第九节 等效重力场以及外力场叠加应用-2024-2025学年高二上学期物理专项训练

第九节 等效重力场以及外力场叠加应用 需要掌握的内容 1.什么是等效重力场，具体做法是什么？ 当物体受到重力以及恒定匀强电场时，可以把电场以及重力场合成一个新的场原来的重力加速度会变成一个新的重力加速度。此方法属于一种简便算法，通常用于圆周运动当中，可以找到轨迹新的最高点以及最低点，通过新的重力加速度重新计算临界速度。 当物体运动为抛体运动时，通常使用水平竖直独立分析的方式比较简单。用等效重力法反而使运动过程分析更加复杂。 电场力只是一个恒定的外力，运动分析时考虑受到恒力就可以，这部分应用比较综合。 经典习题 单选题1．如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为+q的小球，系在一根长为L的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的n水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度E=mg/q， 下列说法不正确的是（　　）    A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为 B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大 C．若将小球在A点由静止开始释放，它将在ACBD圆弧上往复运动 D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达B点 2．如图，整个空间存在水平向左的匀强电场，竖直面内有一直角坐标系xOy，以y轴为对称轴的光滑圆弧形绝缘轨道ABC放置在x轴下方，轨道与y轴交于B点，与x轴交于A（-0.4，0）、C（0.4，0）两点。现有一个可视为质点的带电绝缘小球沿PA所在直线向A点匀加速运动，从A点沿切线方向进入轨道，一段时间后从C点离开。若小球在轨道内运动过程中恰好不脱离轨道，已知小球质量m=0.3kg，电荷量q=0.4C，P点的坐标为（0，0.3），重力加速度为g=10m/s2，不考虑空气阻力的影响。求： （1）匀强电场电场强度的大小； （2）小球对轨道压力的最大值； （3）小球经过P点时的速度大小； （4）当小球从C点飞出时，小球落在x轴上的位置坐标。 3．如图所示，在一光滑绝缘平台上放置一可视为质点的带正电小球，电量为q，质量为，平台右侧空间存在沿水平方向的匀强电场，场强大小，方向可以调控，电场中某位置有一光滑绝缘圆弧轨道，轨道半径，通过调节电场方向和轨道位置，可以使带电小球从B点沿圆弧切线无能量损失地进入轨道，并且在到达最高点C前不脱离轨道。某时刻用一质量为的绝缘小球以速度向右与带电小球发生弹性正碰。小球刚到平台边缘A点时电场方向水平向左，经过时间t（未知），电场方向变为水平向右，小球刚好能沿直线运动，经过一段距离运动到B后进入圆弧轨道。重力加速度，小球带电量不变，不考虑电场边界效应，电场变化带来的电磁效应，结果中可保留根式和分数。求： （1）带电小球刚进入电场时的速度大小； （2）从小球进入电场开始计时，电场方向水平向左持续的时间t； （3）若小球刚好能够沿圆弧轨道到达C，求小球在轨道上的最大动能是多少？这种情况下，带电小球在进入圆弧轨道前沿直线运动的距离s为多大？ 4．如图所示，竖直固定的光滑绝缘圆轨道处于水平向右的匀强电场中，轨道半径为R。一质量为m、电荷量为（）的带电小球（可视为质点）在轨道内侧的P点处于静止，过P点的轨道半径与竖直方向的夹角，，，重力加速度为g。某时刻，沿轨道切线方向给小球一大小为v的速度，使小球能沿轨道做完整的圆周运动。 （1）求电场强度的大小； （2）求小球做圆周运动通过P点时对轨道的压力大小； （3）设P点的电势为零，求小球在运动过程中的最大电势能。    5．如图所示，一质量为m1＝1kg，带电荷量为q＝＋0.5C的小球以速度v0＝3m/s，沿两正对带电平行金属板(板间电场可看成匀强电场)左侧某位置水平向右飞入，极板长L=6m，两极板间距d=0.5m，不计空气阻力，小球飞离极板后恰好由A点沿切线落入竖直光滑圆弧轨道ABC，圆弧轨道ABC的形状为半径为R的圆截去了左上角127°的圆弧，CB为其竖直直径，在过A点竖直线OO′的右边界空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E＝5V/m.(取g＝10m/s2)求： (1)两极板间的电势差大小U； (2)欲使小球在圆弧轨道运动时不脱离圆弧轨道，求半径R的取值应满足的条件． 6．如图所示，一半径的绝缘光滑圆轨道，竖直固定在方向水平向右的匀强电场中。在轨道的最低点，由静止释放一质量的带电小球，小球沿轨道运动所到达的最高点为。已知运动轨迹所对圆心角，电场强度，重力加速度取。试求： (1)小球的带电量； (2)小球由运动到的过程中的最大速度； (3)若欲使小球能沿轨道做完整的圆周运动，则由点沿水平向右的方向至少需给小球多大的初速度。 单选题7．如图，空间有一范围足够大、水平向右的匀强电场，在电场中用绝缘细线悬挂一质量为m、电荷量为+q的小球，静止时细线与竖直方向的夹角为37°。若小球获得垂直于细线、方向斜向右上的速度v0，小球恰好可在竖直平面内做圆周运动。A点为圆轨迹上的最高点，已知细线长为l取v，，则（　　） A．电场强度大小为 B．球运动到A点时速度最小 C．球运动过程中的最小速度为 D．球运动的初速度 8．如图所示，长l＝1m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，小球静止在水平向右的匀强电场中，绳与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球所带电荷量q＝1.0×10﹣6C，匀强电场的场强E＝3.0×103N/C，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）小球所受电场力F的大小； （2）小球的质量m； （3）若将电场瞬间反向，场强大小不变，求小球到最低点时速度v的大小（结果可以带根号）； （4）若将图示电场瞬间撤掉。小球从静止开始运动，经过时间t=0.2s运动到最低点。求此过程中绳子拉力的冲量大小（可以带根号）    9．绝缘的水平面上有一质量为0.1kg的带电物体，物体与水平面间，恰能在水平向左的匀强电场中向右匀速运动，电场强度，g取10m/s2.求 （1）物体带电量大小； （2）若只将物体带电量改变为原来的2倍，使物体以初速度向右加速，经过的物体的速度； （3） 若只将物体带电量改变为原来的2倍，使物体以初速度向右加速，经过位移的速度。    10．如图所示，光滑绝缘直杆水平放置并固定不动，其中、、的长度均为，杆上套有一质量为、电荷量为的小球（可视为质点），小球通过绝缘轻质弹簧与固定点连接，直杆处固定电荷量为的点电荷，小球从点由静止开始释放，运动到点时速度恰好达到最大值。垂直于直杆，且的长度为弹簧原长，静电力常量为。 （1）求、两点间的电势差。 （2）求小球刚释放时的加速度大小。 （3）求小球运动到点时，点的电场强度大小。 多选题11．如图所示，A、B为水平放置的平行金属板，两板相距为，带有等量异种电荷且电荷量始终保持不变，两板中央各有一小孔M和N。今有一带正电的油滴，自A板上方相距为的P点自由下落（P、M、N在同一竖直线上），空气阻力忽略不计，到达N孔时速度恰好为0。下列说法中正确的是（    ） A．A板带负电 B．油滴克服电场力做功等于从P点到N点过程油滴电势能的减少量 C．油滴克服电场力做功等于从P点到N点过程油滴重力势能的减少量 D．若将A板下移少许，其余条件不变，油滴自P点自由下落后将从N孔穿出 单选题12．如图所示，在竖直平面xOy内存在一未知匀强电场。一质量为m的带电小球从y轴上P点以与y轴正方向成60°的速度v进入第一象限；经过x轴上Q点（图中未画出）时的速度大小也为v，方向竖直向下。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。小球从P点运动到Q点的过程中（　　） A．机械能先减小后增加 B．速度不小于 C．所受电场力不小于 D．竖直位移与水平位移大小的比值为 13．