精品解析：海南省文昌中学2024-2025学年高二上学期11月段考数学试题

2024—2025学年度第一学期 高二年级数学科段考试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，则实数m值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化成斜截式方程，求得斜率，再借助于直线的斜率定义即可求得m值. 【详解】由题知，，解得. 故选：A. 2. 已知空间向量，.若，则（ ） A. 12 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过两向量的平行关系即可确定、值，即可求解. 【详解】因为，所以有：， 解得，，所以. 故选：A. 3. 若方程表示圆，则的取值范围为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，方程表示圆，代入可求得的取值范围. 【详解】由方程表示圆得，，解得或， 故的取值范围为. 故选：D. 4. 已知椭圆，则椭圆的（ ） A. 长轴长为4 B. 焦点在轴上 C. 离心率为 D. 焦距为 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质求解即可. 【详解】由，则焦点在轴上， 且，，则， 即， 所以长轴长为，焦距为，离心率为. 故选：A. 5. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可. 【详解】取的中点，则，且， 以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 所以在上的投影的长度为， 故点到直线的距离为， 故选：C. 6. 已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，利用椭圆定义可得，即可得到椭圆离心率. 【详解】 由题意得，. ∵，， ∴， 由椭圆定义得，，即， ∴，即椭圆的离心率为. 故选：D. 7. 据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（ ） A. 5 B. C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【详解】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设圆的半径为，在中利用勾股定理可得， 即，解得； 易知， 在中，易知，即，解得. 故选：C 8. 点在直线上, ，与圆分别相切于A，B两点， O为坐标原点，则四边形PAOB面积的最小值为 （ ） A. 24 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】分析：因为切线，的长度相等，所以四边形PAOB面积为的面积的2倍．因为， 所以要求四边形PAOB面积的最小值，应先求的最小值．当取最小值时，取最小值．的最小值为点P到直线的距离，因为圆的圆心坐标为，半径为．进而可求切线的长度的最小值，最小值为．可求四边形PAOB面积的最小值． 详解：圆的圆心坐标为，半径为． 的最小值为点P到直线的距离， 此时切线，的长度取得最小值，最小值为． 所以四边形PAOB面积的最小值为． 故选C． 点睛：解决圆的有关切线的问题，一要注意圆心到切线的距离等于半径，二要注意圆心与切点的连线与切线垂直，三要注意圆心、切点、圆外一点构成三角形为直角三角形，利用此直角三角形的三边长关系可以求切线长．求圆的切线长的最值，应转化为求圆心到圆外一点的距离的最值．本题考查学生的识图能力、运算能力、转化能力． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在下列给出的正方体中，点为顶点，点为下底面的中心，点为正方体的棱所在的中点，则与垂直的是（   ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，得到两直线的方向向量，用向量的坐标求向量的数量积，数量积的结果即可判定直线是否垂直. 【详解】在正方体中，已其中一个顶点为原点，相邻的三边为坐标轴建系，设每个正方体棱长均为2. A选项：如图，，，， 即，，∴，∴.A选项正确； B选项：如图，，，， 即，，∴，∴不成立.B选项错误； C选项：如图，，， 即，，∴，∴.C选项 正确； D选项：如图，，， 即，，∴，∴不成立.D选项正确. 故选：AC. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 圆上的动点与定点所连线段的中点的轨迹方程为 C. 若圆与圆有唯一公切线，则 D. 圆上存在两个点到直线的距离为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】当时，可得直线定点判断A正确；设，由中点坐标公式得到点的坐标，代入圆方程化简可判断B正确；由可得C错误；求出圆心到直线的距离，再结合圆上的点到直线的最大距离和最小距离可得D正确； 【详解】对于A，当时，，所以直线过定点，故A正确； 对于B，设，由题意可得点的坐标为， 代入圆方程可得，即点的轨迹方程为，故B正确； 对于C，圆，圆， 因为两圆有唯一的公切线，所以两圆相内切，所以， 即，解得，故C错误； 对于D，圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为， 因为，所以圆上存在两个点到直线的距离为2，故D正确； 故选：ABD. 11. 在棱长为2的正方体中，是底面的中心，是棱上的一点，且 为线段的中点，则（   ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 当时，过三点的平面截正方体所得截面的面积为4 D. 存在使得直线与平面垂直 【答案】AB 【解析】 【分析】在正方体中建立空间直角坐标系，由点的坐标，得到向量坐标，由向量坐标成比例得到向量共线，由此线线平行；由点坐标求出底面面积和高求出体积；找到正方体截面的点，求出梯形面积即可；由线的方向向量和平面内的向量垂直建立方程组，求得方程组的解，由此判断是否存在使得直线与平面垂直. 