ A C B 出水口高度为50m，即 BC 长由35m变为50m，其余条件不变. 探究新知 A C B 在Rt△ABC，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 50m，求AB的长. 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”， 即 可得AB = 2BC =100 (m).因此，需要准备100m长的水管. 归纳总结 【思考】根据上面求AB（所求水管的长度）的过程中，你能得到什么结论？ 【结论】 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 A B C 30° 探究新知 A C B 45° 【探究二】如图，任意画一个Rt△ABC，如果∠C = 90°，∠A = 45°，计算∠A 的对边 BC 与斜边 AB 的比，你能得出什么结论？ 解：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， 因为∠A = 45°，所以 Rt△ABC 是等腰直角三角形， 由勾股定理，得 AB2 = AC2 + BC2 = 2BC2， 所以 因此 归纳总结 【结论】 在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 A C B 45° 探究新知 【探究三】在 Rt△ABC 中，如果 ∠C = 90°，∠A = a， 那么 ∠A 的对边 BC 与斜边 AB 的比是一个定值吗？ A B C a 探究新知 任意画 Rt△ABC 和 Rt△ A'B'C' ，使得 ∠C =∠C' = 90°， ∠A =∠A' = α，那么 与 有什么关系？ a A B C a A' B' C' 探究新知 A B C a 因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以 Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以 【结论】在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值. a A' B' C' 归纳总结 【结论】如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sin A. 例如，当∠A = 30°时，我们有 当∠A = 45°时，我们有 A B C 邻边b 对边a 斜边c 归纳总结 （1）“sinA”是一个完整的符号，单独写符号 sin 是没有意义的，表达时有时要省去角的符号“∠” sin∠DEF、 sin∠1 （不能省去角的符号） sinA 、 sin39 °、 sinβ （省去角的符号） 注意 （2）对于锐角A 的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数. （3）∠A的正弦sinA随着∠A的变化而变化 例题练习 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，求 sinA 和sinB 的值. A B C 4 3 图1 ？ A B C 13 5 图2 ？ 例题练习 解：如图1，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 因此 如图2，在Rt△ABC中，由勾股定理得 因此 A B C 13 5 图2 ？ A B C 4 3 图1 ？ A C D D A 小结 A B C a 锐角 三角函数 两边比值一定 正弦 1.在直角三角形中 2.对应边的比值 3.建立等式(方程思想) 角度变化，比值变化 谢谢同学们的聆听 练习1 已知在 中， ， ， ，则 ( ) A. B. C. D. 解析： EMBED Equation.DSMT4 中， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，故选：A. 练习2 如图，在 中， ， ， ，则 的值为( ) A. B. C. D.2 解析： 在 中， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 故选：C. 练习3 在 中, , , ,则 ______. 解析：根据 , , ,得 , 故 . 故答案为： . 练习4 如图,在 的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1, 的顶点都在这些小正方形的顶点上,则 的值为( ) A. B. C. D. 解析：如图,过C作 于D,则 , EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.DSMT4 . 故选D. 练习5 如图，在平面直角坐标系中，点 与原点O的连线 与x轴正半轴的夹角为 ，则 的值为________. 解析：如图所示，过点A作 轴于B， ， ， ， ， ，故答案为： . 练习6 如图，正方形 的两边 、 分别在y轴、x轴上， 点 在边 上，则 的正弦值为( ) A. B. C. D. 解析：∵在正方形 中， ，∴ ， ∵ ， ∴正方形 的边长为10，即 ， ， ， ∴ ， ∴ ， 故选：D. 练习7.如图，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则 的值为( ) A. B. C. D. 解析：如图，连接 ， 则 ， ， ， 故选：A. $$