第03讲 三角形的内切圆（1个知识点+6大题型+15道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（浙教版）

第03讲 三角形的内切圆（1个知识点+6大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.三角形的内切圆； 2.三角形的内心相关概念； 1.掌握三角形的内切圆及内心的概念； 知识点01、三角形的内切圆 （1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。 点拨： （1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径； （2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等； （3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。 【即学即练1】 1．如图，点是的内切圆的圆心，若，则度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理．利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案． 【详解】解：∵O是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【即学即练2】 2．如图，在中，，则内切圆的半径是（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，直角三角形内切圆的性质，以及切线长定理．设、、与的切点分别为D、E、F；易证得四边形是正方形；那么根据切线长定理可得：，由此可求出r的长． 【详解】解：如图，      在中，， 根据勾股定理. 四边形中，，， ∴四边形是正方形， 由切线长定理，得：，，； ∴； ∴． 故选：C． 题型01 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的内切圆，在等边中，作于点D，根据内切圆的性质可知，根据等腰三角形三线合一求出，再利用三角函数解即可． 【详解】解：如图，是等边三角形，边长为2，作于点D， 为等边的内切圆， ， ， ， ， ， 故选C． 2．如图，在中，，，，则的内切圆的半径是（    ） A．2 B． C．1 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质、三角形的面积，由勾股定理可得，再由，，列式计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、、， ，在中，，，， ， ，， ， ， 故选：C． 3．设以3，4，5为边长构成的三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 个. 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的内切圆，直线与圆的位置关系，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 可知该三角形为直角三角形，进而利用等面积法求出内切圆半径正好为1，当圆的位置移动时，就会最多产生4个交点． 【详解】解：如图， 由得该三角形为直角三角形，设，作出的内切圆，设切点为，连接，则，，设， ∵， ∴， 解得：， 进而可知内切圆半径为1，此时正好有3个交点， 当圆的位置移动时，就会最多产生4个交点，如图， 故答案为：4． 4．直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为 ． 【答案】1 【分析】本题考查三角形的内切圆，解题的关键是掌握直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边差的一半． 根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，然后运用直角三角形内切圆半径公式求解． 【详解】解：设直角三角形的两直角边为，斜边为c，内切圆半径为r， 则：，， 由勾股定理，得：， ， 故直角三角形内切圆的半径为1． 故答案为：1． 5．如图，在中，，⊙是的内切圆，半径为，切点为、、，连接，，． (1)若，，则     ； (2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据等面积法即可得出结论； （2）根据，结合，即可得到，，之间数量关系． 【详解】（1）连接、、， ∵ ∴ 在中， ∵，， ∴ 又∵， 代入①得： （2）∵， 代入①得， ∴，，之间数量关系为 【点睛】本题考查了用等面积法求三角形的内切圆半径，三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题型02 圆外切四边形模型 1．如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到． 2．如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长． 【详解】解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点， ∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上， ∴DF=DE，OF⊥DC， ∴GF⊥DC， ∴OG⊥AB， ∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径． 在等腰直角三角形DEH中，DE=2， ∴EH=DH==AE． ∴AD=AE+DE=+2． 故选C． 【点睛】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长． 3．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ． 【答案】62° 【分析】先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可． 【详解】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆， ∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD， ∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°， ∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°， ∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°， ∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°， ∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°． 故答案为：62°． 【点睛】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键． 4．如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    【答案】 【分析】连接，由题意可知过点，，且，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于，过点作于，    ∵正方形，正方形和正方形都在正方形内， ∴， ∵分别与，，，相切， ∴四边形是正方形， ∴过点，， 四边形为正方形， ，，． ． ． 设的直径为，则 ． ， ．， ， （） 解得：． 即的直径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关键． 5．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H． （1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想； （2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长． 【答案】（1）AB+CD=AD+BC，证明详见解析；（2）4m. 【分析】(1)由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，所以AB+CD=AD+BC， (2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，AD+BC=2m，梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m 【详解】(1)AB+CD=AD+BC 证明：由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH， 所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC， 即AB+CD=AD+BC (2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得， AD+BC=2m， 梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2m=4m 【点睛】考查了圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等；也考查了梯形的中位线定理，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 . 题型03 三角形内心有关应用 1．如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（   ） A．1.5 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形面积以及切线的性质，正确将四边形分割成三角形是解题关键．利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出的半径． 【详解】解：是四边形的内切圆，设切点分别为：，，，， 连接，，，，，，，，的半径为，如图： ，， 四边形的面积 ， 解得：． 故的半径为3． 故选：B． 2．如图，在中，，其内切圆分别与相切于点D、E、F，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理、勾股定理等知识．根据切线长定理得：，再利用勾股定理列方程可得的长． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点D、E、F，，， ， ， ， ， 解得：（舍）或2， 故选：A． 3．如图，点O是的内心，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键； 先根据三角形的内心的定义得到平分，平分，根据角平线的性质得，根据三角形内角和定理计算即可； 【详解】解：， ， 点O是的内心，， 平分，平分， ， ， 故答案为：． 4．如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解，掌握内心的定义是解题的关键． 【详解】连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴， 故答案为：35． 5．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的性质得，再利用圆内接四边形的性质得，则，从而得到，则可判断； （2）根据三角形内心的性质得，然后证明得到． 【详解】（1）证明：∵点是的内心， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵点是的内心， ∴， ∵， 即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、三角形的外心、圆周角定理、圆内接四边形等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．注意数形结合思想的应用． 题型04 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据，于是得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 2．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（   ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键； 根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可． 【详解】 是的内切圆且半径为2，，， ， ， 则的面积为26， 故选：C 3．已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为 ． 【答案】50 【分析】根据三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：的面积为； 故答案为：50． 【点睛】本题考查三角形的内切圆．熟记三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，是解题的关键． 4．如图，若的内切圆与分别相切于点，且，则的半径 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，再利用切线的性质得到，，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出,即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， 、与分别相切于点、， ，， 四边形为正方形， 设， 则， 的内切圆与、、分别相切于点、、， ，， ， ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理和切线的性质．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆和内心． 5．如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积． 【答案】12 【分析】设切点为D，E，F，连接，，，将三角形面积表示为，结合周长可得结果． 【详解】解：设切点为D，E，F，连接，，， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴的面积为： ． 【点睛】本题考查了三角形的面积，内切圆的性质，解题的关键是将面积用三个三角形的和表示． 题型05 三角形内切圆与外接圆综合 1．已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，三角形的内切圆圆心到三条边的距离相等，三角形的外接圆圆心到三个顶点的距离相等，熟记相关结论即可求解.由题意得是直角三角形，设的内切圆半径和外接圆半径分别为，则，直角三角形外接圆圆心为斜边的中点，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 设的内切圆半径和外接圆半径分别为， 则， 解得：； ∵直角三角形外接圆圆心为斜边的中点， ∴ 故选：B 2．如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．先利用三角形内心的性质得到，则可计算出，然后利用圆周角定理得到∠BOC的度数． 【详解】解：过点I分别作，如图 ∵点I是的内心，且结合切线性质 ∴ ∵ ∴， 即 ∴， ∵点O是的外心， ∴． 故选：B． 3．在中，，则的外接圆半径R与内切圆半径r的差 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与外接圆，切线长定理．