超几何分布专项练习-2025届高三数学一轮复习

高考一轮复习 2024-2025学年度高三一轮复习38--超几何分布专项练习 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）在含有4件次品的100件产品中，任取2件，则至多取到1件次品的概率为（　　） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·上海·单元测试）设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的期望为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·全国·课后作业）国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东江门·二模）一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（23-24高三上·广东深圳·期末）一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球．有下列结论：①取出的最大号码X服从超几何分布；②取出的黑球个数Y服从超几何分布；③取出2个白球的概率为；④若取出1个黑球记2分，取出1个白球记1分，则总得分最大的概率为.其中正确的结论是（　　） A．①② B．②④ C．③④ D．①③④ 8．（2022·四川成都·模拟预测）袋中有6个大小相同的黑球，编号为，还有4个同样大小的白球，编号为，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（    ） ①取出的最大号码服从超几何分布； ②取出的黑球个数服从超几何分布； ③取出2个白球的概率为； ④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 A．①② B．②④ C．③④ D．①③④ 二、多选题 9．（2024·吉林·模拟预测）从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则（    ） A．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有种 B．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为 C．抽出的产品中至少有件是次品的概率为 D．抽出的产品中次品数的数学期望为 10．（24-25高三上·四川绵阳·开学考试）某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查．已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（    ） A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人 B．随机变量 C．随机变量的数学期望为 D．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则 11．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知随机变量的概率为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．甲每次射击命中的概率为0.6，甲连续射击10次的命中次数满足此分布列 D．一批产品共有10件，其中6件正品，4件次品，从10件产品中无放回地随机抽取4件，抽到的正品的件数满足此分布列 三、填空题 12．（25-26高三上·上海·单元测试）某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去城市支援，设表示其中内科医生的人数，则 13．（2024高三·全国·专题练习）高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3名学生参加体育抽测，用X表示男生被选中的人数，则 ； ． 14．（2024·天津·二模）盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是 ；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则 ． 四、解答题 15．（24-25高三上·江苏常州·期中）某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设经验.先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程. (1)在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X，求X的分布列和数学期望； (2)求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率. 16．（2024·广东广州·模拟预测）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图. (1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望； (3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值. 17．（22-23高三下·山东济宁·开学考试）某市为进行学科能力竞赛表彰，其中数学组、物理组获奖情况如下表，组委会为使活动有序进行，活跃会场气氛，活动中穿插抽奖活动.并用分层抽样的方法从两个学科组抽取15人在前排就座，其中物理组有5人. 数学组 物理组 男生 30 20 女生 30 (1)求数学组中女生的人数； (2)若从前排就座的物理组5人中任选2人上台领奖，设女生的人数为，求女生人数的分布列和数学期望. 18．（24-25高三上·北京·期中）某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 数量 40 30 10 20 (1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率； (3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择， 方案一：产品不分类，售价均为21元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 四等品 售价/（元/件） 24 22 18 16 从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由. 19．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）随着科技的进步和人民生活水平的提高，电脑已经走进了千家万户，成为人们生活、学习、娱乐的常见物品，便携式电脑（俗称“笔记本”）也非常流行．某公司为了研究“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度是否与性别有关，在街头随机抽取了50人做调查研究，调查数据如下表所示． 男性 女性 合计 喜欢“台式机” 20 5 25 喜欢“笔记本” 10 15 25 合计 30 20 50 (1)依据小概率值的独立性检验，分析喜欢哪种机型与性别是否有关？ (2)该公司针对男性客户做了调查，某季度男性客户中有青年324人，中年216人，老年108人，用按比例分配的分层随机抽样的方法选出12人，又随机抽出3人进行答谢，这3人中的青年人数设为随机变量，求的分布列与数学期望． 附：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 参考答案： 1．C 【分析】至多取到1件次品包含0件次品与1件次品两种情况，再根据超几何分布的概率公式计算可得结果． 【详解】在含有4件次品的100件产品中，任取2件，则至多取到1件次品，包含0件次品与1件次品两种情况，所以概率为. 故选：C. 2．D 【详解】若从袋中任取10个球共有C种取法，恰好有6个红球，则有4个白球，故取法有CC种，由古典概型的概率公式得概率为. 3．D 【分析】设抽得次品数为，根据超几何分布的概率公式求解概率，进而可求得的值． 【详解】设抽得次品数为，则随机变量的可能取值有0、1、2， 则，，， 所以． 