专题强化训练05：数列（新定义）压轴训练【27道 培优】-2024-2025学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册)

专题强化训练05：数列（新定义）压轴训练 1．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 2．（24-25高三上·山东·期中）将个实数排成行列的数阵形式如下； (1)当时，若每一行每一列均构成等差数列，且，求该数阵中所有数的和； (2)若，且每一行均为公差相同的等差数列，每一列均为公比为的等比数列.已知，，，设，求的值. 3．（24-25高三上·天津河西·期中）设是等比数列，公比大于0，是等差数列.已知，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求的值； (3)设其中，求. 4．（2024·浙江台州·一模）对于无穷数列和如下的两条性质：：存在实数，使得且，都有；：任意且，都存在，使得． (1)若，判断数列是否满足性质，并说明理由； (2)若，且数列满足任意，则称为数列的一个子数列．设数列同时满足性质和性质． ①若，求的取值范围； ②求证：存在的子数列为等差数列． 5．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比； (2)求； (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 6．（24-25高三上·北京·期中）设正整数数列满足. (1)若，请写出所有可能的取值； (2)记集合，且不是5的倍数，求证：； (3)存在常数，对于都有，求所有可能的取值. 7．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，；数列满足，. (1)求，的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围. 8．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知数列为等差数列，公差，前项和为，为和的等比中项，. (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (3)求证：数列. 9．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列的前项和为，满足. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，的前项和为，若不等式对一切正整数恒成立，求的取值范围. 10．（24-25高二·上海·随堂练习）在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值b之间存在着相当大的差距．对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半；消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得下表． 次数 消费者还价 商家讨价 第一次 第二次 第三次 … … … 第n次 消费者每次的还价组成一个数列． (1)写出此数列的前三项，并猜测通项的表达式； (2)若实际价格b与定出a的价格之比为，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利润？ 11．（2025·广东深圳·一模）若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列是一个二阶等差数列，其中． (1)求及的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 12．（24-25高三上·湖南岳阳·开学考试）有个正数，排成n行n列的数表：其中表示位于第i行，第j列的数，数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知，，. (1)求公比. (2)求. 13．（2025·四川巴中·模拟预测）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数n． 14．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，. (1)求证：数列是等差数列； (2)若，，且是等差数列，求证：. 15．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知公差d不为0的等差数列的前n项和为. (1)求的通项公式； (2)令，记为数列的前n项和，若，求n的最小值. 16．（24-25高三上·山东青岛·期中）如果正项有穷数列满足，即，我们称其为“1的对称数列”，例如：数列2，3，，与数列3，2，1，，都是“1的对称数列”． (1)设是项数为8的“1的对称数列”，其中是等差数列，且，请依次写出的每一项； (2)设数列是13项的“1的对称数列”，其中是等比数列，，求数列的所有项和的最小值； (3)设数列是项的“1的对称数列”，数列前项的通项公式为，求数列的前项和．（注：） 17．（24-25高三上·山东泰安·期中）数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定的命题在整个（或者局部）自然数范围内成立，证明分为下面两个步骤：1.证明当（）时命题成立；2.假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有自然数n都成立.已知有穷递增数列，，，且.定义：集合，若对，，使得，则称具有性质T. (1)若数列，1，2，m（）具有性质T，求实数m的值； (2)若具有性质T，且，， （ⅰ）猜想当时的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想； （ⅱ）求（）. 18．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知数组，，…，和，，…，，若，且（，3，…，），则称为的“应联数组”. (1)写出数组，3，1的“应联数组”； (2)若的“应联数组”是，证明：，，成等差数列； (3)若为偶数，且的“应联数组”是，求证：. 19．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知数列满足. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列； (3)令，如果对任意，都有，求实数的取值范围. 20．（24-25高三上·河南·期中）设有穷数列的项数为，若（为常数，且），则称该数列为等积数列，叫做该数列的公共积. (1)若是公共积为的等积数列，求该数列的公共积及； (2)若是公共积为的等积数列，且（且为常数），证明：当时，对任意给定的，数列中一定存在相等的两项； (3)若是公共积为1的等积数列，且是奇数，对任意的都存在正整数，使得，求证：是等比数列. 21．（2024高三·全国·专题练习）已知无穷正项数列单调递增，其首项记为，.若，，其中为正整数集的子集，称数列在内满足性质；若，，称数列在内满足性质；若，，则数列在内满足性质. (1)若，判断数列具有哪种性质，并说明理由； (2)若数列具有性质，证明：时，； (3)若数列是正整数数列，表示有限集合中元素的个数，求证：若数列满足性质，则． 22．（24-25高二上·上海·期中）在章节“用迭代序列求的近似值”中，将方程等价变形为，构造递推数列来形成一个迭代序列，当n趋于正无穷大时，趋近于.选取初始值，并令，，，2，3，… (1)完成以下表格，并在图中画出线段，，，，；（精确到0.001） n 1 2 3 n 4 5 6 (2)证明：是严格减数列； (3)设，证明是等比数列，并求出的通项公式及的值. 23．（24-25高三上·江苏淮安·期中）已知数列的前项和为，，，，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，当时，；当时，. ①求数列的前项和； ②当时，求证：. 24．（24-25高二上·上海·期中）若项数为的有穷数列满足且，我们称这样的数列为数列: (1)若数列是数列，且为等比数列，项数为2024，求该数列的通项； (2)若数列是数列，且为等差数列，项数为且，求该数列的通项用k,n表示； (3)若数列是数列，项数为，记的前项和为，若存在，使，试问：数列能否是数列，若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 25．（24-25高三上·江苏无锡·期中）在下面行、列的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为. 第1列 第2列 第3列 … 第列 第1行 1 2 … 第2行 3 5 9 第3行 5 10 … … 第行 (1)求数列通项公式; (2)对任意的，将数列中落入区间内项的个数记为， ①求和的值; ②设数列的前项和；是否存在，使得，若存在，求出所有的值，若不存在，请说明理由. 26．（2025·江苏·模拟预测）设n为正整数，数列为正整数数列，且满足数列和均为等差数列，则称数列为“五彩的” (1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数列，通项公式为 (2)若数列为“五彩的”且严格单调递增. （i）证明：数列和公差相等； （ii）证明：数列一定为等差数列. 27．（24-25高一上·湖南长沙·期中）我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.如果一个数列的项是有限个，那么称这样的数列为有穷数列. 已知有穷数列.若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列.对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，将的值添在的最后，然后删除，这样得到一个项的新数列（约定：一个数也视作数列）.若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，如此经过次操作后得到的新数列记作. (1)设数列，请写出的所有可能的结果； (2)求证：对于一个项的数列实施操作过程，总共可以实施次； (3)设数列，求的可能结果，并说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化训练05：数列（新定义）压轴训练 1．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系求的通项公式，由等比数列基本量的运算即可求解的通项公式； （2）用裂项相消法求奇数项的和，由错位相减法求偶数项的和，即可求解. 【详解】（1）数列的前项和，当时，， 当时，， 因为也适合上式， 所以， 设数列的公比为，因为， 所以，解得， 又，所以； （2）由题意得， 设数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则 ， ， 所以， 两式相减得， 所以， 故. 2．（24-25高三上·山东·期中）将个实数排成行列的数阵形式如下； (1)当时，若每一行每一列均构成等差数列，且，求该数阵中所有数的和； (2)若，且每一行均为公差相同的等差数列，每一列均为公比为的等比数列.已知，，，设，求的值. 