第01讲 直线与圆的位置关系（2个知识点+12大题型+15道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（浙教版）

第01讲 直线与圆的位置关系（2个知识点+12大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.直线与圆的维护关系； 2.切线的判定与性质； 1.掌握直线与圆的位置关系； 2.掌握切线的判定与性质； 知识点01、直线和圆的位置关系 1. 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 直线与相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 圆心到直线的距离与半径的关系 公共点名称 交点 切点 — 直线名称 割线 切线 — 【即学即练1】 1．已知的半径为5，直线是的切线，则点到直线的距离是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5 【即学即练2】 2．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 知识点02.切线的判定与性质 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 拓展 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。 圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。 【即学即练3】 3．下列命题中正确的是（    ） A．半圆不是弧 B．经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 C．平面内三点确定一个圆 D．三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等． 【即学即练4】 4．如图，与相切于点，，，则长为(    )    A．2 B．4 C． D． 题型01 判断直线和圆的位置关系 1．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆一定（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 2．已知的半径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是 ． 3．在中，，，以A为圆心，分别以下列长为半径作圆，请你判定与直线的位置关系． (1)6； (2)8； (3)12． 题型02 已知直线和圆的位置关系求半径的取值1．在中，，若与相离，则半径为r满足（　　） A． B． C． D． 2．已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 3．已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 题型03 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 1．已知的半径为3，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与相切，则d的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 . 3．如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为　　　　； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　． 题型04 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 2．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    3．如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动． （Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系． （Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围 题型05 求直线平移到与圆相切时运动的距离 1．如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 题型06 切线的应用 1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（-4，0），B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（    ） A．              B．                 C．                 D．3 2．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，已知，，点A在中轴线上运动，点B在以O为圆心，长为半径的圆上运动，且，如图3，当点B按逆时针方向运动到时，与相切，则 ． 3．如图，点为上一点，点在直径的延长线上，且，过点作的切线，交的延长线于点. 判断直线与的位置关系，并说明理由； 若，求:①的半径，②的长. 题型07 有关切线的概念辨析 1．下列命题中正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 C．平面内三点确定一个圆 D．三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等． 2．如图，是的直径，是的切线，与相交于点D．若，，则劣弧的长为 ．（结果保留） 3．尺规作图，如图，过点P作弦使得． 题型08 判断或补全使直线为切线的条件 1．如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 2．如图，为的直径，，当 时，直线与相切． 3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点上． (1)的周长为______． (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上确定一点，使以点为圆心，以为半径的与相切．（保留作图痕迹） 题型09 证明某直线是圆的切线 1．如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（    ）时，直线是的切线． A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 3．如图，在中，是边上一点，以为直径的经过点，且． (1)请判断直线是否是的切线，并说明理由． (2)若，，求的半径． 题型10 切线的性质定理 1．如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，过弦的端点C作的切线交的延长线于点P，若，，则的半径长是 ． 3．已知：如图，点A、B在上，直线是的切线，连接交于点D，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 题型11 切线的性质和判定的综合应用 1．如图，在矩形ABCD中，，E是边AB上一点，且．已知经过点E，与边CD所在直线相切于点G（为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且，当边AD或BC所在的直线与相切时，AB的长是（    ） A．5或9 B．6或9 C．5或 D．6或 2．如图，AB是的直径，弦AD平分，过点D的切线交AC于点E，连接OD，若，，则的半径为 ． 3．如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接． (1)求证平分； (2)若，，求的长． 