第5章 三角函数求值 复习课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角函数求值复习 人教A版2019必修第一册 学习目标 1.掌握三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式，并用其化简求值； 2．能够灵活应用和角、差角、二倍角公式进行化简求值． 3．会用整体换元的方法进行三角函数求值运算。 4．会用拼角、凑角的方法进行三角函数求值、求角运算。 2 三 角 恒 等 变 形 知识梳理 三 角 恒 等 变 形 知识梳理 利用整体换元的方法求三角函数值 考点三 ：给值求角 （一）基础训练 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝\f(sinα,cosα),和角公式\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ,sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ,tanα＋β＝\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ))),差角公式\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ,sinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβ,tanα－β＝\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ))))) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(二倍角公式\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α,sin2α＝2sinαcosα,tan2α＝\f(2tanα,1－tan2α))),半角公式\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＝±\r(\f(1－cosα,2)),cos\f(α,2)＝±\r(\f(1＋cosα,2)),tan\f(α,2)＝\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝±\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝\f(sinα,1＋cosα)＝\f(1－cosα,sinα))))) 3． （　　） A．0 B． C． D．1 【解析】 。 故答案为： A 环节二、基础自测 1、若角 的终边过点（3，-4），则 = （ ） A. B. C. D. 2．计算 （　　） A． B． C． D． 【解析】由两角差的正弦公式可得： 故答案为：C 【方法技巧】：给角求值关键是把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. 变式训练1：求的值 环节三、典例剖析 考点一 给角求值 一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系 例1 求的值 考点二 给值求值 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论； 利用角的变换求三角函数值 _1234567890.doc 例2已知sin (α－β)＝eq \f(5,13)，sin (α＋β)＝－eq \f(5,13)，且α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，求cos 2β的值． 解析　∵sin (α－β)＝eq \f(5,13)，α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))， ∴cos (α－β)＝－eq \f(12,13). 又sin (α＋β)＝－eq \f(5,13)，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))， ∴cos (α＋β)＝eq \f(12,13)， ∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)] ＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β) ＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))×eq \f(5,13)＝－1. 【方法技巧】观察“所求角”与“已知角”的关系，把“所求角”表示为“已知角”的和或差的形式如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 解题步骤：①讨论角的范围； ②求出指定范围内的角的三角函数值； ③根据已知角与未知角的联系，利用和角公式与差角公式求值． 变式训练2：已知 、 为锐角，且 ， ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 、 为锐角，所以 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 故 。 变式训练3：若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ． 变式训练4：已知 ，则 的值为（　　） B． C． D． 变式训练5：:若 ， ，则 　 　． 变式训练6：已知 ，则 （　　） B． C． D． 方法二：【解析】因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 即 ，所以 ，故答案为：A 例4：:在 中， 、 为锐角，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ， ．求 的值． 【解析】∵ 、 为锐角， ∴ ， ． ． ． ∵ ，∴ ． 【方法技巧】通过求角的某个三角函数值求角，在选择函数时，遵循以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数． 若角的范围是 ，选正、余弦函数皆可； 若角的范围是 ，选余弦函数较好； 若角的范围是 ，选正弦函数较好． 变式训练7：设 ，且 ， ，则 （    ） B． C． D． 或 【答案】A 【解析】因为 ， ，所以 ， .易知 ， ， ，则 ，故 . 变式训练8：已知 ， ， 为锐角，则 的值是（ ） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，且 ，所以 ，则 1．已知 ，则 的值为 （    ） A． B． C． D． 3．已知 都是锐角， ，则 ___________. 2．已知 ， ， 均为锐角，则角 等于（ ） A． B． C． D． 4.已知 为锐角，且 ，则 ． 5．已知 ，且 . (1)求 的值； (2)若 ， ，求 的值． 【解析】（1）∵ ， 两边同时平方，得 . ∵ ，∴ . (2) ∵ ， ，∴ . ∵ ，∴ . ∴ . 6．已知 ，则 =（    ） A． B． C． D． 【详解】解：因为 ， 所以 . 7．已知 ， 则 _____. 【解析】因为 ， ，所以 ， 因为 ，解得： ， 所以 ， 由 ，得 ，解得： ， 因为 ， 所以 ． 8. 设α为锐角，若coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，求 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12))) 的值． $$