【详解】如图，在正方体，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴ ∵，∴， ∵为线段的中点，∴，即， ∴，， ∵，∴，A选项正确； ，∴B选项正确； 当时，，∵，，即， ∴共线， 取中点，则 即共面，且在正方体的面上， ∴过三点的平面截正方体所得截面为梯形， ，，等腰梯形的高 故，故C选择错误； ， ， 当时，即时，直线与平面垂直， 但，故不存在使得直线与平面垂直，故D选项错误. 故选：AB. 【点睛】方法点睛，在正方体中的立体几何问题可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量的性质来解决. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知直线，直线，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由两直线垂直的公式可得结果. 【详解】∵， ∴，解得. 故答案为：. 13. 圆：与圆：相交于、两点，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】先求出相交弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可. 【详解】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 有圆：，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：4. 14. 如图，直线与直线交于点，点在轴上，是圆心为，半径为的圆上的一段圆弧，是以为直径的半圆，是以为直径的半圆，三段圆弧构成曲线，则所在圆的方程为__________，曲线上有__________个整点（横､纵坐标均为整数的点）. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，联立两直线方程即可得到点坐标，从而得到圆的方程，分别联立直线与圆的方程即可得到点坐标，即可得到曲线上的整点个数. 【详解】联立直线与直线的方程，可得，解得， 所以，且半径为，则所在圆的方程为； 又直线，令可得，所以， 联立直线与圆的方程，可得， 消去可得，解得或（舍），则，所以， 联立直线与圆的方程，可得， 消去可得，解得或（舍），则，所以， 则以为直径的半圆上的整点坐标有， 以为直径的半圆上的整点坐标有， 又所在圆的方程为， 令，解得或（舍）， 即与轴交点坐标为， 令，可得， 所以上的整点坐标有， 即曲线上有个整点. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求符合下列条件的直线方程： （1）过两条直线和的交点，且与平行； （2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两直线相交，可得交点坐标，根据平行可设直线一般式方程，代入交点坐标即可得到结果. （2）分截距为0和不为0两种情况求解. 【小问1详解】 由得 ，即交点坐标为， ∵直线与直线平行， ∴设所求直线方程为，代入得，解得 ∴所求直线方程为. 【小问2详解】 当横、纵截距都为0时，设直线的方程为， ∵直线过点，∴，解得， ∴直线的方程为，即. 当截距均不为0时，设直线的方程为. ∵直线过点，∴，解得， ∴直线方程为，即. 综上，所求直线方程为或. 16. 如图，在五棱锥中，，，，，，． （1）证明：平面． （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为，，，， 所以，， 则，， 因为，平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求平面夹角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系． ，，， 则，． 易得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，取得． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 已知以点为圆心的圆与直线相切. （1）求圆的方程; （2）过点的直线与圆相交与两点， 当时，求直线方程； （3）已知实数满足圆的方程，求的最小值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知到直线的距离为圆半径，由点到直线的距离公式即可求解； （2）求得圆心到直线的距离，分斜率是否存在两种情况计算可得结论； （3）求得圆心到的距离的最小值可得结论. 【小问1详解】 （1）由题意知点到直线的距离为圆的半径， 由点到直线的距离公式可得, 所以圆的方程为. 【小问2详解】 因为直线与圆相交与两点，且， 所以可得圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直到直线的距离为，符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由题意可得，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. 【小问3详解】 表示点到的距离的平方， 又圆心到到的距离为， 所以点到的距离的最小值为， 所以的最小值为. 18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝，PA＝2. （1）取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB； （2）求直线AC与PD所成角的余弦值； （3）在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） 取的中点，连接，则，， 所以四边形为矩形，所以， 以A为原点，AE所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，， 取中点，则，， 所以，故，又平面，平面， 所以DN∥平面PAB. （2）； （3） 假设存在，且， 则点为，所以， 设平面的法向量是， ， 令，，（易知t=1不合题意） 又是平面的一个法向量， ， 解得(舍去)，则． 