第14章整式乘法与因式分解章末拔尖测试卷-2024-2025学年八年级数学提优专题举一反三训练及试卷测试（人教版）

第14章 整式乘法与因式分解章末拔尖测试卷（原卷版） 【人教版】 （考试时间：60分钟 满分100分） 考卷信息 本卷试题共 23 题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．若（3ambm﹣n）2＝9a4b8成立，则（　　） A．m＝2，n＝﹣2 B．m＝﹣2，n＝﹣2 C．m＝﹣2，n＝2 D．m＝2，n＝2 2．已知a＝961，b＝2741，c＝8131，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c 3．若（3x+a）（2x﹣3）的运算结果中不含x的一次项，则a＝（　　） A．4 B．3 C．﹣4 D．4.5 4．计算5a3b÷a3的结果是（　　） A．b B．5ab C．5a D．5b 5．多项式x2m﹣xm提取公因式xm后，另一个因式是（　　） A．x2﹣1 B．xm﹣1 C．xm D．x2m﹣1 6．若（x+4）（x﹣2）＝x2+mx+n，则m，n的值分别是（　　） A．m＝2，n＝8 B．m＝2，n＝﹣8 C．m＝﹣2，n＝﹣8 D．m＝﹣2，n＝8 7．代数式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）的末尾数字是（　　） A．0 B．1 C．6 D．8 8．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图①，图②两种方式放置（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分的面积和为S2，则S1﹣S2的值表示正确的是（　　） A．BE•FG B．MN•FG C．BE•GD D．MN•GD 9．嘉琪是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：坊、爱、我、廊、丽、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美 B．廊坊美丽 C．爱我廊坊 D．美我廊坊 10．我国古代许多关于数学的发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，第四行的四个数1，3，3，1恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数．请你猜想（a+b）5的展开式中含a3b2项的系数是（　　） A．10 B．12 C．9 D．8 二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知a2﹣2a＝5，则代数式（a﹣2）2+2（a+1）的值为 　 　． 12．如果关于x和y的代数式9x2﹣mxy+4y2是一个完全平方公式，那么m的值为 　 　． 13．若x＝4m+1，y＝64m﹣3，用x的代数式表示y，则y＝　 　． 14．已知a＝5+4b，则代数式a2﹣8ab+16b2的值是 　 　． 15．如图，一个小长方形的长为m+n，宽为m，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）大长方形的长a＝　 　，宽b＝　 　．（用含m，n的式子表示） （2）求在大长方形中，阴影部分的面积．（用含m，n的式子表示） （3）设大长方形的面积为S1，大长方形内阴影部分的面积为S2，若S1＝4S2，求m与n的数量关系． 16．已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2023，且a、b、c互不相等，则c2（a+b）﹣2024＝　 　． 三．解答题（共7小题，共52分） 17．（6分）（1）计算：（﹣a2）3+a2•a3+a8÷（﹣a2）； （2）已知5x＝18，5y＝3，求5x﹣2y的值． 18．（8分）因式分解： （1）a2b﹣10ab+25b； （2）4a2（a﹣b）﹣（a﹣b）． 19．（6分）已知A＝3x2+ax﹣3y+2，B＝bx2x﹣2y+4，且A与B的3倍的差的值与x的取值无关，求代数式﹣ab[a（4b﹣a+6）]﹣3（2ab2a2bab）的值． 20．（8分）（1）当mn＝﹣4，m+n＝3，求m﹣n的值．（2）已知，求x3y+xy3+2x2y2的值． 21．（8分）阅读材料：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴m＝﹣3，n＝3． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题： （1）已知x2+2y2﹣2xy﹣10y+25＝0，请直接写出x和y的值． （2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣6b+10＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 22．（8分）一个三位或者三位以上的整数，从左到右依次分割成三个数，记最左边的数为a，最右边的数为b，中间的数记为m，若满足m＝a2+b2，我们就称该整数为“空谷”数．例如：对于整数282．∵22+22＝8，∴282是一个“空谷”数，又例如：对于整数121451，∵122+12＝145，∴121451也是一个“空谷”数．满足m＝2ab，我们就称该整数为“幽兰”数；例如：对于整数481，∵2×4×1＝8，∴481是一个“幽兰”数，又例如：对于整数13417，∵2×1×17＝34，∴13417是一个“幽兰”数． （1）若一个三位整数十位数字为9，且为“空谷”数，则该三位数为 　 　；若一个四位整数为“幽兰”数，且中间的数为40，则该四位数为 　 　； （2）若是一个“空谷”数，是一个“幽兰”数，求a2﹣b2的值． （3）若一个整数既是“空谷”数，又是“幽兰”数，我们就称该整数为“空谷幽兰”数．请写出所有的四位“空谷幽兰”数． 23．（8分）阅读理解： 若x满足（50﹣x）（x﹣40）＝20，求（50﹣x）2+（x﹣40）2的值． 解：设50﹣x＝a，x﹣40＝b， 则（50﹣x）（x﹣40）＝ab＝20，a+b＝（50﹣x）+（x﹣40）＝10， ∴（50﹣x）2+（x﹣40）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×20＝60． 解决问题 （1）若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝150，则（30﹣x）2+（x﹣10）2＝　 　； （2）若x满足（x﹣2022）2+（x﹣2020）2＝204，求（x﹣2022）（x﹣2020）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为50平方单位，则图中阴影部分的面积和为 　 　平方单位． 1 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5．多项式x2m﹣xm提取公因式xm后，另一个因式是（　　） A．x2﹣1 B．xm﹣1 C．xm D．x2m﹣1 【分析】直接提取公因式xm，进而得出答案． 【解答】解：∵x2m﹣xm ＝xm（xm﹣1）， 故选：B． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确利用同底数幂的除法运算法则是解题关键． 6．若（x+4）（x﹣2）＝x2+mx+n，则m，n的值分别是（　　） A．m＝2，n＝8 B．m＝2，n＝﹣8 C．m＝﹣2，n＝﹣8 D．m＝﹣2，n＝8 【分析】运用多项式与多项式相乘的法则将等式左边展开，通过比较左右两边的对应项系数，将问题转化为关于m，n的方程来确定m，n的值． 【解答】解：∵（x+4）（x﹣2）＝x2+2x﹣8＝x2+mx+n， ∴m＝2，n＝﹣8， 故选：B． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，运算法则需要熟练掌握，利用对应项系数相等求解是解题的关键． 7．代数式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）的末尾数字是（　　） A．0 B．1 C．6 D．8 【分析】把2写成（3﹣1）利用平方差公式即可． 【解答】解：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1） ＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1） ＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1） ＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1） ＝（38﹣1）（38+1）（316+1）（332+1） ＝（316﹣1）（316+1）（332+1） ＝（332﹣1）（332+1） ＝364﹣1． ∵31＝3，32，＝9，33＝27，34＝81，35＝243，……， ∴3n（n为正整数）的末尾数字以3、9、7、1四个数循环， ∵64÷4＝16， ∴364末尾数字是1， ∴364﹣1末尾数字是0， 故选：A． 【点评】本题考查的是数字规律问题，解题关键是运用平方差公式计算并找出末尾数字的规律． 8．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图①，图②两种方式放置（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分的面积和为S2，则S1﹣S2的值表示正确的是（　　） A．BE•FG B．MN•FG C．BE•GD D．MN•GD 【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【解答】解：∵S1＝（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）＝（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD﹣a）， S2＝（AB﹣a）（AD﹣b）+（AD﹣a）（AB﹣b）， ∴S1﹣S2＝（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD﹣a）﹣（AB﹣a）（AD﹣b）﹣（AD﹣a）（AB﹣b） ＝（AB﹣a）•a﹣（AB﹣a）（AD﹣b） ＝（AB﹣a）•（a﹣AD+b） ＝BE•FG， 故选：A． 【点评】本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质． 9．嘉琪是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：坊、爱、我、廊、丽、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美 B．廊坊美丽 C．爱我廊坊 D．美我廊坊 【分析】将原式进行因式分解即可求出答案 【解答】解：原式＝（x2﹣y2）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b） 由题意可知：（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b）可表示为“爱我廊坊”． 故选：C． 【点评】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式，提取公因式法，并考查学生的阅读理解能力． 10．我国古代许多关于数学的发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，第四行的四个数1，3，3，1恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数．请你猜想（a+b）5的展开式中含a3b2项的系数是（　　） A．10 B．12 C．9 D．8 【分析】由（a+b）＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1；因此（a+b）5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1，从而可得答案． 【解答】解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， ∴含a3b2项的系数是10， 故选：A． 【点评】本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键． 二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11．已知a2﹣2a＝5，则代数式（a﹣2）2+2（a+1）的值为 　11　． 【分析】先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则化简代数式，再代入求值． 【解答】解：（a﹣2）2+2（a+1） ＝a2﹣4a+4+2a+2 ＝a2﹣2a+6． ∵a2﹣2a＝5， ∴原式＝5+6＝11． 故答案为：11． 【点评】本题考查了代数式的化简求值，掌握完全平方公式、单项式乘多项式法则是解决本题的关键． 12．如果关于x和y的代数式9x2﹣mxy+4y2是一个完全平方公式，那么m的值为 　±12　． 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值． 【解答】解：∵9x2﹣mxy+4y2是一个完全平方式， ∴这两个数是3x和2y， ∴mx＝±2×2y×3x， 解得m＝±12； 故答案为：±12． 【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 13．若x＝4m+1，y＝64m﹣3，用x的代数式表示y，则y＝　（x﹣1）3﹣3　． 【分析】首先根据x＝4m+1，可得：4m＝x﹣1，然后根据64m＝43m＝（4m）3，用x的代数式表示y即可． 【解答】解：∵x＝4m+1， ∴4m＝x﹣1， ∴64m＝43m＝（4m）3＝（x﹣1）3， ∴y＝64m﹣3＝（x﹣1）3﹣3． 故答案为：（x﹣1）3﹣3． 【点评】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n＝amn（m，n是正整数）；②（ab）n＝anbn（n是正整数）． 14．已知a＝5+4b，则代数式a2﹣8ab+16b2的值是 　25　． 【分析】先将原式根据完全平方公式变形，再整体代入即可得出答案． 【解答】解：∵a＝5+4b， ∴a﹣4b＝5， ∴a2﹣8ab+16b2＝（a﹣4b）2＝52＝25． 故答案为：25． 【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的定义是关键． 15．如图，一个小长方形的长为m+n，宽为m，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）大长方形的长a＝　4m+n　，宽b＝　2m+n　．（用含m，n的式子表示） （2）求在大长方形中，阴影部分的面积．（用含m，n的式子表示） （3）设大长方形的面积为S1，大长方形内阴影部分的面积为S2，若S1＝4S2，求m与n的数量关系． 【分析】（1）利用图形和整式的加减即可求解； （2）利用多项式乘法求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解； （3）表示出大长方形的面积和阴影部分的面积，然后结合S1＝4S2求解即可． 【解答】解：（1）大长方形的长a＝m+n+3m＝4m+n，宽b＝m+n+m＝2m+n； 故答案为：4m+n，2m+n； （2）阴影部分的面积： （4m+n）（2m+n）﹣6m（m+n） ＝8m2+4mn+2mn+n2﹣6m2﹣6mn， ＝2m2+n2， ∴阴影部分的面积为2m2+n2； （3），阴影部分的面积为2m2+n2，且S1＝4S2， ∴8m2+6mn+n2＝4（2m2+n2）＝8m2+4n2， 整理得：6mn＝3n2， 解得：n＝2m． 【点评】此题考查了列代数式，整式乘法的混合运算，涉及的知识有：多项式乘以多项式法则，合并同类项法则，认真观察图形，弄清题意是解本题的关键． 16．用4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b之间存在的数量关系是 　a＝2b　． 【分析】先用a、b的代数式分别表示S1＝a2+2b2，S2＝2ab﹣b2，再根据S1＝2S2，得a2+2b2＝2（2ab﹣b2），整理，得（a﹣2b）2＝0，所以a＝2b． 【解答】解：S1b（a+b）×2ab×2+（a﹣b）2＝a2+2b2， S2＝（a+b）2﹣S1＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2， ∵S1＝2S2， ∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2）， 整理，得（a﹣2b）2＝0， ∴a﹣2b＝0， ∴a＝2b． 故答案为：a＝2b． 【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 三．解答题（共7小题，共52分） 17．（1）计算：（﹣a2）3+a2•a3+a8÷（﹣a2）； （2）已知5x＝18，5y＝3，求5x﹣2y的值． 【分析】（1）先根据同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除计算，再合并，即可求解； （2）根据同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算计算，即可求解． 【解答】解：（1）（﹣a2）3+a2⋅a3+a8÷（﹣a2） ＝﹣a6+a5﹣a6 ＝﹣2a6+a5； （2）∵5x＝18，5y＝3， ∴5x﹣2y＝5x÷52y＝5x÷（5y）2＝18÷32＝2． 【点评】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除，同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．因式分解： （1）a2b﹣10ab+25b； （2）4a2（a﹣b）﹣（a﹣b）． 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：（1）a2b﹣10ab+25b ＝b（a2﹣10a+25） ＝b（a﹣5）2； （2）4a2（a﹣b）﹣（a﹣b） ＝（a﹣b）（4a2﹣1） ＝（a﹣b）（2a+1）（2a﹣1）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法法是因式分解的关键． 19．（6分）已知A＝3x2+ax﹣3y+2，B＝bx2x﹣2y+4，且A与B的3倍的差的值与x的取值无关，求代数式﹣ab[a（4b﹣a+6）]﹣3（2ab2a2bab）的值． 【分析】由A与B的3倍的差的值与x的取值无关可求出a、b的值，将所求式子化简后，再代入即可得到答案． 【解答】解：∵A﹣3B＝3x2+ax﹣3y+2﹣3（bx2x﹣2y+4） ＝3x2+ax﹣3y+2﹣3bx2+2x+6y﹣12 ＝（3﹣3b）x2+（a+2）x+3y﹣10， ∵A与B的3倍的差的值与x的取值无关， ∴3﹣3b＝0，a+2＝0， ∴b＝1，a＝﹣2， ﹣ab[a（4b﹣a+6）]﹣3（2ab2a2bab） ＝﹣a2b﹣3ab﹣2ab2a2b﹣6ab2a2b+ab ＝﹣2ab﹣8ab2， 把b＝1，a＝﹣2代入得： 原式＝﹣2×（﹣2）×1﹣8×（﹣2）×12 ＝4+16 ＝20． 【点评】本题考查整式化简及求值，涉及非负数和为0，代数式的值与x无关等知识，解题的关键是掌握去括号、合并同类项的法则． 20．（1）当mn＝﹣4，m+n＝3，求m﹣n的值． （2）已知，求x3y+xy3+2x2y2的值． 【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）理由因式分解进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵mn＝﹣4，m+n＝3， ∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn ＝32﹣4×（﹣4） ＝9+16 ＝25， ∴m﹣n＝±5， ∴m﹣n的值为±5； （2）∵， ∴x3y+xy3+2x2y2＝xy（x2+y2+2xy） ＝xy（x+y）2 22 ＝3， ∴x3y+xy3+2x2y2的值3． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是解题的关键． 21．阅读材料：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴m＝﹣3，n＝3． 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题： （1）已知x2+2y2﹣2xy﹣10y+25＝0，请直接写出x和y的值． （2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣6b+10＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据示例，原式可化为（x﹣y）2+（y﹣5）2＝0，从而得到结果； （2）利用配方法，可得到a＝1，b＝3，再利用在三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得到c的长度，从而判断出三角形的形状． 【解答】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy﹣10y+25＝0， ∴x2﹣2xy+y2+y2﹣10y+25＝0， ∴（x﹣y）2+（y﹣5）2＝0， ∴x﹣y＝0，y﹣5＝0， ∴x＝5，y＝5； （2）∵a2+b2﹣2a﹣6b+10＝0， ∴a2﹣2a+1+b2﹣6b+9＝0， ∴（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣3＝0， ∴a＝1，b＝3， ∴3﹣1＜c＜3+1， ∴2＜c＜4， ∵c是正整数， ∴c＝3， ∴a＝1，b＝3，c＝3， ∴△ABC的形状是等腰三角形． 【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法的变形过程是解题的关键． 22．一个三位或者三位以上的整数，从左到右依次分割成三个数，记最左边的数为a，最右边的数为b，中间的数记为m，若满足m＝a2+b2，我们就称该整数为“空谷”数．例如：对于整数282．∵22+22＝8，∴282是一个“空谷”数，又例如：对于整数121451，∵122+12＝145，∴121451也是一个“空谷”数．