题型12 过圆外一点作圆的切线 1．下面是小明设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及圆上一点． 求作：直线，使得为的切线，为切点． 小明的作法如下： ①连接并延长到点； ②分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）； ③以点为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点，作直线．则直线就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程，完成下列问题： (1)使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． 点在上，是的直径． ．（___________） ________． 是的半径， 是的切线．（___________） 2．如图，为经过圆心的一条线段，且与交于点． (1)过在的上方作的切线，切点为，过作，垂足为，与交于点． 请尺规作图，不用写作图的详细步骤． (2)求证：平分； (3)若，，求的半径． 3．如图，已知是的直径，C是半圆上一点（不与点A，B重合）． (1)用尺规过点C作的切线，交的延长线于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求的直径． 1．已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知的半径为2，直线上有一点．若，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切 3．如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（  ） A．20m B． C． D．10m 5．如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ． 7．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为 °． 8．如图，切于C，过圆心O点，是弦，，则 9．如图， 在矩形中，，， 是以为直径的圆，则直线 与的位置关系是 ． 10．如图，、是的切线，切点分别是、，在上，过的切线分别交、于点、．若，则的周长为 ． 11．如图，线段经过圆心O，交于点A、C，，直线与切于点D，求的度数． 12．已知：如图，是的直径，，，求证：是的切线． 13．如图，在中， (1)尺规作图：在图1中作，使得圆心O在边上，并与、都相切（不写作法，保留画图痕迹）； (2)若，，试求第（1）题中所作的半径，利用图2画出必要的草图． 14．如图，在中，是边上一点，以为直径的经过点，且． (1)请判断直线是否是的切线，并说明理由． (2)若，，求的半径． 15．如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是圆O的切线； (2)若为等边三角形，，求圆半径的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 直线与圆的位置关系（2个知识点+12大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.直线与圆的维护关系； 2.切线的判定与性质； 1.掌握直线与圆的位置关系； 2.掌握切线的判定与性质； 知识点01、直线和圆的位置关系 1. 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 直线与相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 圆心到直线的距离与半径的关系 公共点名称 交点 切点 — 直线名称 割线 切线 — 【即学即练1】 1．已知的半径为5，直线是的切线，则点到直线的距离是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5 【答案】D 【分析】根据圆与直线的位置关系进行解答即可． 【详解】解：的半径是5，直线l是的切线，那么点O到直线l的距离是5． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径． 【即学即练2】 2．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解． 【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时， P到y轴距离时，⊙P与y轴相切， ∴移动时间（秒）； （2）当 的圆心P在y轴右侧时， P到y轴距离时，与y轴相切， ∴移动时间（秒）． 故选C． 【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径． 知识点02.切线的判定与性质 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 拓展 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。 圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。 【即学即练3】 3．下列命题中正确的是（    ） A．半圆不是弧 B．经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 C．平面内三点确定一个圆 D．三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等． 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本知识，圆的切线的定义，确定圆的条件，三角形的外心等，根据相关定义或性质逐项判断即可． 【详解】解：半圆是弧，故A选项命题不正确； B，经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，是圆的一条切线，故B选项命题不正确； C，平面内不在同一直线上的三点确定一个圆，故C选项命题不正确； D，三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，故D选项命题正确； 故选D． 【即学即练4】 4．如图，与相切于点，，，则长为(    )    A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，含度角的直角三角形的性质，根据题意可得，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：与相切于点， ， ， ． ， ． 故选：A． 题型01 判断直线和圆的位置关系 1．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆一定（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【答案】C 【分析】本题主要考查对直线与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用直线与圆的位置关系定理进行判断是解此题的关键，首先画出图形，根据点的坐标得，到圆心到轴的距离是，到轴的距离是，根据直线与圆的位置关系，即可求出答案． 【详解】解：圆心到轴的距离是，到轴的距离是， ∴圆与轴相切，与轴相交， 故选：C． 2．已知的半径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离，直线与圆相离即可求解，掌握直线和圆的位置与和之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，点到直线的距离为， ∴， ∴与的位置关系是相离， 故答案为：相离． 3．在中，，，以A为圆心，分别以下列长为半径作圆，请你判定与直线的位置关系． (1)6； (2)8； (3)12． 