此时平面的一个法向量可取，， 设与平面所成的角为， 则， 由知，. 与平面所成角的大小为． 【解析】 【分析】取的中点，连接，则，以A为原点，AE所在的直线为x轴，所在直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系. （1）计算，利用向量法求证即可； （2）利用向量的夹角公式计算异面直线所成的角； （3）假设存在点M符合题意，根据二面角、线面角的向量求法计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，， . 故直线AC与PD所成角的余弦值为. 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，，在椭圆上， （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于，两点，AB的中点坐标为，求直线的方程； （3）直线：与椭圆相交于，两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值. 【答案】（1） （2） （3） 如图，设，， 由得， ，        则，， ∴ ，                 ∵点到直线的距离，且， ∴ ， ∴的面积为定值. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）利用点差法求得直线的斜率，进而求得直线的方程. （3）利用弦长公式表示，点到直线的距离为三角形的高度，表示面积即可得到结论. 【小问1详解】 由题意得，，                 将代入得，， 整理得，即，解得，故， ∴椭圆E的方程为. 【小问2详解】 如图，易知点在椭圆内，设，，则， 由点在椭圆上得，， 两式相减得：，即， ∴， 即直线n的斜率为， ∴直线n的方程为，即. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期 高二年级数学科段考试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，则实数m值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，.若，则（ ） A. 12 B. 10 C. D. 3. 若方程表示圆，则的取值范围为（   ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆，则椭圆的（ ） A. 长轴长为4 B. 焦点在轴上 C. 离心率为 D. 焦距为 5. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（   ） A. B. C. D. 7. 据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（ ） A. 5 B. C. 15 D. 8. 点在直线上, ，与圆分别相切于A，B两点， O为坐标原点，则四边形PAOB面积的最小值为 （ ） A. 24 B. 16 C. 8 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在下列给出的正方体中，点为顶点，点为下底面的中心，点为正方体的棱所在的中点，则与垂直的是（   ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 圆上的动点与定点所连线段的中点的轨迹方程为 C. 若圆与圆有唯一公切线，则 D. 圆上存在两个点到直线的距离为2 11. 在棱长为2的正方体中，是底面的中心，是棱上的一点，且 为线段的中点，则（   ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 当时，过三点的平面截正方体所得截面的面积为4 D. 存在使得直线与平面垂直 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知直线，直线，若，则_________． 13. 圆：与圆：相交于、两点，则_________． 14. 如图，直线与直线交于点，点在轴上，是圆心为，半径为的圆上的一段圆弧，是以为直径的半圆，是以为直径的半圆，三段圆弧构成曲线，则所在圆的方程为__________，曲线上有__________个整点（横､纵坐标均为整数的点）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求符合下列条件的直线方程： （1）过两条直线和的交点，且与平行； （2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 16. 如图，在五棱锥中，，，，，，． （1）证明：平面． （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知以点为圆心的圆与直线相切. （1）求圆的方程; （2）过点的直线与圆相交与两点， 当时，求直线方程； （3）已知实数满足圆的方程，求的最小值. 18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝，BC＝，PA＝2. （1）取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB； （2）求直线AC与PD所成角的余弦值； （3）在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由． 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，，在椭圆上， （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于，两点，AB的中点坐标为，求直线的方程； （3）直线：与椭圆相交于，两点，且，求证：（为坐标原点）的面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $