第三章圆锥曲线的方程单元练习题-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

圆锥曲线单元练习题 一、单选题 1．设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C．+ D． 2．抛物线的准线方程是，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．若双曲线（，）的右焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．若双曲线的左、右两焦点分别为，，其渐近线上存在点P满足，，则此双曲线渐近线的方程为（   ） A． B． C．y=x D． 5．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（   ） A．2 B． C． D．4 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于、两点，其中为上顶点，且，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 8．已知是椭圆的左焦点，椭圆的上顶点为，在以点为圆心、为半径的圆上存在点，使得的斜率为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．曲线，下列结论正确的有（   ） A．若曲线C表示椭圆，则且不等于0 B．若曲线C表示双曲线，则焦距是定值 C．若，则短轴长为 D．若，则渐近线为 10．已知椭圆的离心率为，短轴长为2，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8 B．存在点，使得的长度为4 C．椭圆上存在4个不同的点，使得 D．内切圆半径的最大值为 11．已知椭圆：（）与双曲线：有相同的焦点，，且它们的离心率之积为，点是与的一个公共点，则（   ） A．椭圆的方程为 B． C．为等腰三角形 D．对于上的任意一点， 三、填空题 12．已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且倾斜角为，若抛物线C上存在点M与点关于直线l对称，则 ． 13．已知点，点F为抛物线的焦点．若以点P，F为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为 ． 14．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是 . 四、解答题 15．已知椭圆经过点，左焦点，直线与椭圆交于，两点，是坐标原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若面积为1，求直线的方程. 16．已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到它的左､右焦点的距离之和为4，且 （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值. 17．已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，君，求点到直线的距离的最大值． 18．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点. (1)当直线的倾斜角为时，求； (2)设为坐标原点，直线，分别与直线交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 19．已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． （Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线单元练习题答案 一、单选题 1．设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C．+ D． 【详解】由题意的周长为，， 所以，所以, 可知点的轨迹是以为焦点，长轴长为除去长轴的两个端点的椭圆， 所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 2．抛物线的准线方程是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】由已知抛物线，即，则准线方程为， 解得，故选：D. 3．若双曲线（，）的右焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】根据对称性，双曲线的焦点到两条渐近线的距离相等， 其中一条渐近线的方程为，即， 右焦点到的距离等于， 所以，所以， 即，则，所以， 故选：B. 4．若双曲线的左、右两焦点分别为，，其渐近线上存在点P满足，，则此双曲线渐近线的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 所以， 又因为在中，， 则， 即其中一条渐近线的斜率，因此双曲线的渐近线的方程为，    故选：C. 5．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【详解】由抛物线方程可得焦点，准线方程为， 如图： 过点P作准线的垂线，垂足为N， 因为点P在抛物线上，所以，所以， 当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即垂直于准线时，所求的和最小， 又因为Q在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径， 所以. 故选：A. 6．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（   ） A．2 B． C． D．4 【详解】因为，所以， 设准线与轴交于点，因为， 所以.因为，所以， 所以在等边中，. 故选：D. 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于、两点，其中为上顶点，且，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，，设则由，可得， 解得，即， 又在椭圆上，故，即， 故，即离心率. 故选：B 8．已知是椭圆的左焦点，椭圆的上顶点为，在以点为圆心、为半径的圆上存在点，使得的斜率为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】直线的方程为，即，圆的方程为， 由题意知，直线与圆有交点，即直线与圆相交或相切， 所以，即，解得， 又，所以离心率，又，所以. 故选：C. 二、多选题 9．曲线，下列结论正确的有（   ） A．若曲线C表示椭圆，则且不等于0 B．若曲线C表示双曲线，则焦距是定值 C．若，则短轴长为 D．