【答案】(1)相离 (2)相切 (3)相交 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直线与圆的位置关系．解题的关键是掌握等腰三角形三线合一，以及直线与圆的位置关系． （1）过点A作于点D，根据等腰三角形的性质得出， 再根据勾股定理求出，最后比较半径和，即可解答； （2）比较半径和，即可解答； （3）比较半径和，即可解答． 【详解】（1）解：过点A作于点D， ∵，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴与直线相离； （2）解：∵， ∴与直线相切； （3）解：∵， ∴与直线相交． 题型02 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 1．在中，，若与相离，则半径为r满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆与直线的位置关系，过C作于D，含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据圆与直线相离得到，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过C作于D， ∵， ∴， ∵与相离， ∴半径r满足， 故选：C． 2．已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】解：∵的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，掌握直线和圆有公共点是解题的关键． 3．已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 【答案】(1)当半径为3时，与直线相切 (2)当半径为2.4时，与直线相切 (3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离 【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求； （3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵圆心到边的距离为，与直线相切， ∴， 则当半径为3时，与直线相切； （2）连接，过作，交于点， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴圆心到边的距离， 又与直线相切， ∴，则当半径为2.4时，与直线相切； （3）∵与直线相交，圆心到边的距离为， ∴， 又与直线相离，圆心到的距离为， ∴， 则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离． 【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键． 题型03 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 1．已知的半径为3，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与相切，则d的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线l与⊙O相切，则求解即可． 【详解】解：∵直线l与⊙O相切， ∴， 故选：C． 2．的半径为，点到直线的距离为，，是方程的两根，当直线与相切时，的值为 . 【答案】4 【分析】本题主要考查了切线的性质，一元二次方程根的判别式．根据切线的性质可得，再由一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个根，且直线与相切， ∴， ∴方程有两个相等的实根， ∴， 解得，． 故答案为：4． 3．如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为　　　　； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　． 【答案】（1）7；（2）． 【分析】（1）当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大，由此即可得； （2）先确定线段是的直径，画出图形，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：（1）如图1，， 当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大， 此时最大值为， 故答案为：7； （2）如图2，是直线与的公共点，当线段的长度最大时，线段是的直径， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 题型04 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可． 【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为， 当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向下平移的距离为1或5． 故选：D． 【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    【答案】/ 【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离d的取值范围是， 故答案为：．    【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 3．如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动． （Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系． （Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围 【答案】相切;1cm＜d＜5cm 【详解】试题分析：（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm， 作O′C⊥PA于C， ∵∠P=30度， ∴O′C=PO′=1cm， ∵圆的半径为1cm， ∴⊙O与直线PA的位置关系是相切； （2）如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交， 当移动到C″时，相切， 此时C″P=PO′=2， ∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交 考点：直线与圆的位置关系． 题型05 求直线平移到与圆相切时运动的距离 1．如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 故选：B． 【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键． 2．如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 【答案】或 【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间． 【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接． ∵与直线相切， ∴， ∵在中，，， ∴， 则， ∵以的速度沿由A向B的方向移动， ∴移动时与直线相切． 当在射线上时，同理可求移动时与直线相切． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键． 3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，求平移的距离． 【答案】1或5． 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 题型06 切线的应用 1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（-4，0），B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（    ） A．              B．                 C．                 D．3 【答案】B 【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2＝OP2−OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短． 【详解】解：如图，连接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切线， ∴OQ⊥PQ． 根据勾股定理知PQ2＝OP2−OQ2， ∵当PO⊥AB时，线段PQ最短， 又∵A（−4，0）、B（0，4）， ∴OA＝OB＝4． ∴AB＝． ∴OP＝AB＝． ∴PQ＝． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题． 2．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，已知，，点A在中轴线上运动，点B在以O为圆心，长为半径的圆上运动，且，如图3，当点B按逆时针方向运动到时，与相切，则 ． 【答案】 【分析】由题意得到A′A=OA-OA′=AB+OB-OA′，即可求解． 【详解】解：由题意可得： A′A=OA-OA′=AB+OB-OA′=12+4-==， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是切线的性质，勾股定理，解题的关键是确定转动后图形重要点的位置关系． 3．如图，点为上一点，点在直径的延长线上，且，过点作的切线，交的延长线于点. 判断直线与的位置关系，并说明理由； 若，求:①的半径，②的长. 【答案】(1) 直线与相切；见解析（2）①3；②6. 【分析】（1）首先由圆的性质得出，然后由圆内接直角三角形得出，，进而得出，即可判定其相切； （2）①首先根据根据元的性质得出，，进而可判定，即可得出半径； ②首先由OP、OB得出OC，然后由切线性质得出，再由判定进而利用相似性质构建方程，即可得解. 【详解】直线与相切； 理由:连接， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 即， 为上的一点， 直线与相切； ①， ， ， ， ， ， ， 圆的半径为; ②， ， ∵过点作的切线交的延长线于点， ， ，即 【点睛】此题主要考查直线和圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握。即可解题. 题型07 有关切线的概念辨析 1．下列命题中正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 C．平面内三点确定一个圆 D．三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等． 【答案】D 【分析】根据垂径定理，切线的判定，圆的确定，三角形的外心，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原命题错误，不符合题意； B、经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，是圆的一条切线，原命题错误，不符合题意； C、平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆，原命题错误，不符合题意； D、三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，是真命题，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查垂径定理，切线的判定，圆的确定，三角形的外心．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 2．如图，是的直径，是的切线，与相交于点D．若，，则劣弧的长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】根据的切线性质可得，再根据直角三角形锐角互余可得，最后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴的长为， ∴的长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式是解答本题的关键． 3．尺规作图，如图，过点P作弦使得． 【答案】见解析 【分析】此题考查了切线的性质，掌握等弦所对的弦心距相等是解题的关键． 法一：根据题意作出以点O到距离为半径的圆，然后作出圆O的两条切线即可； 法二：根据题意做出，，进而求解即可． 【详解】法一：①过点O作的垂线； ②以垂线段画圆O； ③过点P作圆O的两条切线，这两条切线截得的弦、即为所求； 法二：①以O为圆心，为半径作圆，交于点G； ②作，得弦，即为所求； ③作，得弦，即为所求． 过点O作， 由题意得，，， ∴ ∴ ∴ 同理可证得，． 题型08 判断或补全使直线为切线的条件 1．如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 2．如图，为的直径，，当 时，直线与相切． 【答案】1 【分析】直线与相切时，，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：当时，直线与相切， ∴（cm）， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键． 3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、B、C均落在格点上． (1)的周长为______． (2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在上确定一点，使以点为圆心，以为半径的与相切．（保留作图痕迹） 【答案】(1)12 (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据等腰三角形的性质、角平分线的性质、切线的判定定理作图即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得：， 则的周长， 故答案为：12； （2）延长至，使，连接，取的中点，连接交于点， 则点即为所求． 【点睛】本题考查的是勾股定理、切线的判定定理、角平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解题的关键． 题型09 证明某直线是圆的切线 1．如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（    ）时，直线是的切线． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，直线是的切线．连接OA．结合题意可知，从而得出．再根据，即得出，从而即可求出，即证明直线是的切线． 【详解】解：当时，直线是的切线． 证明：如图，连接OA． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴直线是的切线． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质．连接常用的辅助线是解题关键． 2．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 作于E，则，由题意得出半径，由，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：作于E． 则， ， ， ，即圆心到直线的距离等于半径， 直线与相切． 故答案为：相切． 3．如图，在中，是边上一点，以为直径的经过点，且． (1)请判断直线是否是的切线，并说明理由． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)直线是的切线；理由见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，证明直线是否是的切线是本题的关键． （1）如图，连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，可得，可得结论； （2）由勾股定理可求即可得到答案． 【详解】（1）解：直线是的切线，理由如下： 如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴直线是的切线； （2）解：在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径长为3． 题型10 切线的性质定理 1．如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理等知识，由圆周角定理解得，再根据切线的性质得到，最后根据三角形内角和定理解题． 【详解】解：由圆周角定理得： 是的切线， 故选：B． 2．如图，是的直径，过弦的端点C作的切线交的延长线于点P，若，，则的半径长是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了切线的性质，圆的定义，直角三角形的特征；连接，由切线的性质得，由直角三角形的特征得，即可求解；掌握切线的性质，直角三角形的特征是解题的关键． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， 的半径长是， 故答案：． 3．已知：如图，点A、B在上，直线是的切线，连接交于点D，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】对于（1），根据可知，再根据切线的性质可得，即，然后根据得，结合对顶角相等可得答案； 对于（2），先根据正切的定义设，则，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵是的切线， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即； （2）设，则， 根据勾股定理，得， 解得（舍）， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，对顶角相等，勾股定理，正切，勾股定理是求线段长的常用方法． 题型11 切线的性质和判定的综合应用 1．如图，在矩形ABCD中，，E是边AB上一点，且．已知经过点E，与边CD所在直线相切于点G（为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且，当边AD或BC所在的直线与相切时，AB的长是（    ） A．5或9 B．6或9 C．5或 D．6或 【答案】D 【分析】边BC所在的直线与⊙O相切时，过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN＝NF，由，依据勾股定理求出半径r，根据计算即可；当边AD所在的直线与⊙O相切时，同理可求． 【详解】解：边BC所在的直线与⊙O相切时， 如图， 切点为K，连接OK，过点G作GN⊥AB，垂足为N， ∴EN＝NF， 又∵， ∴ 设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2＋ON2， 得：r2＝16＋（8−r）2， ∴r＝5， ∴OK＝NB＝5， ∴EB＝9， 又，即， ∴AB＝； 当边AD所在的直线与⊙O相切时，切点为H，连接OH，过点G作GN⊥AB，垂足为N， 同理，可得OH＝AN＝5， ∴AE＝1， 又， ∴AB＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径． 2．如图，AB是的直径，弦AD平分，过点D的切线交AC于点E，连接OD，若，，则的半径为 ． 【答案】// 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 3．如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接． (1)求证平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．勾股定理的应用 (1)连接，根据切线的性质，则，又因为，所以，又因为，得出则平分； (2)根据勾股定理可求出，根据利用相似比求出的长． 点评 【详解】（1）证明：连接， 与相切于点C 为的直径， AB为的直径 BC平分 （2）解：为的直径 ， ， ，， 题型12 过圆外一点作圆的切线 1．下面是小明设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：及圆上一点． 求作：直线，使得为的切线，为切点． 小明的作法如下： ①连接并延长到点； ②分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）； ③以点为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点，作直线．则直线就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程，完成下列问题： (1)使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接． 点在上，是的直径． ．（___________） ________． 是的半径， 是的切线．（___________） 【答案】(1)见详解 (2)，，直径所对的圆周角是，，过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线 【分析】本题考查了作图的证明，掌握圆的切线的判定是解题的关键． （1）根据上述描述的过程作图，即可作答． （2）根据题中的过程，结合图形进行合情推理． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：如图：连接， 点在上，是的直径． （直径所对的圆周角是， ， 是的半径， 是的切线，（过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线）， 故答案为：，，直径所对的圆周角是，，过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线． 2．如图，为经过圆心的一条线段，且与交于点． (1)过在的上方作的切线，切点为，过作，垂足为，与交于点． 请尺规作图，不用写作图的详细步骤． (2)求证：平分； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，为半径画圆，交于点，作射线，由直径所对的圆周角是直角可得，即为的切线，再根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出； （）证明可得，又由，得到，进而得到，即可求证； （）连接，证明，得到，由根据，得到，求出即可求解； 本题考查了过圆外一点作圆的切线，过直线外一点作已知直线的垂线，圆周角定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分 （3）解：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径为． 3．如图，已知是的直径，C是半圆上一点（不与点A，B重合）． (1)用尺规过点C作的切线，交的延长线于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求的直径． 【答案】(1)作图见解析 (2)12 【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题不，属于中考常考题型． （1）过点C作交的延长线于点D即可； （2）证明是等边三角形，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：是切线，的半径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， 故的直径为12． 1．已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：∵的半径为，圆心O到直线l的距离d，为， ∴， ∴圆与直线l相交，直线l与圆有两个交点， 故选：C． 2．已知的半径为2，直线上有一点．若，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解题的关键． 直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于2． 此时和半径2的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能． 故选：D． 3．如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理等知识，由圆周角定理解得，再根据切线的性质得到，最后根据三角形内角和定理解题． 【详解】解：由圆周角定理得： 是的切线， 故选：B． 4．如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（  ） A．20m B． C． D．10m 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，圆的切线性质，理解题意是解题的关键．根据题意画出图形，解即可． 【详解】解：如图，记直径为，过点作于点， 由题意得，，，，与圆相切于点N， ∴， ∴， ， ， 故选：C． 5．如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，过点作于，由三线合一可求出的长，再利用勾股定理可求出的长，根据切线的性质得到，利用勾股定理可求出的长，然后根据垂线段最短即可得解． 【详解】解：如图，连接、，过点作于， ， 是等边三角形，且， ， ， 是的切线， ， ， ， 当取得最小值时，取得最小值， 根据垂线段最短可知，当时，最小，取得最小值，此时， 的最小值为：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，三线合一，勾股定理，切线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握切线的性质及垂线段最短是解题的关键． 6．如图，是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为 ． 【答案】/26度 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键．连接，利用切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，即可利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，，则的度数为 °． 【答案】80 【分析】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为80． 8．如图，切于C，过圆心O点，是弦，，则 【答案】/25度 【分析】本题考查切线的性质，根据切线的性质，得到，进而得到，根据等边对等角结合三角形的外角，求出的度数． 【详解】解：∵切于C，过圆心O点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 9．如图， 在矩形中，，， 是以为直径的圆，则直线 与的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：根据题意为的直径，， ∴的半径为3． 又∵，， ∴则直线 与的位置关系是相交， 故答案为：相交． 10．如图，、是的切线，切点分别是、，在上，过的切线分别交、于点、．若，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了切线长定理的应用．根据切线长定理求出，，，代入求出的周长为，代入即可． 【详解】解：、、是圆的切线，切点分别是、、， ，，， 的周长是： ． 答：的周长是20． 故答案为：20． 11．如图，线段经过圆心O，交于点A、C，，直线与切于点D，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查圆的切线的性质，三角形的内角和定理，圆周角定理，连接，根据切线的性质得到，进而求出，再根据圆周角定理求出，最后根据三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如下图所示，连接， ∵切于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．已知：如图，是的直径，，，求证：是的切线． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定，三角形内角和定理，等边对等角，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据切线的判定定理即可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵是的直径， ∴是的切线． 13．如图，在中， (1)尺规作图：在图1中作，使得圆心O在边上，并与、都相切（不写作法，保留画图痕迹）； (2)若，，试求第（1）题中所作的半径，利用图2画出必要的草图． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了尺规作图和相似三角形的性质，理解切线的性质，正确作出圆心是关键． （1）的角平分线与的交点就是圆心，即可作出圆； （2）连接圆心和两个切点和，则四边形是正方形，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：连接圆心和两个切点和， 则四边形是正方形，， ∴． ， 设正方形的边长是，则， 解得：． 14．如图，在中，是边上一点，以为直径的经过点，且． (1)请判断直线是否是的切线，并说明理由． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)直线是的切线；理由见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，证明直线是否是的切线是本题的关键． （1）如图，连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，可得，可得结论； （2）由勾股定理可求即可得到答案． 【详解】（1）解：直线是的切线，理由如下： 如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴直线是的切线； （2）解：在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径长为3． 15．如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是圆O的切线； (2)若为等边三角形，，求圆半径的长． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，，等量代换得，由平行线的判定得到，进而得到，即可证得是的切线； （2）由等边三角形的性质得，再结合圆周角定理以及直角三角形的性质得，根据勾股定理列式计算，即可得到结论． 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是：正确作出辅助线，证得． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：为等边三角形， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 半径的长为2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！46 学科网（北京）股份有限公司 $$