第02讲 切线长定理（1个知识点+2大题型+15道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（浙教版）

第02讲 切线长定理（选学）（1个知识点+2大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.切线长定义与定理； 1.掌握切线长定理及其应用； 知识点01：切线长定理 （1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。 （4） 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形． 总结： 【即学即练1】 1．如图，，切于点，，，切于点，交，于，两点，则的周长是（   ） A．20 B．36 C．40 D．44 【答案】C 【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理可得，，再求周长即可得结论． 【详解】解：、切于点、， ， 切于点，交、于、两点， ，， ． 则的周长是40． 故选：C． 【即学即练2】 2．如图，在中，，，若 与的三边分别相切于点，，，且的周长为，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据切线长定理可得：，，，再证明是等边三角形即可作答， 【详解】∵内切于， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的周长为32， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质，掌握切线长定理是解答本题的关键． 题型01 应用切线长定理求解 1．如图，，切于点，，直线切于点，交于点，交于点，若的周长是，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理推出的周长等于，即可． 【详解】解：∵，切于点，，直线切于点，交于点，交于点， ∴， ∴的周长为：， ∵的周长是， ∴； 故选：C． 2．如图，为外一点，分别切于点，切于点，分别交于点，若，则的周长为（　　） A．8 B．6 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线长定理，根据切线长定理可得，从而得出，即可得出答案，熟练掌握切线长定理是解此题的关键． 【详解】解：分别切于点，切于点， ， ， 即的周长为12， 故选：C． 3．如图，从外一点引的两条切线，切点分别为．若，，则的周长是（    ）    A．16 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，等边三角形的性质与判定，先由切线长定理得到，进而证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长， 故选B． 4．如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据切线长定理得出，，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：设， ∵的内切圆分别与、相切于点、点， ∴,，， 在中，， ∴ 解得， 即的长度为． 故选D． 5．如图，，是的切线，切点分别是点，点，是的直径．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的切线的性质和锐角三角函数，连接，可得，进而求得为等边三角形，进而求得，结合锐角三角函数即可求得答案． 【详解】如图所示，连接． ∵，是的切线， ∴，． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． 故答案为： 6．如图，，切于A、B两点，切于点E，交，于点C，D．若的周长等于6，则长为 ．    【答案】3 【分析】此题主要考查了切线长定理，熟练应用切线长定理是解题关键． 直接利用切线长定理得出，，，进而求出的长． 【详解】解：，切于A、B两点，切于点E，交，于点C，D， ，，， 的周长等于6，即：， ， ， ． 故答案为：3． 7．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ．    【答案】/13度 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，切线的性质，掌握切线长定理的含义是解本题的关键；先求解，再结合切线的性质可得答案． 【详解】解：∵，是的切线，，为切点，， ∴，， ∴， 故答案为： 8．如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为 ．    【答案】16 【分析】本题重点考查三角形的内切圆的定义、切线长定理、三角形的周长等知识，由切线长定理得，则，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为16， 故答案为：16． 9．如图，，是的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数．    【答案】 【分析】首先根据切线的性质和切线长定理得到，，然后根据直角三角形的性质得到，最后根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵，是的切线，A，B为切点， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的性质和切线长定理，三角形内角和定理，等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 10．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm，求AF、BD、CE的长． 【答案】AF=8cm，BD=10cm，CE=18cm 【分析】由切线长定理可得AE=AF，BF=BD，CE=CD，由线段的数量关系列出方程，即可求解． 【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F， ∴AE=AF，BF=BD，CE=CD， ∵AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm， ∴AF+BF=18cm，BD+CD=28cm，AE+CE=26cm， ∴ ∴ ∴AF=8cm，BD=10cm，CE=18cm． 【点睛】本题考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程组是解题的关键． 题型02 应用切线长定理求证 1．如图，、、是的切线，点、、是切点，分别交、于、两点，若，则的度数（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的性质、切线长定理和全等三角形的性质，根据切线性质，，可知，再根据为切线可知． 【详解】解：由题意得，连接、、， 由切线性质得，，，，，， ∴ 又， ，， ，， ， ， ， ． 故选：A． 2．如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 【答案】D 【分析】连接，，根据切线长定理可得，再证明，问题得解． 【详解】连接，，如图，    ∵切于，切于， ∴，即是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴，即平分， ∴，即A、B、C三项都正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握切线长定理，是解答本题的关键． 3．如图，是的两条切线，切点分别为交于点．下列结论中，错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据切线长定理和半径相等，得到是线段的中垂线，逐一进行判断即可． 【详解】解：连接，    则：， ∵是的两条切线， ∴， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴； ∴， 条件不足，无法得到， ∴； 综上，只有选项D错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查切线长定理：从圆外一点，引圆的两条切线，则该点到两个切点间的距离相等． 4．如图，A是外一点，，分别与圆O相切于B，C，P是上任意一点，过点P作的切线，交于点M，交于点N．若的半径为4，，则的周长为（　　）    A． B．8 C． D．12 【答案】C 【分析】连接，证明，得到，从而求得的值，再利用切线的性质得到，则利用勾股定理计算的长，再根据切线长定理得到，，，然后利用等线段代换求得的周长． 【详解】解：连接， ∵、分别与切于点B、C， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵与相切于点P， ∴，， ∴ ， 故选：C．    【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、切线长定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 5．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 【答案】/13度 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，切线的性质，掌握切线长定理的含义是解本题的关键；先求解，再结合切线的性质可得答案． 【详解】解：∵，是的切线，，为切点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，是的直径，切于点A，切于点B，且，则点O到弦的距离为 ． 【答案】/ 【分析】连接，圆周角定理得到，利用切线长定理得到为等边三角形，进而得到，利用解直角三角形得到，作，证明，利用相似三角形的性质求解，即可解题． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ， ∵切于点A，切于点B， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 作， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点；熟练掌握切线的性质和相似三角形的性质和判定是解题的关键． 7．如图，，，以为直径作半圆O，P为弧上一点，且最大，延长、，交于点D．则的值为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，切线长定理，根据切线的性质和判定得到，利用切线长定理得到，证明，设，，则，利用相似的性质得到，进而得到，再根据正弦的定义求解，即可解题． 【详解】解：连接， P为弧上一点，且最大， ，， ， 与圆相切于点，与圆相切于点， ，， ， ， ， ， 设，，则， ， ，， ， ， ， ， ． 8．如图，，分别与相切于两点，，，则的半径为 ．    【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数，连接，证明，得到，利用三角函数即可求解，由三角形全等得到是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵，分别与相切于两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，分别与小圆相切于点D、E．求证：． 【答案】见解析 【分析】先由切线的性质及切线长定理得出，，，再由垂径定理得出，，即可证明． 【详解】连接， ∵分别与小圆相切于点D、E， ∴，，， ∵是大圆的弦， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、垂径定理，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． 10．如图，是直角三角形，，以为直径的与边交于点，过作的切线交于，连接，交于． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）方法一：连接交于，利用切线长定理可得，，可得，利用圆周角定理证明，从而可得结论；方法二：证明 结合利用三角形的中位线的性质可得结论； （2）连接，证明，由，利用等角的三角函数值相等，求解从而可得答案． 【详解】证明（1）方法一：连接交于， ∵且为直径 ∴是的切线 又∵DE是的切线 ∴，， ∴ ∴ ∵为直径 ∴ ∴ 方法二：连接， ∵且为直径 ∴是的切线 又∵是的切线 ∴ ∴ ∵为直径 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ （2）连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，圆的切线的判定与性质，平行线的判定，直角三角形的两锐角互余，三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键． 1．如图，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且，则的周长为（    ）．    A．7 B．14 C．10 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线长定理，由此可得，，，根据三角形的周长公式计算即可，掌握切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等”是解题的关键． 【详解】解：的内切圆与、、分别相切于点、、， ，，， ， 的周长： 故选：B． 2．如图，、 切圆O 于A，B两点，切圆O 于E， 交，于C、D，若圆O的半径为r，的周长等于，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线长定理以及切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系． 连接、、，延长交的延长线于点F．利用切线求得，，再得出，利用得出，在中，利用勾股定理求出，再求的值即可． 【详解】解：连接、、，延长交的延长线于点F． ∵、 切圆O 于A，B两点，切圆O 于E， ∴，，，， ∵的周长， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 3．如图，正方形边长为，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则的面积（    ） A．12 B．24 C．8 D．6 【答案】D 【分析】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出，．由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，，然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积． 【详解】解：与圆切于点， 显然根据切线长定理有，， 设， 则，， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． 故选：D 4．我们古代数学家擅长通过计算来研究图形的性质．例如《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而立，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何？”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点分别与相切于为点，求的半径．根据题意，的半径是（    ） A．100步 B．120步 C．140步 D．160步 【答案】B 【分析】此题考查了切线的性质，正方形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 如图所示，连接，，，证明四边形是正方形，设步，根据切线长定理，得到步，步，利用勾股定理求出，然后构建方程求解即可． 【详解】如图所示，连接，，， ∵，是的切线 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 设步，则步，步， ∵，，是的切线 ∴步，步， ∵步， ∴ ∴ ∴． 故选：B． 5．如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理，切线的性质，连接，根据切线长定理结合等边对等角，求出的度数，切线的性质，求出的度数，再根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：连接，   ，分别切圆于、， ， ， ， ， 是圆的直径， ， ． 故选：D． 6．如图，、分别切⊙O于A、B，，⊙O半径为2，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理和勾股定理，解题关键是熟记切线长定理，得出，再利用勾股定理求解； 连接，，根据切线长定理得出，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：连接，， ∵、分别切⊙O于A、B，， ∴，， ∵⊙O半径为2， ∴， ， 故答案为：． 7．如图，分别与相切于A，B两点，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数，连接，证明，得到，利用三角函数即可求解，由三角形全等得到是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵，分别与相切于两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，分别切⊙于两点，点为上一点，过点作⊙的切线分别交于两点，若的周长为10，则切线长等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理可得，，结合的周长，即可求解． 【详解】解：∵分别切⊙于两点， ∴ 又∵过点作⊙的切线分别交于两点， ∴ ∵的周长为10， ∴ ∴， 故答案为：． 9．如图，分別切⊙于两点，点为上一点，过点作⊙的切线分别交于两点，若的周长为10，则切线长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理可得，，结合的周长，即可求解． 【详解】解：∵分別切⊙于两点， ∴ 又∵过点作⊙的切线分别交于两点， ∴ ∵的周长为10， ∴ ∴， 故答案为：． 10．如图，、、、都是的切线，，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了切线长定理，设、、、与的切点分别为E、F、M、N，根据切线长定理可得出，，，，由此即可解决问题． 【详解】解∶设、、、与的切点分别为E、F、M、N， ∵、、、都是的切线， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 11．如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 【答案】10 【分析】本题考查了切线长定理，关键是把的周长转化为；根据切线长定理得，由此得的周长为，从而可求得结果． 【详解】解：∵是的切线， ∴； ∵过点C的切线分别交于点D、E， ∴； ∵的周长20， ∴， ∴， 即， ∴． 12．小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求： (1)大树到城堡南门的距离； (2)城堡外圆的半径． 【答案】(1)12里 (2)里 【分析】本题考查勾股定理，切线的性质，切线长定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由切圆于，切圆于，连接，得到，，里，由勾股定理求出（里）， （2）在中，由勾股定理列式，，所以求出（里），即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，表示圆形城堡， 由题意知：切圆于，切圆于，连接， ，，里， （里）， （里）， （里）， 则大树到城堡南门的距离里； （2）解：设城堡的半径为里， ∴里，（里）， ∵， ∴在中， ， （里）． 城堡的半径为里． 13．如图，中，，它的内切圆分别和切于点D，E，F，求和的长． 【答案】 【分析】 本题考查了切线长定理．设，根据切线长定理得到，则，然后解方程求出x，从而得到的长． 【详解】解：设， ∵的内切圆分别和切于点D，E，F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 14．如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的证明、角平分线的性质定理、切线长定理以及勾股定理等知识点，掌握圆中相关定理的内容是解题关键． （1）过点作，由角平分线的性质定理可得，即可求证； （2）在中求出，设的半径为，则，，，在中求出即可求解． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为，如图， 以点为圆心，长为半径的与相切于点， ， 平分， ， 是的半径，又， 是的切线； （2）解：由（1）知 根据勾股定理得， ，均为的切线，切点分别为和 设的半径为，则，，， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， 即． ． 15．我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形． 如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点，，，，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图，试探究圆外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______（横线上填“”，“”或“”）； (2)利用图证明你的猜想； (3)若圆外切四边形的周长为．相邻的三条边的比为．求此四边形各边的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，，， 【分析】（1）根据圆外切四边形的定义猜想得出结论； （2）根据切线长定理即可得出结论； （3）根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：与四边形的边，，，分别相切于点，，，， 猜想， 故答案为：； （2）解：已知：四边形的四边，，，都于相切于，，，， 求证：， 证明：，和相切， ， 同理：，，， ， 即：圆外切四边形的对边和相等； （3）解：相邻的三条边的比为∶∶， 设此三边为，，， 根据圆外切四边形的性质得，第四边为， 圆外切四边形的周长为， ， ， 此四边形的四边的长为，，，． 即此四边形各边的长为：，，，． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切四边形的性质，四边形的周长，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 切线长定理（选学）（1个知识点+2大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.切线长定义与定理； 1.掌握切线长定理及其应用； 知识点01：切线长定理 （1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。 （4） 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形． 总结： 【即学即练1】 1．如图，，切于点，，，切于点，交，于，两点，则的周长是（   ） A．20 B．36 C．40 D．44 【即学即练2】 2．如图，在中，，，若 与的三边分别相切于点，，，且的周长为，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 题型01 应用切线长定理求解 1．如图，，切于点，，直线切于点，交于点，交于点，若的周长是，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，为外一点，分别切于点，切于点，分别交于点，若，则的周长为（　　） A．8 B．6 C．12 D．10 3．如图，从外一点引的两条切线，切点分别为．若，，则的周长是（    ）    A．16 B．24 C． D． 4．如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，，是的切线，切点分别是点，点，是的直径．若，，则的长为 ． 6．如图，，切于A、B两点，切于点E，交，于点C，D．若的周长等于6，则长为 ．    7．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ．    8．如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为 ．    9．如图，，是的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数．    10．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm，求AF、BD、CE的长． 题型02 应用切线长定理求证 1．如图，、、是的切线，点、、是切点，分别交、于、两点，若，则的度数（　　） A． B． C． D． 2．如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 3．如图，是的两条切线，切点分别为交于点．下列结论中，错误的是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，A是外一点，，分别与圆O相切于B，C，P是上任意一点，过点P作的切线，交于点M，交于点N．若的半径为4，，则的周长为（　　）    A． B．8 C． D．12 5．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 6．如图，是的直径，切于点A，切于点B，且，则点O到弦的距离为 ． 7．如图，，，以为直径作半圆O，P为弧上一点，且最大，延长、，交于点D．则的值为 ． 8．如图，，分别与相切于两点，，，则的半径为 ．    9．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦，分别与小圆相切于点D、E．求证：． 10．如图，是直角三角形，，以为直径的与边交于点，过作的切线交于，连接，交于． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 1．如图，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且，则的周长为（    ）．    A．7 B．14 C．10 D．4 2．如图，、 切圆O 于A，B两点，切圆O 于E， 交，于C、D，若圆O的半径为r，的周长等于，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，正方形边长为，以正方形的一边为直径在正方形内作半圆，过作半圆的切线，与半圆相切于点，与相交于点，则的面积（    ） A．12 B．24 C．8 D．6 4．我们古代数学家擅长通过计算来研究图形的性质．例如《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而立，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何？”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点分别与相切于为点，求的半径．根据题意，的半径是（    ） A．100步 B．120步 C．140步 D．160步 5．如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则（　　）    A． B． C． D． 6．如图，、分别切⊙O于A、B，，⊙O半径为2，则的长为 ． 7．如图，分别与相切于A，B两点，，则的半径为 ． 8．如图，分别切⊙于两点，点为上一点，过点作⊙的切线分别交于两点，若的周长为10，则切线长等于 ． 9．如图，分別切⊙于两点，点为上一点，过点作⊙的切线分别交于两点，若的周长为10，则切线长等于 ． 10．如图，、、、都是的切线，，，则 ． 11．如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长． 12．小亮对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．求： (1)大树到城堡南门的距离； (2)城堡外圆的半径． 13．如图，中，，它的内切圆分别和切于点D，E，F，求和的长． 14．如图，在中，平分交于点，以点为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，设的面积为，的面积为，．求常数的值． 15．我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形． 如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点，，，，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图，试探究圆外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______（横线上填“”，“”或“”）； (2)利用图证明你的猜想； (3)若圆外切四边形的周长为．相邻的三条边的比为．求此四边形各边的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$