抛物线练习题-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

抛物线练习题 一、单选题 1．若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为,上一点到轴的距离为6，且，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．12 5．已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．动点满足方程，则点的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 8．已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 二、多选题 9．对于抛物线上，下列描述正确的是（       ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 10．设抛物线的焦点为，准线为为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则（   ） A． B．是等边三角形 C．的面积为 D．抛物线的方程为 11．过抛物线上一点A(1，-4)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则（    ） A．C的准线方程是 B．过C的焦点的最短弦长为8 C．直线MN过定点(0，4) D．当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为 三、填空题 12．已知直线过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于，两点，若使的直线有且仅有1条，则 . 13．已知点，，动点在抛物线上运动，则使取得最小值的点P的坐标是 ． 14．已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是 ． 四、解答题 15．如图，是抛物线型拱桥，当水面在时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？（计算结果保留至小数点后一位，参考数据：） 16．已知抛物线经过点，直线过点且与抛物线有两个不同的交点，. (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)若直线交轴于，直线交轴于，设为原点，，，求的值. 17．已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求拋物线的标准方程； (2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为． ①证明：点在定直线上； ②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围． 18．已知抛物线的焦点到直线的距离为为直线上的动点，过点作直线分别与相切于点. (1)求的方程； (2)证明：直线过定点； (3)若直线分别交轴于点，求的最小值. 19．已知动点到点的距离比到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，过点作直线与曲线交于两点，连接分别交于两点. ①当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求面积的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抛物线练习题答案 一、单选题 1．若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【详解】将标准化为，所以抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离. 如图所示， 所以，解得. 故选：C. 2．抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】 如图，抛物线的焦点为, 根据抛物线的定义可知，点到的距离等于, 所以点到与到直线的距离之和即为与到直线的距离之和， 由图可知，与到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离， 所以即为所求， 故选: D. 3．若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 【详解】设等边三角形的边长为， 则由等边三角形和抛物线的对称性可得等边三角形一个顶点的坐标为， 代入抛物线方程得，解得. 故选：B 4．已知抛物线的焦点为,上一点到轴的距离为6，且，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．12 【详解】由题设及抛物线的定义，有. 故选：A 5．已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【详解】 由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部， 过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D， 则有， 当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C. 6．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为抛物线，所以， 由抛物线的定义得：，解得， 则，所以点坐标为， 故选：D. 7．动点满足方程，则点的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【详解】由得， 等式左边表示点和点的距离， 等式的右边表示点到直线的距离， 整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等， 且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线. 故选：D. 8．已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【详解】 因为抛物线的焦点为，准线方程为， 所以，故， 不妨设在第一象限，故， 所以. 故选：C. 二、多选题 9．对于抛物线上，下列描述正确的是（       ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【详解】由已知抛物线标准方程是，，， 所以焦点坐标为，开口方向向上，A正确，B错误； 焦点到准线的距离为，C正确； 准线方程是，D正确． 故选：ACD． 10．设抛物线的焦点为，准线为为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则（   ） A． B．是等边三角形 C．的面积为 D．抛物线的方程为 【详解】设准线与轴交于点，如图， 抛物线定义知，又，所以为正三角形，故B正确； 由面积为知边长，故A正确； 则由直角三角形可得， 所以抛物线的方程为，故D正确； 面积为，故C错误. 故选：ABD 11．过抛物线上一点A(1，-4)作两条相互垂直的直线，与C的另外两个交点分别为M，N，则（    ） A．C的准线方程是 B．过C的焦点的最短弦长为8 C．直线MN过定点(0，4) D．当点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为 【详解】将代入中得：，则为， 所以的准线方程是，故A正确； 由题可知的焦点为，可设过的焦点的直线为， 由，可得，设交点为， 则，， 所以，即过C的焦点的最短弦长为16，故B不正确； 设，，直线为，联立抛物线得：， 所以，，又， 所以 ， 因为，，即， 所以，整理得， 故，得， 所以直线为，所以直线过定点，故C不正确； 当时，到直线的距离最大，此时直线为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．已知直线过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于，两点，若使的直线有且仅有1条，则 . 13．已知点，，动点在抛物线上运动，则使取得最小值的点P的坐标是 ． 【详解】解：设动点的坐标为，所以有，所以， ，而，所以 ，因为，所以当时，有最小值，所以点P的坐标是. 故答案为： 14．已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是 ． 【答案】y2＝﹣8x 【分析】设，由两圆位置关系、直线与圆位置关系列式化简即可得． 【详解】设圆心P到直线x＝1的距离等于r，P（x，y ），由题意可得 PC＝1+r，即 ＝1+1﹣x，化简可得 y2＝﹣8x. 故答案为：y2＝﹣8x． 四、解答题 15．如图，是抛物线型拱桥，当水面在时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米. (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米（即水上部分高1.5米），船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？（计算结果保留至小数点后一位，参考数据：） 【详解】（1）如图建立平面直角坐标系，设抛物线型拱桥的方程为（） 由题意，可知抛物线经过点，代入抛物线方程可得，即得， 所以抛物线方程为. 当拱顶离水面2米时，即，代入抛物线方程可得，即水面宽为8米. （2）由于船体宽12米，则当船体恰好能通过时，令米， 代入抛物线方程中，则，解得米， 即拱顶与船顶的最近距离为4.5米. 又因船在水面上部分高为1.5米，故拱顶离水面6米. 在抛物线方程中，令，则， 故，所以水面宽度至少应为13.9米. 16．已知抛物线经过点，直线过点且与抛物线有两个不同的交点，. (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)若直线交轴于，直线交轴于，设为原点，，，求的值. 【详解】（1）由在抛物线上，可得，故，则准线为； （2）由题意，直线的斜率存在且不为0， 设且，联立抛物线得， 所以，则，故直线的斜率范围是. （3）由题意，根据（2）易知，当直线与抛物线相切，即时过， 令，，且，且，， 若，得，所以， 同理得，而，故，， 由题意，同理可得， 所以，而，， 所以. 17．已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求拋物线的标准方程； (2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为． ①证明：点在定直线上； ②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围． 【详解】（1）抛物线的准线方程为，设点到准线的距离为． 由抛物线的定义，得，解得， 当且仅当三点共线时，等号成立，所以抛物线的标准方程为． （2）①设， 直线的方程为，直线的方程为， 联立消去整理得， 所以，同理可得， 所以直线的方程为， 即，同理直线的方程为． 联立，得，即， 即，即， 所以，即点在直线上． ②由题意可知，的斜率存在且均不为0， 因为，所以设直线的方程为，则直线的方程为， 由①知，．所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，又易知， 所以的取值范围为 18．已知抛物线的焦点到直线的距离为为直线上的动点，过点作直线分别与相切于点. (1)求的方程； (2)证明：直线过定点； (3)若直线分别交轴于点，求的最小值. 【详解】（1）由题意知， 结合，解得. 故的方程为. （2）证明：根据题意，直线的斜率存在，设其方程为. 联立，得. . 由可得，所以，因此的斜率分别为， 的方程分别为， 整理得， 联立的方程，解得，即. 因为点在直线上，所以， 所以直线的方程为， 故直线过定点. （3）由（2）可知与轴的交点横坐标分别为. 因为， 当时取等号， 故的最小值为. 19．已知动点到点的距离比到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，过点作直线与曲线交于两点，连接分别交于两点. ①当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求面积的最小值. 【详解】（1）由题可知，点到点的距离与到的距离相等， 所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故轨迹方程为. （2）①设， 由题可知斜率不为0，设， 联立曲线方程并消去可得， 显然， ，联立曲线方程并消去可得 ， 则是方程的两根，， 所以，同理 因为，所以，所以；    （2）由①知的方程为： 令，， 所以过定点. ， 当且仅当时，面积最小，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$