若，则渐近线为 【详解】当曲线表示椭圆时，，且，即且，故A正确； 若曲线C表示双曲线，焦点在轴上时，则，所以， 当焦点在轴上时，，所以，故B错误； 当时，方程为，故，，故C正确； 当时，方程为，所以渐近线方程为，故D正确. 故选：ACD 10．已知椭圆的离心率为，短轴长为2，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8 B．存在点，使得的长度为4 C．椭圆上存在4个不同的点，使得 D．内切圆半径的最大值为 【详解】对A，由题意，则， 故，解得，故椭圆， 则过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为，故A正确； 对B，根据椭圆性质可得，即，故， 即不存在点，使得的长度为4，故B错误； 对C，根据可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括两点， 易得该圆与椭圆有四个交点，即椭圆上存在4个不同的点，使得，故C正确； 对D，的周长为，设的内切圆半径为， 则，故当最大时最大，此时为上下顶点， ，则，解得，故D正确. 故选：ACD 11．已知椭圆：（）与双曲线：有相同的焦点，，且它们的离心率之积为，点是与的一个公共点，则（   ） A．椭圆的方程为 B． C．为等腰三角形 D．对于上的任意一点， 【详解】 由双曲线：的方程可知，双曲线的焦点，， 离心率为， 所以椭圆的焦点为，，离心率为， 所以椭圆中，， 所以椭圆的方程为，A正确； 因为点是与的一个公共点， 所以点在双曲线上， 所以根据双曲线的定义可知， ，且， 所以，B正确； 根据对称性，不妨设，则， 又根据椭圆的定义可知，， 所以联立，解得 ，所以，所以为等腰三角形，C正确； 设，则，， 所以， 解得，此时， 所以存在点的坐标为或或或， 使得，D错误； 故选：ABC. 三、填空题 12．已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且倾斜角为，若抛物线C上存在点M与点关于直线l对称，则 ． 【详解】，∴， 设点，则中点在直线上， 则，即①， 又∵，即∴②， 联立①②可得，又∵对称点在上， ∴，即，∴（舍去）或 故答案为：1 13．已知点，点F为抛物线的焦点．若以点P，F为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为 ． 【详解】由抛物线方程得，准线方程为， 又点，则， 在抛物线上取点H，过H作HG垂直直线，交直线于点G， 过P作PM垂直直线，交直线于点M， 由椭圆和抛物线定义得，故椭圆离心率．    故答案为：. 14．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是 . 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 双曲线的焦点到渐近线的距离为， 联立可得， 由题意可知，关于的方程无实数解，则， 又因为，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．已知椭圆经过点，左焦点，直线与椭圆交于，两点，是坐标原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若面积为1，求直线的方程. 【详解】（1）依题意可得解得，右焦点，， ，所以，则， 所以椭圆的标准方程为． （2）设，，，，由得， 则△ 由△得，则， 所以 因为到的距离， 所以 得，直线的方程为． 16．已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到它的左､右焦点的距离之和为4，且 （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值. 【详解】(1)因为点到椭圆左､右焦点的距离之和为4，所以，即， 又因为，，所以，即，所以， 所以， 所以椭圆的方程为. (2)易知直线的斜率为0时不满足题意，所以设直线的方程为：， 由 消，得， 设，则 ， ， ， 所以， 令 ，则，于是 令，则恒成立， 所以在上单调递增， 所以当时，，所以， 所以面积的最大值为3. 17．已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，君，求点到直线的距离的最大值． 【详解】（1）由题意可得， 则直线的斜率，直线的斜率． 因为直线的斜率之积为3，所以，解得． 因为点在双曲线上，所以，解得． 故双曲线的标准方程为． （2）设直线 联立整理得 则 所以． 因为，所以， 所以 即 化简得，故． 由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离． 因为，所以，所以， 即点到直线的距离的最大值是． 18．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点. (1)当直线的倾斜角为时，求； (2)设为坐标原点，直线，分别与直线交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 【详解】（1）解：设直线的方程为， 联立，可得， 设，，则， 所以. （2）证明：设直线， 联立，得， 所以，， 又，， 所以， 同理可得， 设圆上任意一点为， 则由可得，圆的方程为， 整理得， 令，可得或， 所以为直径的圆过定点，定点坐标为和. 19．已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． （Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围； （Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值． 【详解】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，得，．利用直线PA，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论. 详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2）， 所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x． 由题意可知直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）． 由得． 依题意，解得k<0或0<k<1． 又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3． 所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）． 由（I）知，． 直线PA的方程为． 令x=0，得点M的纵坐标为． 同理得点N的纵坐标为． 由，得，． 所以． 所以为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$