满足m＝2ab，我们就称该整数为“幽兰”数；例如：对于整数481，∵2×4×1＝8，∴481是一个“幽兰”数，又例如：对于整数13417，∵2×1×17＝34，∴13417是一个“幽兰”数． （1）若一个三位整数十位数字为9，且为“空谷”数，则该三位数为 　390　；若一个四位整数为“幽兰”数，且中间的数为40，则该四位数为 　4405或5404　； （2）若是一个“空谷”数，是一个“幽兰”数，求a2﹣b2的值． （3）若一个整数既是“空谷”数，又是“幽兰”数，我们就称该整数为“空谷幽兰”数．请写出所有的四位“空谷幽兰”数． 【分析】（1）根据“空谷”数，“幽兰”数的特点进行分析并解答即可； （2）据题意可得：a2+b2＝586，2ab＝570，从而可求得a+b与a﹣b的值，进而可求a2﹣b2的值； （3）由题意可得：a2+b2＝2ab，整理可得a＝b，再由这个数是四位数，分析可得出结果． 【解答】解：（1）∵这个三位数是“空谷”数，且十位数字为9， ∴a2+b2＝9， ∴有，（不符合题意）， ∴这个三位数是390； ∵这个四位数是“幽兰”数，且中间数为40， ∴2ab＝40，则ab＝20， ∴有，，（不符合题意），（不符合题意）， ∴这个四位数是：4405或5404； 故答案为：390；4405或5404； （2）∵是一个“空谷”数，是一个“幽兰”数， ∴a2+b2＝586，2ab＝570， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝586+570＝1156，则a+b＝34， （a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝586﹣570＝16，则a﹣b＝±4， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝34×（±4）＝±136； （3）由题意得：，则有a2+b2＝2ab，整理得：（a﹣b）2＝0，则有a＝b； ∵这个整数是一个四位数， ∴1≤a≤9，1≤b≤9，中间数是两位数， 则有：a＝b＝1时，这个四位数是1021； a＝b＝2时，这个四位数是2082； a＝b＝3时，这个四位数是3183； a＝b＝4时，这个四位数是4324； a＝b＝5时，这个四位数是5505； a＝b＝6时，这个四位数是6726； a＝b＝7时，这个四位数是7987． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解答的关键是理解清楚题意，灵活运用因式分解进行解答． 23．（6分）阅读理解： 若x满足（50﹣x）（x﹣40）＝20，求（50﹣x）2+（x﹣40）2的值． 解：设50﹣x＝a，x﹣40＝b， 则（50﹣x）（x﹣40）＝ab＝20，a+b＝（50﹣x）+（x﹣40）＝10， ∴（50﹣x）2+（x﹣40）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×20＝60． 解决问题 （1）若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝150，则（30﹣x）2+（x﹣10）2＝　100　； （2）若x满足（x﹣2022）2+（x﹣2020）2＝204，求（x﹣2022）（x﹣2020）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为50平方单位，则图中阴影部分的面积和为 　116　平方单位． 【分析】（1）根据题意设30﹣x＝a，x﹣10＝b，由已知可得（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝150，即可得出a+b＝（3﹣x）+（x﹣10）＝20，则可得（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入计算即可得出答案； （2）根据题意设x﹣2022＝a，x﹣2020＝b，由已知可得（x﹣2022）2+（x﹣2020）2＝a2+b2＝204，则可得a﹣b＝（x﹣2022）﹣（x﹣2020）＝﹣2，即（x﹣2022）（x﹣2020）＝ab[（a﹣b）2﹣（a2+b2代入计算即可得出答案； （3）根据题意CF＝CD﹣DF＝10﹣x，CE＝BC﹣BE＝6﹣x，设10﹣x＝a，6﹣x＝b，由长方形CEPF的面积为50平方单位可得（10﹣x）（6﹣x）＝ab＝50，则a﹣b＝（10﹣x）﹣（6﹣x）＝4，阴影部分面积由两个边长为10﹣x和6﹣x的正方形组成，即S阴＝（10﹣x）2+（6﹣x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，代入计算即可得出答案． 【解答】解：（1）设30﹣x＝a，x﹣10＝b， 则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝150，a+b＝（3﹣x）+（x﹣10）＝20， ∴（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×150＝100； 故答案为：100； （2）设x﹣2022＝a，x﹣2020＝b， 则（x﹣2022）2+（x﹣2020）2＝a2+b2＝204，a﹣b＝（x﹣2022）﹣（x﹣2020）＝﹣2， ∴（x﹣2022）（x﹣2020）＝ab[（a2+b2）﹣（a﹣b）2][204﹣（﹣2）2]＝100； （3）∵CF＝CD﹣DF＝10﹣x，CE＝BC﹣BE＝6﹣x， 设10﹣x＝a，6﹣x＝b， ∴（10﹣x）（6﹣x）＝ab＝50， a﹣b＝（10﹣x）﹣（6﹣x）＝4， S阴＝（10﹣x）2+（6﹣x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×50＝116， ∴图中阴影部分的面积为116平方单位． 故答案为：116． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变式应用进行求解是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$