【答案】(1)245 (2) 【分析】（1）根据等差数列求和与等差中项的性质，可得答案； （2）根据等差数列与等比数列的性质，求得公比与公差，结合错位相减法，可得答案. 【详解】（1）由题意，且每一行都成等差数列则有： ， ，……，， 则有， 又因为每一列成等差数列，故有， 即. （2）由题意每一行均为等差数列，设第二行的公差为， 则有，故， 从而可得第二行的通项公式， 所以，又因为每一列均为公比为的等比数列，且， 又因为，故， 即有，从而有， 故 所以 即. 3．（24-25高三上·天津河西·期中）设是等比数列，公比大于0，是等差数列.已知，，，. (1)求和的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求的值； (3)设其中，求. 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列以及等比数列定义计算即可求得其通项公式； （2）由（1）中的结论可得，再利用裂项相消求和可得结果； （3）根据的表达式，采用分组求和以及错位相减法计算可得结果. 【详解】（1）设数列的公比为，，数列的公差为， 因为且，所以， 解得或，又因为，所以， 所以，， 则，， 因为且数列是等差数列， 所以，， 又，所以，， 所以，，， 所以，. 所以数列的通项公式为，，数列的通项公式为，. （2）由（1）可知 因此数列的前n项和为 即可得. （3）由可知 所以， 其中， 记； 则， 两式相减可得， 可得， 即； 所以 4．（2024·浙江台州·一模）对于无穷数列和如下的两条性质：：存在实数，使得且，都有；：任意且，都存在，使得． (1)若，判断数列是否满足性质，并说明理由； (2)若，且数列满足任意，则称为数列的一个子数列．设数列同时满足性质和性质． ①若，求的取值范围； ②求证：存在的子数列为等差数列． 【答案】(1)满足，理由见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据性质的条件，结合不等式的性质求解； （2）①由条件可得是单调递增数列，且存在，使得．进而可得，，结合，可得出结果；②依题意可得单调递增，设，由性质可推得，当时，存在，使得，进而得，利用等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）数列满足性质． 且， 因为，所以，又因为，所以， 因此，存在，使得且，都有，故满足性质． 注：取之间的任意实数都可以． （2）①因为数列满足性质，所以是单调递增数列， 又因为数列满足性质，所以存在，使得． 而，因此，， 由，得， 由，得，故的取值范围是． ②由数列满足性质，可知单调递增，设， 令，由性质，存在，使得， 同理，存在，使得，…， 以此类推，当时，存在，使得， 由数列单调递增，可知． 记，则， 因为，所以数列是等差数列， 故存在的子数列为等差数列，得证． 5．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为. (1)求的和公比； (2)求； (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1） 设等差数列的公差为，前项和为，由是“和等比数列”，所以，化简可得的值； （2）由（1）可知，由错位相减得出； （3）设，计算得，再分为奇数和偶数两种情况求解可得的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为，前项和为， 则， 所以. 因为是“和等比数列”， 所以，即，对任意的都成立， 所以，解得， 所以的和公比为 （2）可知，则， 所以， 所以， 所以， 即，所以. （3）设， . 不等式对任意的恒成立， 即不等式对任意的恒成立. 当为奇数时，，则； 当为偶数时，，则. 综上，的取值范围是 6．（24-25高三上·北京·期中）设正整数数列满足. (1)若，请写出所有可能的取值； (2)记集合，且不是5的倍数，求证：； (3)存在常数，对于都有，求所有可能的取值. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由数列的递推公式直接得到； （2）设数列中最小数为，求出的范围，再分别取可能得值：5或3时不成立，所以，得证； （3）由（2）知最小项的值，由递推公式列出元素后得到数列具有周期性，从而得到所有可能的值. 【详解】（1）①，，，，， ②，，，，， ③，，，，， 所以所有可能的取值：,, （2）设数列中最小数为，（，） ①当为偶数时，与是最小值矛盾 ②当为奇数时，是偶数， ∴1或3或5. 1）当时，也是5的倍数，为偶数是；为奇数时，∴为也是5的倍数，以此类推，也是5的倍数，与不是5的倍数矛盾. 2）当时，，，，，矛盾， ，即成立. （3）由第（2）问可知，中最小数只能是1或5. 当时，后面的项为，，，，， 当时，后面的项为，，， 所以数列为周期数列时，只能是1，2，3，4，5，6，8，10 所以 7．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，；数列满足，. (1)求，的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由累加法求的通项公式，由等比数列定义求的通项公式； （2）由等比数列求和公式、错位相减法即可求解； （3）求得，注意到，故可由作商法得的单调性，结合已知即可得解. 【详解】（1），时， ，所以， 而， 综上所述的通项公式为， 因为，，所以是首项为2，公比为2的等比数列，从而； （2）由题意，所以， 所以， 所以； （3）令，则， 从而，注意到， 因为满足不等式的正整数的个数为3， 所以当且仅当的取值范围. 8．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知数列为等差数列，公差，前项和为，为和的等比中项，. (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (3)求证：数列. 【答案】(1)； (2)存在，理由见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）根据等差数列的性质得到方程，求出，，求出通项公式； （2）假设存在，得到，根据整除性可得存在正整数，，使得，，成等差数列； （3）由等差数列求和公式得到，放缩得到，裂项求和即可证明. 【详解】（1）由题意得，即， 整理得，因为，所以， ，即，解得， 故，的通项公式为； （2）假设存在正整数，，使得，，成等差数列， ，，， 由题意得，整理得到, 故或, 故（舍）或，, 综上，存在正整数，，使得，，成等差数列； （3）由等差数列求和公式得， 当时，， . 9．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列的前项和为，满足. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，的前项和为，若不等式对一切正整数恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用间的关系及等比数列的通项公式求解； （2）由条件求出，利用错位相减法求出，进而可求的取值范围. 【详解】（1）由，令，得，即， 又，得， ， 又，符合上式，则， 则数列是以1为首项，为公比的等比数列， ． （2）由题意得，， 所以①， ②， ②①得 ， ， 不等式对一切正整数恒成立， 即不等式对一切正整数恒成立，， ，， ． 10．（24-25高二·上海·随堂练习）在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值b之间存在着相当大的差距．对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上二者差价的一半；消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一半，如此下去，可得下表． 次数 消费者还价 商家讨价 第一次 第二次 第三次 … … … 第n次 消费者每次的还价组成一个数列． (1)写出此数列的前三项，并猜测通项的表达式； (2)若实际价格b与定出a的价格之比为，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有百分之几的利润？ 【答案】(1) 答案见详解 (2)约的利润 【分析】（1）结合数列的概念猜想数列的通项公式求解即可. （2）利用比值关系求解出得到利润. 【详解】（1），， ， 观察可得， （2）因为，所以，故，故商家将有约的利润． 11．（2025·广东深圳·一模）若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列是一个二阶等差数列，其中． (1)求及的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据给定条件，求出递推公式，求出，再利用累加法求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，利用分组求和及裂项相消法求和即得. 【详解】（1）由，得，， 由数列是一个二阶等差数列，得是以2为首项，1为公差的等差数列， 因此，， 当时，， 满足上式，则， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， 所以 ． 12．（24-25高三上·湖南岳阳·开学考试）有个正数，排成n行n列的数表：其中表示位于第i行，第j列的数，数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知，，. (1)求公比. (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列求解，即可根据等比性质求解， （2）根据为等差数列，可得，进而可得，即可利用错位相减法求解. 【详解】（1）第4行公差为，. 由已知：，所以. 又每个数都是正数，所以. （2）因为，所以是首项为，公差为的等差数列.故. 因为每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，所以. 故，设的前n项和为， ①. ②， ①-②得 .所以. 13．（2025·四川巴中·模拟预测）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数n． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件进行化简，结合等比数列的知识求得正确答案. （2）先求得，然后利用分组求和法、数列的单调性来求得正确答案. 【详解】（1）由得， 则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 所以 ， 数列是单调递增数列， 当时，， 当时，， 所以满足条件的最大整数为. 14．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，. (1)求证：数列是等差数列； (2)若，，且是等差数列，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先设等差数列的公差，应用递推公式结合等差数列的定义证明即可； （2）根据是等差数列得出，再应用裂项相消法求和即可证明. 【详解】（1）设等差数列的公差为, 则, 则, 所以, 故为定值， 所以是等差数列. （2）因为是等差数列， 所以为定值， 所以,即得或, 又因为，所以, 所以，结合知， . 15．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知公差d不为0的等差数列的前n项和为. (1)求的通项公式； (2)令，记为数列的前n项和，若，求n的最小值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用等差数列前n项和及通项公式求基本量，即可写出通项公式； （2）由（1）及题设，应用等比数列前n项和公式、分组求和得，结合不等式能成立及单调性求正整数n的最小值． 【详解】（1）由题设， 所以，而， 所以 （2）由题设， 则， 所以，又在上单调递增， 当时，， 当时，， 所以，求n的最小值6． 16．（24-25高三上·山东青岛·期中）如果正项有穷数列满足，即，我们称其为“1的对称数列”，例如：数列2，3，，与数列3，2，1，，都是“1的对称数列”． (1)设是项数为8的“1的对称数列”，其中是等差数列，且，请依次写出的每一项； (2)设数列是13项的“1的对称数列”，其中是等比数列，，求数列的所有项和的最小值； (3)设数列是项的“1的对称数列”，数列前项的通项公式为，求数列的前项和．（注：） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列写出前四项，再由新定义写出后四项即可； （2）由等比数列可求出数列前五项，再由新定义得出后五项及中间项，所以第六项及第八项可设为，求和后利用基本不等式得最值即可； （3）当时直接由公式求和，当时，利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设为前四项的公差， ， ， 的各项为. （2）设前五项公比为，显然， ， 则，可得， 解得或， 当时，，当时，（舍去）， 因为数列是13项的“1的对称数列”，所以， 设， ， 当且仅当时取等号， 所以数列的所有项和的最小值为. （3）当时， ， 当时， ， 所以. 【点睛】关键点点睛：新定义问题关键在于理解定义，运用定义解题，求和时利用所给公式及裂项相消法. 17．（24-25高三上·山东泰安·期中）数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定的命题在整个（或者局部）自然数范围内成立，证明分为下面两个步骤：1.证明当（）时命题成立；2.假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有自然数n都成立.已知有穷递增数列，，，且.定义：集合，若对，，使得，则称具有性质T. (1)若数列，1，2，m（）具有性质T，求实数m的值； (2)若具有性质T，且，， （ⅰ）猜想当时的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想； （ⅱ）求（）. 【答案】(1)4； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）讨论的不同取法，根据性质的定义，结合数列的单调性，即可求得参数值； （2）（ⅰ）猜想，再利用数学归纳法，结合性质的定义，分类讨论，即可证明； （ⅱ）利用（ⅰ）中所求通项公式，利用裂项求和法，即可求得结果. 【详解】（1）由已知，数列具有性质， 当时，取，满足题意； 当时，取，满足题意； 当时，，此时中有且仅有一个数为， 若，则，不满足题意； 若，则或或， 又因为，故； 综上所述，. （2）（ⅰ）猜想. 当时，满足题意； 假设时，成立，则当时， 若，则取满足题意； 若，则中有且仅有一个数为， 当时，设，则， 故，当且仅当时，取得等号； 当时，设，则， 记，则； 因为对任意的，都有在中取到， 则，即； 故，故成立； 综上，. （ⅱ）因为时， 故 . 【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键，一是，能够数量掌握数学归纳法的证明过程；二是，能够根据性质的定义，合理的分类讨论；三是，数量掌握裂项求和法求解数列的前项和. 18．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知数组，，…，和，，…，，若，且（，3，…，），则称为的“应联数组”. (1)写出数组，3，1的“应联数组”； (2)若的“应联数组”是，证明：，，成等差数列； (3)若为偶数，且的“应联数组”是，求证：. 【答案】(1)，6，. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用“应联数组”的定义，求出，，，得； （2）由“应联数组”的定义，有，化简得证，，成等差数列； （3）由“应联数组”的定义，有，化简可得. 【详解】（1）数组，3，1，，，， ，，得，，得， 所以，6，. （2）证明：由定义知，，，， ，…，， 所以， 即， 即，所以，，成等差数列. （3）证明：，，，…，， 由于为偶数， ， 即，所以. 【点睛】方法点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 19．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知数列满足. (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列； (3)令，如果对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据递推关系求值即可； （2）由递推关系可得，与原式相减可得，即，于是可得数列数列是以0为首项，以为公差的等差数列； （3）由（2）可得，故，作差并分析判断数列的单调情况，确定数列的最大项．由题意可得恒成立，于是，解不等式可得的范围． 【详解】（1）， ，，，， ，， （2）证明：由题可知：①， ②， ②-①得，即：， 所以，， ， 又 ∴数列是以0为首项，以为公差的等差数列. （3）由（2）可得，，， 则， 由可得；由可得， ∴， 故有最大值，∴对任意，有，                如果对任意，都有成立， 则，∴ ，解得或， ∴实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：（1）本题的突破口是通过与的关系得到和的关系，进而通过构造等差数列或等比数列进行求解； （2）本题求解中巧妙地将恒成立问题转化为数列的最值问题求解．而求数列项的最值时，又通过判断数列的单调性进行，解题时可通过作差或作商的方法得到数列的单调性，然后再求出数列项的最值． 20．（24-25高三上·河南·期中）设有穷数列的项数为，若（为常数，且），则称该数列为等积数列，叫做该数列的公共积. (1)若是公共积为的等积数列，求该数列的公共积及； (2)若是公共积为的等积数列，且（且为常数），证明：当时，对任意给定的，数列中一定存在相等的两项； (3)若是公共积为1的等积数列，且是奇数，对任意的都存在正整数，使得，求证：是等比数列. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据等积数列定义求解可得答案； （2）当时，根据等积数列的定义，、及可得答案； （3）设，利用是公共积为1的等积数列得，存在正整数，使得，必有，再有，得是公比为的等比数列可得答案. 【详解】（1）为等积数列，. ； （2）当时， 是公共积为的等积数列，， 又. 又， ，即原命题得证； （3）设 是公共积为1的等积数列，且， 对任意的，都存在正整数，使得， ，这项均为中的项， 由题可知，， 必有， 又， 是公比为的等比数列. 是公比为的等比数列. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用等积数列的定义和等比数列的定义求解. 21．（2024高三·全国·专题练习）已知无穷正项数列单调递增，其首项记为，.若，，其中为正整数集的子集，称数列在内满足性质；若，，称数列在内满足性质；若，，则数列在内满足性质. (1)若，判断数列具有哪种性质，并说明理由； (2)若数列具有性质，证明：时，； (3)若数列是正整数数列，表示有限集合中元素的个数，求证：若数列满足性质，则． 【答案】(1)数列满足性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）对通项公式化简，用分组求和得到，然后比较，得结论； （2）由性质B得到列不等式化简得到，由累乘法求得，得证； （3）设新的数列，由数列满足性质A转换为，且为递减数列，从而得证. 【详解】（1）由于，从而 ， 从而数列满足性质． （2）数列具有性质，即． 由于，则，由累乘法，，从而 ，即． （3）记，则， ∵，即，等价于， 即证明存在唯一正整数满足此不等式组． 由于，则，其中，∴ ∵， 从而数列是首项为正整数的单调递减整数数列， 从而存在唯一正整数，使得． 综上，若数列满足性质，则． 22．（24-25高二上·上海·期中）在章节“用迭代序列求的近似值”中，将方程等价变形为，构造递推数列来形成一个迭代序列，当n趋于正无穷大时，趋近于.选取初始值，并令，，，2，3，… (1)完成以下表格，并在图中画出线段，，，，；（精确到0.001） n 1 2 3 n 4 5 6 (2)证明：是严格减数列； (3)设，证明是等比数列，并求出的通项公式及的值. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析； (3)， 【分析】（1）利用迭代思想结合计算器，即可求近似值； （2）利用均值不等式来证明，再用数列的递推法来证明单调性即可； （3）利用给的通项关系式，来构造成等比数列来求通项，最后求极限值. 【详解】（1）根据递推数列，，可依次求得： ，，，， 完成以下表格 n 1 2 3 8 4.125 2.305 n 4 5 6 1.586 1.424 1.414 如图画出线段，，，， （2）证明：由，，可得， 再结合均值不等式得：，当且仅当时取等号， 也就是说只要前一项不等于，后一项就不可能取到， 而首项，所以等号一定不成立，即， 再由， 从而有，所以是严格减数列； （3）由两边加得： ，-------① 由两边减得： --------② 由①除以②得：， 上式两边取常用对数得：， 再由，代入得：， 所以是等比数列，首项， 即， 所以， 解得通项公式为， . 【点睛】方法点睛：（1）利用递推关系证明数列单调性； （2）利用题目中给的条件来构造等比数列求通项. 23．（24-25高三上·江苏淮安·期中）已知数列的前项和为，，，，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，当时，；当时，. ①求数列的前项和； ②当时，求证：. 【答案】(1) (2)①②证明见解析 【分析】（1）根据已知条件赋值法列方程组计算求出,再应用，化简得出进而得出即可； （2）①由得出再应用错位相减法即可求解；②构造数列再根据数列单调性即可证明不等式. 【详解】（1）在中，分别令 ，当时，， 两式相减得出， ，也满足上式 为常数列， （2）①当时，，当时， 时，， ， ， ， 两式相减得出 ②， 令， 在上单调递增，注意到时，， 当时，，且 ， . 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造数列结合数列的单调性得出即可得证. 24．（24-25高二上·上海·期中）若项数为的有穷数列满足且，我们称这样的数列为数列: (1)若数列是数列，且为等比数列，项数为2024，求该数列的通项； (2)若数列是数列，且为等差数列，项数为且，求该数列的通项用k,n表示； (3)若数列是数列，项数为，记的前项和为，若存在，使，试问：数列能否是数列，若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)不能，理由见解析 【分析】（1）根据等比数列的求和公式及新定义求出首项与公比即可得解； （2）根据等差数列及新定义求出首项就公差即可得出通项公式； （3）假设数列是M数列，根据（1）（2）可推出，矛盾，即可得解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 若，则由题意得，得， 由得或， 若，由题意得，，得，不可能， 综上所述，， 或 （2）设等差数列的公差为， ， ，， 即，当时，与数列的条件矛盾; 当时，据数列的条件得，， ，即，由得， 即， ； 当时，同理可得，即， 由得，即，， 综上所述，当时，， 当时，. （3）记中非负项和为，负项和为，则， 得，即， 若存在，使，由前面的证明过程知： ， 且， 若数列为数列，记数列的前项和为， 则，， 又， ，， 又，， ， 又与不能同时成立， 数列不为数列. 【点睛】关键点点睛：新定义题目的解题关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能力是关键，对能力要求很高. 25．（24-25高三上·江苏无锡·期中）在下面行、列的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为. 第1列 第2列 第3列 … 第列 第1行 1 2 … 第2行 3 5 9 第3行 5 10 … … 第行 (1)求数列通项公式; (2)对任意的，将数列中落入区间内项的个数记为， ①求和的值; ②设数列的前项和；是否存在，使得，若存在，求出所有的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)①，；②. 【分析】（1）移项得，运用累加法即可得到通项公式； （2）①令，解得，代入得，当时，作差得，代入即可得到； ②，利用错位相减法得，再验证值即可. 【详解】（1）由题意知，， 当时， ，而也满足上式，. （2）①， 令， 当时，，此时， 当时，， 此时. ②，记从第2项到第项的和为， ， ， 上述两式作差得 ， ， 当时，； 当时， ， 也满足上式，， ， ，当时，左边，舍去， 当时，经检验符合； 当时，左边恒，无解， 综上:. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是利用错位相减法得，再计算得. 26．（2025·江苏·模拟预测）设n为正整数，数列为正整数数列，且满足数列和均为等差数列，则称数列为“五彩的” (1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数列，通项公式为 (2)若数列为“五彩的”且严格单调递增. （i）证明：数列和公差相等； （ii）证明：数列一定为等差数列. 【答案】(1)①不是，②是，理由见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据数列定义判断证明即可； （2）分别应用定义结合数列的单调性证明即可 【详解】（1）①不是 中不是等差数列，①不是 “五彩的”； ②是   ， ， 符合定义②是 “五彩的”. （2）（i）对正整数n，设，， 其中d，为正整数，整数b，c满足，， 由于数列单调递增，则对于任意正整数n，， 即， 即， 同除以n并令n趋近正无穷得，即证. （ii）对于正整数n，设， 由数列单调递增，知， 又因为， 故数列必然存在最大项A，最小项B， 下证即可，设正整数t使得， 一方面，由于数列以d为公差， ， 另一方面，， 从而， 又， ， 同理可得，即，即证. 【点睛】关键点点睛：根据数列的定义设通项及公差，结合数列的单调性及累加法证明. 27．（24-25高一上·湖南长沙·期中）我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.如果一个数列的项是有限个，那么称这样的数列为有穷数列. 已知有穷数列.若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列.对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，将的值添在的最后，然后删除，这样得到一个项的新数列（约定：一个数也视作数列）.若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，如此经过次操作后得到的新数列记作. (1)设数列，请写出的所有可能的结果； (2)求证：对于一个项的数列实施操作过程，总共可以实施次； (3)设数列，求的可能结果，并说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由题意可直接得到； （2）证明新增项一定是满足数列的项，就能得到每一次操作增加一项减少二项合计一次操作减少一项，所以得出总共的操作次数； （3）通过定义验证的结果与操作过程无关，所以最后结果就是任意两个元素进行计算，最后得出的一个数即为的结果. 【详解】（1）（1）有如下的三种可能结果： ，所以. ，， ， （2）因为，有 且， 所以，即每次操作后新数列仍是数列. 又因为每次操作中都是增加一项，删除两项， 所以对数列每操作一次，项数就减少一项， 所以对项的数列总共可进行次操作（最后只剩下一项）. （3）由（2）可知中仅有一项. 对于满足的实数定义运算：， 下面证明这种运算满足交换律和结合律：因为，且， 所以，即该运算满足交换律； 又因为， 且， 所以，即该运算满足结合律. 所以中的项与实施的具体操作过程无关. 选择如下操作过程求： 由（1）可知； 易知 所以的其中一种结果为； 易知经过4次操作后剩下一项为. 综上可知：. 学科网（北京）股份有限公司 $$