故选：D． 4．B 【分析】根据题意，可直接写出对应事件的概率. 【详解】由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为． 故选：B 5．B 【分析】由超几何分布的概率公式列方程即可求解. 【详解】依题意可得，即，整理得， 解得或9，因为，所以． 故选：B. 6．B 【分析】根据超几何分布的概率公式计算即可. 【详解】根据题意，至少含有一个黑球的概率是. 故选：B. 7．B 【详解】根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码X不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误；取出的黑球个数Y符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确；取出2个白球的概率为＝，故③错误；若取出1个黑球记2分，取出1个白球记1分，则取出4个黑球的总得分最大，∴总得分最大的概率为＝，故④正确． 8．B 【分析】根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取可判断①②；利用超几何分布求概率的方式即可判断③④ 【详解】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误； 对于②，取出的黑球个数符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确； 对于③，取出2个白球的概率为，故③错误； 对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大， 总得分最大的概率为，故④正确． 故选：B 9．ACD 【分析】对于A，由题意可知抽出1件次品，2件合格品，利用分步乘法原理求解，对于BC，利用超几何分布的概率公式求解，对于D，设抽出的次品数为，由题意可知可能取值为0，1，2，求出相应的概率，从而可求出其期望. 【详解】对于A，若抽出的3件产品中恰好有1件是次品，则抽出1件次品，2件合格品， 所以共有种不同的抽法，所以A正确， 对于B，由题意可知抽出的产品中至多有1件是次品的概率为，所以B错误， 对于C，由题意得抽出的产品中至少有件是次品的概率为，所以C正确， 对于D，设抽出的次品数为，由题意可知可能取值为0，1，2，则 ，，， 所以，所以D正确. 故选：ACD 10．ACD 【分析】结合分层抽样性质求出各社团所需抽取人数判断A，求随机变量的分布列，判断BD，由期望公式求的期望，判断C. 【详解】设甲、乙、丙三个社团分别需抽取人，则 ， 所以，，， 所以从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人，A正确； 随机变量的取值有，，， ，，， 所以随机变量的分布列为 所以B错误； 由期望公式可得随机变量的数学期望，C正确； 因为，所以D正确. 故选：ACD. 11．ABD 【分析】对于A，根据题目中的概率公式，可得其正误；对于B，利用数学期望的计算公式，可得其正误；对于C、D，根据超几何分布以及二项分布的定义，可得其正误. 【详解】对于A:，正确; 对于B： ，正确; 对于C：由每次射击相互独立，选项满足二项分布，而题干中X为超几何分布，错误; 对于D：由超几何分布的定义，则正确. 故选：ABD. 12． 【分析】根据题意结合超几何分布的概率公式求解. 【详解】由题意得. 故答案为： 13． 【分析】根据超几何分布概率的计算公式得到，又由事件与事件互为对立事件得，再根据超几何分布的期望公式得到. 【详解】因为事件与事件互为对立事件， 而，所以. 所以. 故答案为：；. 14． /0.8 【分析】第一空由条件概率公式可求出结果；第二空由超几何分布求出期望. 【详解】设第一次取到黑球为事件，第二次取到黑球为事件， 则，， 所以； 由题意可得的取值为， ， 所以， 故答案为：；. 15．(1)分布列见解析，数学期望为 (2) 【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望. （2）利用全概率公式来求得正确答案. 【详解】（1）的可能取值为0,1,2， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 其数学期望为. （2）用表示事件“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是”， 用表示事件“第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是”， 两两互斥，， 由(1)知， 由全概率公式得， ， 所以在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是的概率为. 16．(1)，平均时间为小时 (2)分布列见解析，期望 (3) 【分析】（1）根据频率和为，可得，再根据平均数公式直接计算平均数即可； （2）分别计算时间在，的频数，结合分层抽样可得两组分别抽取人，根据超几何分布的概率公式分别计算概率，可得分布列与期望； （3）根据频率分布直方图可知运动时间在内的频率，根据二项分布的概率公式可得，根据最值可列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）由已知，解得， 所以平均数为 . （2）这名高中学生户外运动的时间分配， 在，两组内的学生分别有人，和人； 所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人， 所以随机变量的可能取值有，， 所以，， 则分布列为 期望； （3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为， 则， 若为最大值，则， 即， 即，解得， 又，且，则. 17．(1)70 (2)分布列见详解； 【分析】（1）根据题意结合分层抽样求数学组人数，进而可得结果； （2）分析可知物理组5人中男生有2人，女生有3人，的可能取值有：0，1，2，结合超几何分别求分布列和期望. 【详解】（1）由题意可知：物理组共有50人，每人被抽到的可能性为， 则数学组共有人，其中女生的人数为. （2）因为前排就座的物理组5人中男生有人，女生有人， 可知抽到女生的人数为的可能取值有：0，1，2，则有： ， 可得女生人数的分布列为 0 1 2 所以女生人数的期望. 18．(1)的分布列见解析； (2) (3)应该选择方案一 【分析】（1）利用分层抽样的知识求出抽取的10件产品中一等品和非一等品的数量，求出的所有可能取值及其对应的概率，写出分布列，求出数学期望. （2）由题意得出抽到四等品的数量，即可求解. （3）计算方案二的产品的平均售价，与方案一的产品的售价进行比较，即可得出结论． 【详解】（1）由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件， 所以的可能取值为0，1，2，3． ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 . （2）从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到四等品的数量为，则， ∴. （3）由题意得，方案二的产品的平均售价为： （元/件）， ∵， ∴从采购商的角度考虑，应该选择方案一. 19．(1)喜欢哪种机型与性别有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）由题意，代入公式求出观测值，将其与临界值进行对比，进而得出结论. （2）根据分层抽样确定各层人数，写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得到分布列，再根据期望公式求解即可. 【详解】（1）零假设为：喜欢哪种机型与性别无关． 由表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验可知零假设不成立，即可以认为喜欢哪种机型与性别有关. （2）由题意，，则12人中有青年人6人，中年人4人，老年人2人， 所以的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， 则分布列为 0 1 2 3 . 不是因为有希望而去努力，而是努力了才能看见希望1 学科网（北京）股份有限公司 $$