设分别为与内切圆的切点，则，根据勾股定理可求出的长，从而得到R的值，再证明四边形是矩形，根据切线长定理可得，可求出r，即可求解． 【详解】解：如图，设分别为与内切圆的切点，则，    在中，， 由勾股定理得， ∴外接圆半径． ∵分别为与内切圆的切点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 4．如图，点O，I分别是锐角的外心、内心，若，则的度数为 ． 【答案】/24度 【分析】连接，先计算出，再利用外心性质和等腰三角形的性质得到，则，利用圆周角定理得到，接着计算出，再根据三角形内心即可解决问题． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵O点为的外心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵I为的内心， ∴平分， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键是掌握内心与外心定义． 5．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．DB与DI相等吗？为什么？ 【答案】DB＝DI，理由见解析 【分析】连接BI，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠DAC，根据三角形内心的概念得到∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理证明即可． 【详解】解：DB＝DI， 理由如下：连接BI， 由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC， ∵I是△ABC的内心， ∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD， 由三角形的外角的性质可知，∠DIB＝∠IBA+∠ABI，又∠DBI＝∠DBC+∠IBC， ∴∠DIB＝∠DBI， ∴DB＝DI． 【点睛】此题考查的是三角形的内接圆的性质、圆周角定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，掌握三角形的内心是三个角平分线的交点、同弧所对的圆周角相等和等角对等边是解决此题的关键． 题型06 圆的综合问题 1．如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握三角形的外接圆，内切圆的综合运用是解题的关键． 根据外接圆，是直径可得，根据内切圆，可得是角平分线，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：是外接圆，是直径， ∴， ∴在中，， ∵是内切圆， ∴是的角平分线， ∴， ∴在中，， 故选：B． 2．如图，是等边的外接圆，若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是等边的外接圆，如图所示，连接，过点作于，证明是含特殊角的直接三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 如图所示，连接，过点作于， ∵是等边的外接圆，， ∴，平分，是弦的垂直平分线， ∴， ∴在中，， 设，则， ∴，即，解得，（舍去），， ∴ ∴的半径是， 故选：． 【点睛】本题主要考查等边三角形，圆，含特殊角的直角三角形的综合，掌握等边三角形的性质，外接圆的性质，含特殊角的直角三角形的性质是解题的关键． 3．如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是     ．    【答案】 【分析】取的中点O、的中点E、的中点F，连结，如图，利用等腰直角三角形的性质得到，可得，再根据等腰三角形的性质得，则，于是根据圆周角定理得到点M在以为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形为正方形得到，所以M点的路径为以为直径的半圆，然后根据弧长公式计算点M运动的路径长． 【详解】解∶ 如图，取的中点O、的中点E、的中点F，连接，则，    ∵在等腰中，， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∵， ∴， ∴点M在以为直径的圆上， 点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴M点的路径为以为直径的半圆，， ∴点M运动的路径长． 故答案为． 【点睛】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以为直径的半圆． 4．半径为5的是锐角三角形ABC的外接圆，，连接、，延长交弦于点D．若是直角三角形，则弦的长为 ． 【答案】或 【分析】如图1，当时，可得是等边三角形，解直角可求解；如图2，当，推出是等腰直角三角形，解可求解． 【详解】解：如图1，当时， 即， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2，当， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 综上所述：若是直角三角形，则弦的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质；正确的作出图形是解题的关键． 5．如图，是的直径，点在上，且是的切线，过点作的平行线交于点，交于点，连接并延长与相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理可得，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而在中，利用勾股定理求出，进而可得，然后设，则，在和中，利用勾股定理列出关于的方程，进行计算可求出的长，再根据垂径定理可得，从而可得是的中位线，最后利用三角形的中位线定理，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 是的直径， ， ， ， 设， ， 在中，， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ， 是的中位线， ． 的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线定理，切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 1．在中，，，，则内切圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内切圆及勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆及勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“三角形的内切圆的半径即为三角形的内心到三角形三条边的距离”，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设内切圆的半径为r，则有：， ∴； 故选B． 2．如图，点O是的内心，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和、三角形的内心及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内心及三角形内角和是解题的关键；由题意易得分别是的角平分线，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵点O是的内心， ∴分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 3．以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的外心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要查了圆周角定理，圆的基本性质等．根据圆周角定理，圆的基本性质，三角形的内心和外心，逐项判断，即可求解． 【详解】解：（1）等弧所对的弦相等，正确； （2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误； （3）不在同一条直线上的三点确定一个圆，故原说法错误； （4）圆的对称轴是直径所在的直线，故原说法错误； （5）三角形的内心到三角形三边距离相等，故原说法错误． 所以正确的命题的个数是1． 故选：A 4．如图，中，，，，则的内切圆半径为（　　） A．2 B．4 C．1.5 D．2.5 【答案】A 【分析】此题重点考查三角形内切圆的定义、切线的性质定理、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法．设与、、分别相切于点、、，连接，则，由勾股定理求得，连接、、，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、分别相切于点、、，连接，则， ，，， ， 连接、、， ，，， ，，，， ， 解得， 故选：A． 5．如图，中，，，，点O为内心，连接并延长交于点D，过点A作于点E，交于点F，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了内心的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理．作于点，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，利用等腰直角三角形的性质求得的长，再证明是等边三角形，据此计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点O为内心， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 故选：C． 6．在中，，，则的内切圆的半径为 ． 【答案】1 【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径，勾股定理求出的长，设内切圆的半径为，根据切线长定理，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设的内切圆与三边的切点分别为，内切圆的半径为，如图， 则：四边形为正方形，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 7．如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 【答案】2 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质．连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，，，过点分别作，，于点，，， 在中， ，，， ， 是的内心， ， ， ， ， 点到边的距离为2； 故答案为：2． 8．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且，与x轴分别交于A，B两点．若点A，点B关于原点O对称，则当取最小值时，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取最小值时点P的位置． 连接，先得出要使取最小值，则需取得最小值，再连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，过点M作轴于点Q，过点作于点H，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】连接， ， ， 点A，点B关于原点O对称， ， ， 要使取最小值，则需取得最小值， 连接，交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，过点作于点H，如图所示， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/16度 【分析】连接，由点是的内心，可得，再根据圆周角定理和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵点是的内心， ∴ ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 10．下面就是欧拉发现的一个定理：在中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则．若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考三角形的内心与外心，理解题意是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，， ∴的外心与内心之间的距离， 故答案为：． 11．如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解答本题的关键． 如图：作的角平分线交于M，点M即为所求． 【详解】如图，点M即所求： 12．如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质与判定、三角形全等、扇形的面积、求不规则图形的面积以及含三角形的性质．解决本题的关键是掌握切线的判定定理以及求扇形的面积． （1）利用是的切线，是的半径，求出，再证明出，求出，从而证明出切线． （2）利用含三角形的性质求出边长，从而求出的面积．再利用扇形公式求出扇形的面积，求差即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是的切线，是的半径． ∴ 连接 在与中， ∴ ∴ ∵C为上的一点． ∴是的切线； （2）∵， ∴ ， ∵， ， ∴， ∴ ∴． 13．如图，已知为的直径，为的弦（不是直径）且交于点F，F为的中点，四边形为矩形，为矩形的对角线，延长交于点H． (1)求证：； (2)若点F是的中点，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点M，由矩形性质得，，由为的直径，F为弦的中点，得，求出，即可证明； （2）连接，求得是等边三角形，得到 ．根据矩形性质得，得到，根据即可求出； 本题为圆的综合问题，考查圆的性质，圆周角，矩形性质，等边三角形等知识． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点M． ∵四边形为矩形， ∴，． ∵，， ∴． ∵AB为的直径，F为弦CD的中点， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接． ∵，F为中点， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∵F为的中点， ∴， ∴； ∴的半径为． 14．已知是的直径，点C，D是上方半圆上的两点，连接． (1)如图①，若点C是的中点，，求和的大小； (2)如图②，若点D是半圆的中点，且，过点C作的切线，与的延长线交于点E，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出的度数，根据等弧所对的角等得到，根据直径所对的角为直角求出，即可求出结果； （2）连接，得到，根据等边三角形性质，再求出，再利用勾股定理即可求出； 本题主要考查切线的性质，圆周角定理，弧，弦，等边三角形等知识． 【详解】（1）解：连接． ， ． ∵点C是的中点， ． ． ∵AB是的直径， ． ． ． （2）解：连接． ∵点D是半圆的中点， ． ． ， ． ， ． ，， ． 是等边三角形． ． ． ∵切于点C， ．即． ． ． ． ． ． 在中，． 15．如图，在中，，以为直径作交于点，交于点，平分，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据切线的判定即可得到结论； （2）由（1）得，，由勾股定理得，由得到，根据平行得性质得，再利用弧长公式计算即可． 本题考查了切线的判定和性质，弧长公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 为的直径， 是的切线； （2）解：由（1）知： 得到，， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 三角形的内切圆（1个知识点+6大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.三角形的内切圆； 2.三角形的内心相关概念； 1.掌握三角形的内切圆及内心的概念； 知识点01、三角形的内切圆 （1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。 点拨： （1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径； （2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等； （3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。 【即学即练1】 1．如图，点是的内切圆的圆心，若，则度数等于（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．如图，在中，，则内切圆的半径是（    ）    A．1 B． C．2 D．3 题型01 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（    ） A． B．1 C． D． 2．如图，在中，，，，则的内切圆的半径是（    ） A．2 B． C．1 D．无法判断 3．设以3，4，5为边长构成的三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 个. 4．直角三角形中，两直角边的长分别为3与4，则其内切圆半径为 ． 5．如图，在中，，⊙是的内切圆，半径为，切点为、、，连接，，． (1)若，，则     ； (2)若的周长为，面积为，则，，之间有什么数量关系，并说明理由． 题型02 圆外切四边形模型 1．如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 2．如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　） A．3 B．4 C． D． 3．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ． 4．如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    5．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H． （1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想； （2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长． 题型03 三角形内心有关应用 1．如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（   ） A．1.5 B．3 C．4 D．6 2．如图，在中，，其内切圆分别与相切于点D、E、F，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．3 3．如图，点O是的内心，，则 ． 4．如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则 ． 5．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点． (1)求证：． (2)求证：． 题型04 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 1．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 2．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（   ） A． B．24 C．26 D．52 3．已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为 ． 4．如图，若的内切圆与分别相切于点，且，则的半径 ． 5．如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积． 题型05 三角形内切圆与外接圆综合 1．已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 2．如图，在中， I是的内心，O是的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 3．在中，，则的外接圆半径R与内切圆半径r的差 ． 4．如图，点O，I分别是锐角的外心、内心，若，则的度数为 ． 5．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．DB与DI相等吗？为什么？ 题型06 圆的综合问题 1．如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，是等边的外接圆，若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是     ．    4．半径为5的是锐角三角形ABC的外接圆，，连接、，延长交弦于点D．若是直角三角形，则弦的长为 ． 5．如图，是的直径，点在上，且是的切线，过点作的平行线交于点，交于点，连接并延长与相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 1．在中，，，，则内切圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．如图，点O是的内心，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的外心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，中，，，，则的内切圆半径为（　　） A．2 B．4 C．1.5 D．2.5 5．如图，中，，，，点O为内心，连接并延长交于点D，过点A作于点E，交于点F，则（    ） A． B．1 C． D． 6．在中，，，则的内切圆的半径为 ． 7．如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 8．如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且，与x轴分别交于A，B两点．若点A，点B关于原点O对称，则当取最小值时，的面积为 ． 9．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为 ． 10．下面就是欧拉发现的一个定理：在中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则．若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为 ． 11．如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 12．如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 13．如图，已知为的直径，为的弦（不是直径）且交于点F，F为的中点，四边形为矩形，为矩形的对角线，延长交于点H． (1)求证：； (2)若点F是的中点，，求的半径． 14．已知是的直径，点C，D是上方半圆上的两点，连接． (1)如图①，若点C是的中点，，求和的大小； (2)如图②，若点D是半圆的中点，且，过点C作的切线，与的延长线交于点E，，求的长． 15．如图，在中，，以为直径作交于点，交于点，平分，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$