如图所示，粗糙、绝缘的直轨道OB固定在水平桌面上，B端与桌面边缘对齐，A是轨道上一点，过A点并垂直于轨道的竖直面右侧有大小E＝1.5×106N/C，方向水平向右的匀强电场．带负电的小物体P电荷量是2.0×10－6C，质量m＝0.25kg，与轨道间动摩擦因数μ＝0.4，P从O点由静止开始向右运动，经过0.55s到达A点，到达B点时速度是5m/s，到达空间D点时速度与竖直方向的夹角为α，且tanα＝1.2。P在整个运动过程中始终受到水平向右的某外力F作用，F大小与P的速率v的关系如表所示．P视为质点，电荷量保持不变，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，求： （1）小物体P从开始运动至速率为2m/s所用的时间； （2）小物体P从A运动至D的过程，电场力做的功。 14．如图所示为一个模拟货物传送的装置，A是一个表面绝缘、质量、电量的传送小车，小车置于光滑的水平地面上。在传送途中，有一个水平电场，电场强度为，可以通过开关控制其有无。现将质量，的货物B放置在小车左端，让它们以的共同速度向右滑行，在货物和小车快到终点时，闭合开关产生一个水平向左的匀强电场，经过一段时间后关闭电场，当货物到达目的地时，小车和货物的速度恰好都为零。已知货物与小车之间的动摩擦因数，货物不带电且体积大小不计，g取，求为了使货物不滑离小车的另一端，小车至少多长？    15．空间中有场强大小为E的匀强电场，方向水平向右，如图所示。一质量为m、可视为质点的带电小球，从O点竖直向上抛出，此时动能为Ek0，经过一段时间小球再次与O点高度相同时动能5Ek0，不计空气阻力，已知重力加速度大小为g。求： （1）小球到达最高点时，所上升的高度； （2）小球的电荷量； （3）此过程中小球动能的最小值。 16．如图所示的平面直角坐标系xOy，在第二象限内有一正对平行板电容器ABCD，B点坐标为（0，12L）、D点坐标为（-9L，0）、极板长为20L。一质量为m电荷量为q的带正电小球从C点由静止释放，恰能沿水平方向运动到B点离开电容器。不计空气阻力，重力加速度取g，试计算： （1）电容器两端电势差的绝对值为多少； （2）小球离开电容器后运动到x轴时的水平位移为多少； （3）若在一、四象限内添加一匀强电场使得小球再次经过y轴时的速度方向与y轴负方向的夹角为45°，则可添加的匀强电场场强的最小值为多少。    答案 第九节 1．C 【详解】A．由于电场强度，故 物体的加速度大小为 故若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为，则有， 解得 A正确； B．除重力和弹力外其它力做功等于机械能的增加值，若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运行到B点时，电场力做功最多，故到B点时的机械能最大，B正确； C．小球受合力方向与电场方向夹角斜向下，故若将小球在A点由静止开始释放，它将沿合力方向做匀加速直线运动，C错误； Ｄ．将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，小球在竖直方向做竖直上抛，水平方向做匀加速，当竖直上抛合位移为0时，小球刚好运动到B点，D正确。 本题要求选择不正确的，故选C。 2．（1）10N/C；（2）30N；（3）；（4）-1.904m 【详解】（1）小球释放后在重力和电场力的作用下做匀加速直线运动，小球从A点沿切线方向进入，则此时速度方向与水平方向的夹角为 解得 则加速度方向与水平方向的夹角为37°，则 解得 （2）根据几何关系可知 解得圆轨道的半径 小球在轨道内运动过程中恰好不脱离轨道，则在等效最高点M，恰好由重力和电场力的合力提供向心力，如图    有 解得 在等效最低点N，小球对轨道压力的最大，此时对小球有 又从N到M点的过程中，根据动能定理得 联立解得 根据牛顿第三定律可知小球对轨道压力的最大值 （3）从P到M点的过程中，根据动能定理得 解得 （4）从M到C的过程中，根据动能定理得 解得 小球从C点抛出后在y轴方向做竖直上抛运动，再次回到x轴上的时间为t，则有 在x轴方向做匀加速直线运动，有 解得沿x轴方向运动的位移 则小球从C点飞出后落在x轴上的位置坐标为 3．（1）2m/s；（2）0.1s；（3）， 【详解】（1）两球发生弹性正碰，根据动量守恒和机械能守恒可得 解得带电小球刚进入电场时的速度大小为 （2）带电小球刚进入电场时，受到的合力大小为 方向与竖直方向成偏左下；当电场反向时，合力大小为 方向与竖直方向成偏右下；由于电场方向变为水平向右，小球刚好能沿直线运动，则电场反向前的过程，小球速度方向偏转，则有 电场方向水平向左持续的时间为 解得 （3）若小球刚好能够沿圆弧轨道到达C，则有 解得 根据电场力和重力的合力方向，可知小球在圆弧轨道的最低点和圆心连线与竖直方向的夹角为，根据动能定理可得 解得小球在轨道上的最大动能为 电场方向改变时时小球的速度大小为 根据动能定理可得 解得 4．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）在P点对小球进行受力分析如图所示    则有 解得 （2）根据题意可知，在P点有 根据牛顿第三定律有 解得小球做圆周运动通过P点时对轨道的压力大小 （3）根据电场力做功与电势能的关系，若电势能最大，则小球克服电场力做功最多，由于电场方向水平向右，小球带正电，可知小球在运动过程中的最大电势能位置位于圆周水平直径的左端点，根据 解得 5．(1)8V；(2)或 【详解】(1)在A点，速度分解如图所示 则竖直分速度 vy= v0tan 53°=4 m/s 带电粒子在平行板中运动时间 t==2 s vy=at 得 a=2 m/s2 又 mg-E′q=ma E′= 得 U=8 V (2)在A点速度 ①若小球不超过圆心等高处，则有 ≤(mg＋qE)Rcos 53°   得 ②若小球能到达最高点C，则有 =(mg＋qE)R·(1＋cos 53°)＋ 在C点 mg＋Eq≤ 联立解得 故圆弧轨道半径R的取值条件为 或 6．(1)；(2)；(3)。 【详解】(1)小球由至，由动能定理得 解得 所以 (2)设小球由运动至的过程中某一时刻，小球与圆心连线与竖直方向成角，由动能定理可得 小球沿圆轨道运动，受到三个力的作用，分别为重力、电场力及轨道对小球的弹力，其中，均为恒力，将其合成等效为恒力，则 方向与竖直方向成角，斜向右下方，所以当时，小球速度最大 (3)小球沿圆轨道运动，不脱离轨道的临界状态是，恰好通过“最高点”，如图所示 此时轨道对小球的弹力为零，所以 即 此时对应的在点的初速度最小，由动能定理得 联立解得 因此，欲使小球能沿轨道做圆周运动，则在点需给小球沿水平向右的初速度至少 7．D 【详解】A．静止时受力分析则有 联立解得 故A错误； B．根据等效重力的方法，小球运动到等效最高点的速度最小，即在图示位置细线的反向延长线与圆交点的位置，故B错误； C．因为恰好能做圆周运动，所以 故C错误； D．由能量守恒定律则有 联立解得，故D正确。 故选D。 8．（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）根据电场强度定义式可知，小球所受电场力大小为 （2）小球受重力mg、绳的拉力T和电场力F的作用处于平衡状态，根据几何关系有 代入数据得 （3）电场方向，重力与电场力对小球做功，根据动能定理有 解得 （4）电场撤去后小球运动过程中机械能守恒，则有 解得 根据动量定理，合外力的冲量等于动量变化 重力冲量 画出冲量矢量合成图，合力冲量水平，重力冲量为竖直向下，则拉力冲量为 9．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）根据水平方向合力为0，则 解得 （2）水平方向由动量定理 解得 （3）对物体运用动能定理 解得 10．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）小球从点运动到点的过程中弹簧弹力做功为零，由动能定理有 解得 （2）小球在点时，设弹簧与水平方向的夹角为，则 在点时有 解得 （3）设处点电荷在点产生的电场强度大小为，方向向右；带电小球运动到点时在点产生的电场强度大小为，方向向左，则 解得点的电场强度大小 11．ACD 【详解】A．从P点到N点，由动能定理 解得 可知为负，则点的电势低于点的电势，可知B板带正电，A板带负电，故A正确； B．油滴从P点到N点过程电场力做负功，则油滴克服电场力做功等于从P点到N点过程油滴电势能的增加量，故B错误； C．由A选项可得 可得油滴克服电场力做功等于从P点到N点过程油滴重力势能的减少量，故C正确； D．极板间电荷量不变，根据 可知若将A板下移少许，则电容变大，根据 可知极板间的电压变小，则此时 可知油滴自P点自由下落后将从N孔穿出，故D正确。 故选ACD。 12．C 【详解】B．小球做类斜上抛运动，经过x轴上Q点时速度大小为v，速度方向竖直向下，则速度方向偏转了120°，速度方向偏转60°时，小球的速度最小，此时小球的速度与PQ平行，所以PQ与竖直方向成60°角，初速度与PQ成60°角；当速度方向与PQ平行时，小球的速度最小，最小值为 所以，小球的速度可以小于，B错误； A． PQ与竖直方向成60°角，电场力与重力的合力的方向与PQ垂直向左下方，与竖直方向成30°角；电场力的方向不确定，若电场力的方向沿着QP方向，小球从P到Q的过程中，电场力始终做负功，小球的机械能一直减小，A错误； C．电场力与重力的合力的方向与PQ垂直向左下方，与竖直方向成30°角，当小球所受的电场力沿着QP方向时，电场力最小，最小值为 所以，小球所受电场力不小于，C正确； D．PQ与竖直方向成60°角，与水平成30°角，竖直位移与水平位移大小的比值为 D错误。 故选C。 13．（1）小物体P从开始运动至速率为2m/s所用的时间为0.5s；（2）小物体P从A运动至D的过程，电场力做的功为﹣9.25J 【详解】（1）小物体P的速率从0只2m/s，受外力F1=2N，设其做匀变速直线运动的加速度为a1，经过时间△t1，则 F1﹣μmg=ma1① v1=a1△t ② 由式代入数据得 △t1=0.5s ③ （2）小物体P从2m/s运动至A点，受外力F2=6N，设其做匀变速直线运动的加速度为a2，则 F2﹣μmg=ma2④ 设小物体P从速度v1经过△t2时间，在A点的速度为v2，则 △t2=0.55s﹣△t1⑤ v2=v1+a2△t2⑥ P从A点至B点，受外力F2=6N、电场力和滑动摩擦力的作用， 设其做匀变速直线运动的加速度为a3，电荷量为q，在B点的速度为v3，从A点至B点的位移为x1，则有： F2﹣μmg﹣qE=ma3⑦ ⑧ P以速度v3滑出轨道右端B点，设水平方向外力为F3，电场力大小为FE， 有 FE=F3⑨ F3与FE大小相等方向相反，P水平方向所受合力为零，所以P从B点开始做初速度为v3的平抛运动． 设P从B点运动至D点用是为△t3，水平位移为x2， 由题意知 （10） x2=v3△t3（11） 设小物体P从A点至D点电场力做功为W，则有 W=﹣qE（x1+x2） （12） 联立④⑧（10）（12）式并代入数据得 W=﹣9.25J 14．1.2m 【详解】设关闭电场的瞬间，货物和小车的速度大小分别为和；电场存在的时间是t，该段时间内货物和小车的加速度大小分别是和，在加电场的过程中，货物一直向前做匀减速运动，小车先向前做匀减速运动，然后反向做匀加速运动，由牛顿第二定律有 又 在关闭电场后，货物和小车系统动量守恒，由动量守恒有 联立可得 ，， 设电场存在时和电场消失后货物在小车上相对滑行的距离分别为和；货物和小车对地位移分别是和，由运动学公式可得 所以 撤去电场到停止运动过程由能量守恒 代入数据解得 所以小车的最短长度为 15．（1）（2）； 【详解】（1）带电小球在竖直方向做竖直上抛运动，设小球竖直初速度为v0，则有 解得 小球到达最高点时所用的位移 （2）水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，带电小球在竖直方向做竖直上抛运动，根据竖直上抛运动的对称性，小球回到与O点相同高度处，竖直分速度大小仍然为v0，设此时水平分速度为vx，则合速度有 则与O点等高度处的动能为 联立解得 水平方向上，由运动学公式可得 解得 （3）当带电小球速度方向与合力垂直时，速度最小，动能最小，水平方向加速度大小为 由几何关系可得，此时小球水平速度和竖直速度大小相等，即 解得 所以此时 则此时合速度大小为 此时动能的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $$