第5章三角函数（数学思想方法+高考真题精讲+核心素养提升+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

第5章三角函数 （数学思想方法+高考真题精讲+核心素养提升+过关检测） 知识点一、角与弧度 1、任意角的定义 （1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 （2）角的表示： ①始边：射线的起始位置． ②终边：射线的终止位置． ③顶点：射线的端点O． ④记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． （3）角的分类： ①正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； ③零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角 （4）角的加法 对于两个任意角α，β，将角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角称为α与β的和，记作α＋β；射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角.角α的相反角记为－α，于是α－β＝α＋(－β). 2、判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可. 3、终边相同的角、象限角与其集合表示 (1)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和. (2)象限角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。 (3)象限角的集合表示 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 4、轴线角及其集合表示 (1)轴线角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。 (2)轴线角的集合表示 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 5、终边相同的角解题注意点 (1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值. (2)求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并. 注：终边相同的角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 提醒：k∈Z，即k为整数这一条件不可少． 6、象限角的判定方法 (1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限． (2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式； 第二步，判断β的终边所在的象限； 第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限． 提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”． 7、表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界. 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合. 8、倍角、分角所在象限的判定思路 (1)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况. (2)已知角α终边所在的象限，确定终边所在的象限，分类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2；…；k被n除余n－1.然后方可下结论.几何法依据数形结合思想，简单直观. 9、弧度制 (1)角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. (2)弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. (3)弧度制与角度制的区别与联系 区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； （2）定义不同. 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值. 10、角度制与弧度制之间的互化 (1)角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 11、角度制与弧度制互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算. (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·°；n°＝n·. 12、弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 13、扇形弧长公式及面积公式的应用类问题的解决方法 首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制.一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π).其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意： (1)看清角的度量制，选用相应的公式； (2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题. 14、角与实数的关系 在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系. 如图所示： 15、对于角度制和弧度制，在具体的应用中的书写规范: 角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)或α＝2kπ＋(k∈Z)，β＝2kπ＋(k∈Z)或β＝k·360°＋60°(k∈Z). 知识点二、任意角的三角函数 1、三角函数的定义 (1)定义1：一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点距离是r，则r＝；此时，点P是角α的终边与半径为r的圆的交点.则： ①比值叫作α的正弦，记作sinα，即sin α＝； ②比值叫作α的余弦，记作cosα，即cos α＝； ③比值(x≠0)叫作α的正切，记作tanα，即tan α＝(x≠0). (2)定义2：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则： 叫做的正弦函数，记作.即； 叫做的余弦函数，记作.即； 叫做的正切函数，记作.即。 (3)三角函数定义域 正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数： 2、三角函数的符号 【口诀记忆】 “一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 其含义是在第一象限各三角函数值全为正， 在第二象限只有正弦值为正，在第三象限 只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正． 3、三角函数线 如下图所示： (1)正弦线：角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线； (2)余弦线：有向线段OM即为余弦线 (3)正切线：过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线 4、特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 －1 1 0 - - - －1 0 0 1 －1 0 5、已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值． (2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝．当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便． (3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 6、已知特殊角α，求三角函数值的方法 (1)先设出角α的终边与单位圆交点坐标，由锐角三角形的定义结合勾股定理求出该点的坐标． (2)利用三角函数的定义，求出α的三角函数值(此时P到原点的距离r＝1)． 7、三角函数值符号的判断问题： (1)由三角函数的定义sin α＝，cos α＝，tan α＝(r>0)可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键. (2)由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求. (3)已知正弦或余弦符号时，不要忘记终边可能在坐标轴上. 8、利用三角函数线解三角不等式的方法 (1)正弦、余弦型不等式的解法,对于sin x≥b，cos x≥a，sin x≤b，cos x≤a，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围. (2)正切型不等式的解法,对于tan x≥c，取点（1，c），连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围. 知识点三、同角三角函数的关系 1、同角三角函数关系 （1）平方关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 （2）商数关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 注意以下三点： （1）“同角”有两层含义： 一是“角相同”， 二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关， 如成立，但是就不一定成立． （2）是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， 对一切恒成立，而仅对成立． 2、求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 3、已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若关于sin α，cos α的二次齐次式无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值． 4、sin α±cos α型的求值问题 （1）已知sin θ±cos θ求sin θcos θ，只需平方便可． （2）已知sin θcos θ求sin θ±cos θ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sin θ±cos θ的正负． 注；已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有： (1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； (2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α； (3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (4)(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α. 上述三角恒等式告诉我们，已知sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α中的任何一个，则另两个式子的值均可求出. 5、化简三角函数式的常用方法 （1）切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简. （2）对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.,3对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的. （3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的． 提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象. 6、三角函数恒等式证明 （1）在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tan α，求关于sin α，cos α的齐次式的问题)；“1”的代换(1＝sin2α＋cos2α)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用． （2）利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的方法非常多，其主要方法有： ①从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． ②左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子． ③化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异． ④变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等． ⑤比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”． 知识点四、三角函数的诱导公式 1、诱导公式 （1）诱导公式（一~六） 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二： ，，，其中 诱导公式三： ，，，其中 诱导公式四：，，，其中 诱导公式五：，，其中 诱导公式六：，，其中 （2）诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”， 意思是说角(为常整数)的三角函数值： 当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变， 然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号. 2、三角函数式化简的常用方法 (1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式. ②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数. (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. 3、用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 4、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． （3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 5、利用诱导公式求值与求解解题策略 （1）条件求值问题的策略 ①条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． ②将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． （2）给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角． （3）观察互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． 6、利用诱导公式证明恒等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子. (3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异. 7、诱导公式在三角形中的应用 （1）涉及三角形中的化简求值或证明问题，常以“A＋B＋C＝π”为切入点，充分结合三角函数的诱导公式求解． （2）在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos；cos＝sin． 知识点五、三角函数的周期性 1.周期函数 条件 ①函数f(x)的定义域为A， ②如果存在一个非零常数T， ③对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，且f(x＋T)＝f(x) 结论 函数f(x)叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期 2.最小正周期 条件 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数 结论 这个最小的正数叫作f(x) 的最小正周期 3.正弦、余弦、正切函数的周期性 函数 y＝Asin(ωx＋φ) y＝Acos(ωx＋φ) y＝Atan(ωx＋φ) 周期 T＝ T＝ T＝ 条件 A≠0，ω>0，A，ω，φ为常数 注：若函数f(x)的周期为T，则kT，k∈N*也是f(x)的周期 4.求三角函数周期的方法 (1)定义法，即利用周期函数的定义求解. (2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. 注：当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值. 知识点六、三角函数的图象与性质 1.正（与）弦函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ,,,, ,,,, 正（余）弦曲线 正（余）弦函数的图象叫做正（余）弦曲线 2.“五点法”作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象时，其步骤如下： (1)列表：取x＝0，，π，，2π； (2)描点：将表中所对应的点(x，y)标在坐标平面内； (3)连线：用平滑的曲线将所描的点连接起来. 在连线过程中要注意曲线的“凸性”. 3.用三角函数图象解三角方程或不等式的方法 (1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集； (3)根据公式一写出方程或不等式的解集.同时注意区间端点的取舍 4.正（余）弦函数的性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 5.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法 把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间.若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间. 注：用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式 6.利用正弦、余弦函数的单调性比较大小 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 7.求三角函数值域或最值的常用方法 (1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性求出y＝sin t的最值(值域). (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值). (3)对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论. 8.正切函数的图象与性质 （1）正切函数的图象 （2）正切函数的性质 ①定义域： ②值域：R ③周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 ④奇偶性：正切函数是奇函数，即 ⑤单调性：在开区间内，函数单调递增 9.正切函数的定义域、值域问题 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线. (2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解. 10.求正切函数的单调区间 y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 利用正切函数的单调性比较大小 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. 知识点七、函数y＝Asin(ωx＋φ) 1、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 注：用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关键是抓住五个关键点，即三个“平衡点”(即ωx＋φ分别取0，π，2π时x所对应的点)、一个“波峰点”、一个“波谷点”.同时也要注意“五点法”的逆用，即由y＝Asin(ωx＋φ)的图象反过来确定ωx＋φ的值. 2、A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响 （1）A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. （2）φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. 3、ω决定了函数的周期 注：在函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，A，ω，φ为常数)中，A，ω，φ对函数图象的影响： A影响函数的最值；ω影响函数的周期；φ影响函数图象的左右平移. 3、三角函数图象变换 （1）振幅变换 要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． （2）平移变换 要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． （3）周期变换 要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． （4）函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 4、三角函数图象变换中的三个注意点 （1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 （2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； （3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 5、三角函数图象平移变换问题的分类及策略 (1)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的函数解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行. (2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离. 注：三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点： (1)两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和，但平移方向是一致的. (2)虽然两种平移单位长度不同，平移时平移的对象已有变化，但得到的结果是一致的. 6、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 名称 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称中心 (k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数 单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间； 由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间 7、已知图象求函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法 法一：如果从图象可确定最值和周期，则可直接确定函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ. 法二：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式. 法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数. 8、研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质的两种方法 (1)客观题可用验证法：若x＝θ为对称轴，则f(θ)＝±A；若(θ，0)为对称中心，则f(θ)＝0；若[m，n]为函数的单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间. (2)主观题主要利用整体代换法，令ωx＋φ＝t，则原问题转化为研究y＝Asin t的性质. 知识点八、三角函数的应用 1、简谐运动 简谐运动(单摆、弹簧振子等)是一种周期运动，其运动规律可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋φ)，其中x表示时间，y表示相对于平衡位置的偏离； ①A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅； ②往复运动一次所需的时间T＝称为这个运动的周期； ③单位时间内往复运动的次数f＝＝称为运动的频率； ④ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相. 2、解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行： (1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论. (2)建立三角函数模型，将实际问题数学化. (3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解. (4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解. (5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案. 3、 三角函数解决实际问题的关键： 关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图起了关键的作用.解决这类题目的步骤如下： (1)搜集实际问题的数据，作出“散点图”； (2)观察散点图，用三角函数模型拟合散点图，得到函数模型； (3)通过图象或解析式研究函数的性质； (4)用得到的性质解决提出的实际问题. 4、建立函数模型的一般步骤 5、运用三角函数模型解决问题的几种类型 (1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． (2)由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． (3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 6、建立三角函数拟合模型的注意事项 (1)在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数． (2)在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题． (3)在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题． 一、数形结合思想 【例题1】（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数的部分图象如图所示，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数的图象，以及正弦函数的性质，求得的值，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得，所以，可得， 所以函数， 又由，可得， 因为，可得只有时满足题意，可得， 又因为，可得，所以. 故选：C. 【变式1】（20-21高一上·北京·期末）已知函数的部分图像如图所示，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可求，由可求得，由，可求得，从而可求得点的坐标. 【详解】解：由图像可知，， ， 又，的图像经过， ， 由于，所以， 点的坐标为， 故选：A. 【变式2】（22-23高一上·山东菏泽·期末）函数的部分图象如图所示，若、，且，则 .    【答案】 【分析】利用图象求出函数的解析式，求出、的取值范围，结合正弦型函数的对称性求出的值，由此可求得的值. 【详解】由图象可得，函数的最小正周期为， 所以，，则， 因为，且函数在附近单调递增， 所以，，则， 因为，所以，，则， 因为、，则，， 又因为，则，可得， 因此，. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式和单调递增区间； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）由三角函数图象首先得，，，进一步结合，，可得，由此可得函数表达式，由整体代入法列不等式组即可得单调递增区间； （2）由平方关系结合角的范围首先得，进一步由两角差的正弦公式即可求解. 【详解】（1）由图象得：，，所以， 所以，又由，， 可得，所以． 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为． （2）由，因为，可得，所以， 则 . 二、分类讨论思想 【例题2】（20-21高一上·安徽合肥·期末）已知函数的图象，给出以下四个论断 ①的图象关于直线对称        ②的图象的一个对称中心为 ③在区间上是减函数           ④可由向左平移个单位 以上四个论断中正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】利用代入检验法可判断①②③的正误，利用图象变换可判断④的正误. 【详解】，故的图象关于直线对称，故①正确. ，故的图象的对称中心不是，故②错误. ， 当，，而在为减函数， 故在为减函数，故③正确. 向左平移个单位后所得图象对应的解析式为， 当时，此函数的函数值为，而， 故与不是同一函数，故④错误. 故选：B. 【变式1】（22-23高一上·北京平谷·期末）已知三角形是边长为的等边三角形．如图，将三角形的顶点与原点重合．在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论： ①一个周期是； ②完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆； ③完成一个周期，顶点的轨迹长度是； ④完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是． 其中说法正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】D 【分析】依题意将沿着轴顺时针滚动，完成一个周期，得出点轨迹，由题目中“一个周期”的定义、轨迹形状、弧长公式、扇形面积公式进行计算即可. 【详解】 如上图，沿着轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下： 第一步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置，得到，此时顶点的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，即顶点由原点沿运动至位置； 第二步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置，得到，此时顶点的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，即顶点由沿运动至位置，落到轴，完成一个周期. 对于①，∵，∴一个周期，故①正确； 对于②，如图所示，完成一个周期，顶点的轨迹是和组成的曲线，不是半圆，故②错误； 对于③，由已知，，∴， ∴的弧长，的弧长， ∴完成一个周期，顶点的轨迹长度为，故③正确； 对于④，如图，完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的图形为扇形，扇形与的面积和，∵， ∴， ∵等边边长为，∴， ∴完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是，故④错误. ∴正确的说法为：①③. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分步解决点轨迹，第一步是绕点滚动得到，第二步是绕点滚动得到，再将两步得到的点轨迹合并，即可依次判断各个说法是否正确. 【变式2】（21-22高一上·四川资阳·期末）已知函数（）．给出以下结论： ①若，则函数的最小正周期为； ②若，则函数在区间上单调递增； ③若，函数的图象的对称轴方程为； ④若，，，则的最大值为； 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】对①由周期公式可直接判断；对②③，由整体法可判断；对④，结合图象特征可判断. 【详解】对①，若，则，故①正确； 对②，，当时，，，故②正确； 对③，若，，令，解得，故③错误； 对④，若，，，，则， 令，则，当时，，当时，，此时的最大值为，同理，当，经验证的最大值也为，故④正确. 故答案为：①②④ 【变式3】（23-24高一上·天津·期末）已知． (1)当时，求的值； (2)若的最小值为，求实数的值； (3)对任意的，不等式恒成立．求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用辅助角公式，化简函数，再代入求； （2）首先设，利用三角恒等变换，将函数表示成关于的二次函数，讨论对称轴，结合定义域求函数的最小值，列式求解； （3）根据（2）的结果，不等式参变分离为，在恒成立，转化为判断函数的单调性，求函数的最值，即可求解的取值范围. 【详解】（1）， 当时，； （2）设，则，， ，其对称轴为， 当，即时，的最小值为，则； 当，即时，的最小值为；则； 综上，或； （3）由，对所有都成立． 设，则， ，恒成立， ，，在恒成立， 当时，递减，则在递增， 时取得最大值 得， 所以存在符合条件的实数，且的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题的关键利用公式，从而利用换元法转化为关于的函数问题. 三、转化与化归思想 【例题3】（20-21高一·全国·课后作业）若， ，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】两式分别平方相加可得，利用两角差的余弦公式，化简整理，即可得结果. 【详解】由，， 得， ， 以上两式相加得， 所以， 故. 故选：A. 【变式1】（22-23高一上·重庆北碚·期末）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式、二倍角公式等知识求得正确答案. 【详解】， . ， 所以. 故选：B 【变式2】（21-22高一上·四川宜宾·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】首先根据余弦的和差公式，得出；然后利用二倍角公式可求出，从而结合诱导公式即可求出的值. 【详解】因为， 所以，即， 所以，即， 所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，且，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再利用诱导公式即可求出结果； （2）利用，再利用正弦的和差公式及，即可得出结果. 【详解】（1），且，则为第四象限角， 所以， 所以. （2）因为原式 . 四、整体思想 【例题4】（22-23高一上·云南·期末）已知点，，在函数的一个周期的图像上，其三个点的位置如图所示，则函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】点B，点C关于点D中心对称，求出点D坐标，AD为函数的半个周期，求出，由点在函数图像上得到函数解析式，利用整体代入法求单调递减区间. 【详解】由图，点B，点C关于点D中心对称，，故点， AD为函数的半个周期，所以，，故， 点在函数图像上，依题意有函数的图像向左平移个单位得到的图像， 故， 由，解得， 所以单调递减区间为，， 故选：C． 【变式1】（23-24高一上·全国·期末）已知函数（）的图象在区间上恰有一个最高点和一个最低点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体法，得到，再列出不等式组，分类讨论即可. 【详解】因为，所以， 则，则由题意得 则有，其中， 解得，其中， 时，，无解； 时，，解得； 时，，无解； 显然当，且，此时在正区间内，而在负区间内，两者无交集； 当，且，此时在负区间内，而在正区间内，两者无交集； 综上， 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用整体法得到，再结合余弦函数的图象与性质得到不等式组，解出范围，再对分类讨论即可. 【变式2】（23-24高一上·北京·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确序号有 . ①为奇函数； ②函数的图象关于点对称； ③在上单调递增； ④若函数在上没有零点，则. 【答案】②④ 【分析】根据图象先求解出的解析式，①：根据对应的解析式直接判断奇偶性；②：根据的取值是否为判断是否为对称中心；③：考虑时的函数值特点，然后作出判断；④：先得到的解析式，然后采用整体代换法结合正弦函数的性质求解出的取值范围. 【详解】依题意，可得，又，则，所以， 因为，所以， 所以，又，所以， 所以； 对于①，，显然是偶函数，故①错误； 对于②，，故函数的图象关于点对称，故②正确； 对于③，当时，，函数取得最大值， 所以在上不是单调增函数，故③错误； 对于④，因为，则， 因为，当时，， 因为在上没有零点， 可得，解得，故④正确， 故选：②④. 【变式3】（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据图象的最值可求得,根据周期可求得，继而利用图象上点求出的值； （2）求得函数的解析式后，整体代换，令，解出即可， 【详解】（1）因为， 由图象可知，, , 所以， 此时， 又图象过点， 所以， 故，又， 所以， 故，，. （2）由知，， 令 得 所以函数的单调递增区间为. 考点1：三角函数的概念、诱导公式和同角三角函数的基本关系 【例题5】（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 【变式1】（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2】（2016·全国·高考真题）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）= . 【答案】 【分析】由题求得θ的范围，结合已知求得cos（θ），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ）的值． 【详解】解：∵θ是第四象限角， ∴，则， 又sin（θ）， ∴cos（θ）． ∴cos（）＝sin（θ），sin（）＝cos（θ）． 则tan（θ）＝﹣tan（）． 故答案为． 【点睛】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题 【变式3】（2023·全国·高考真题）若，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 考点2：三角函数的图象和性质 【例题6】（2024·广东江苏·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 【变式1】（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 【变式2】（2021·全国·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则 . 【答案】 【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可. 【详解】由题意可得：， 当时，， 令可得：， 据此有：. 故答案为：. 【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求 【变式3】（2024·上海·高考真题）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可. （2）利用三角函数的性质求解参数即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以令， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，故， （2）由题意得，所以，可得， 当时，，，即，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以， 即，故. 考点3：三角恒等变换 【例题7】（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 . 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 【变式1】（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 【变式2】（2024·全国·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为： 【变式3】（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1). (2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，. 【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【详解】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 考点4：三角函数的综合问题 【例题8】（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】结合周期公式求出，得，再整体求出当时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 【变式1】（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 【变式2】（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 【变式3】（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下： 0 0 3 0 -3 0 根据表中数据，求： （1）实数，，的值； （2）该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1），，；（2）最大值是3，最小值是. 【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解，，的值即可. （2）首先根据（1）知：，根据题意得到，从而得到函数的最值. 【详解】（1）由表可知，则， 因为，，所以，解得，即， 因为函数图象过点，则，即， 所以，，解得，， 又因为，所以. （2）由（1）可知. 因为，所以， 因此，当时，即时，， 当时，即时，. 所以该函数在区间上的最大值是3，最小值是. 一、三角函数与数学文化 【例题9】（22-23高一上·江苏南京·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（    ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可. 【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，，解得. 故选：C 【变式1】（23-24高一上·云南德宏·期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积×（弦×矢＋矢）．弧田如图，由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆弧为，半径为4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为（    ）（结果取整数，参考数据：）    A．4平方米 B．5平方米 C．8平方米 D．9平方米 【答案】D 【分析】根据弧田面积公式求得正确答案. 【详解】依题意，圆弧所对圆心角为， 所以，“矢”等于， “弦”等于， 所以弧田面积约为平方米. 故选：D 【变式2】（21-22高一上·山东临沂·期末）2020年12月4日，我国科学家宣布构建了76个光子（量子比特）的量子计算原型机“九章”．“九章”得名于我国古代的数学名著《九章算术》，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.设，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，将长度设为尺，则长度为尺，利用勾股定理求出得各边长，得到的值，再利用二倍角公式即可求解. 【详解】根据题意得，在中，，， 设长度为尺，则长度为尺， 所以，即，解得，即， 所以，又因为， 所以或， 因为，所以，所以. 故答案为：. 【变式3】（20-21高一上·江苏宿迁·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. （1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？ 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）令圆弧的半径为，由定义知求，进而由弧田面积，即可求其面积； （2）由题意得，扇形面积，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时的值即可. 【详解】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，， ∴，即，得， ∴弧田面积，而， ∴. （2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积， ∴当且仅当时等号成立. ∴当时，该扇形面积最大. 【点睛】关键点点睛： （1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可； （2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积关于圆心角的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件. 2、 三角函数的新定义问题 【例题10】（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）设是定义在上的奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由奇函数的定义可得，代入计算即可得到结果. 【详解】因为是定义在上的奇函数，则， 即， ∴， ∴，则， 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·北京东城·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合偶函数的对称性可确定时函数性质，然后结合分式不等式的求法可求． 【详解】因为是定义在,上的偶函数，当时，单调递减，， 所以时，函数单调递增，, 所以的解集,,，的解集， 当时，的解集,,， 时的解集,,， 则不等式可转化为或， 解得或或． 故选：C 【变式2】．（24-25高一上·全国·单元测试）设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，根据同角三角函数的基本关系转化为的方程，求出，即可得到点的纵坐标，从而得解. 【详解】设点的坐标为，则可设点的坐标为，点的坐标为， 联立，消去得，整理得， 即，即， 所以或（舍去）， 即， 所以点的纵坐标， 所以线段的长为． 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数是定义在上的函数，满足，若，，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】利用抽象函数的性质得到周期性，结合给定条件建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由，可得， 则，故函数的周期为4， 则. 又因为，所以，解得，故. 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知余弦函数过点，则m的值为（    ） A．0 B．－1 C． D． 【答案】C 【分析】由余弦函数定义以及特殊三角函数值即可求解. 【详解】. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简已知式和所求式，代入计算即得. 【详解】由可得，，即， 则. 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数关系中平方和关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以． 故选：B 4．（23-24高一上·安徽·期末）若，则为（    ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 【答案】D 【分析】根据三角函数在各个象限的符号判断即可. 【详解】因为，所以同号， 在第一象限时， 在第四象限时， 所以是第一、四象限角，而二、三象限两函数值异号. 故选：D. 5．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】切化弦，结合两角差的正弦及角的范围即可求解. 【详解】 可得 即: 所以 又， ， ，即. 故选：C 6．（24-25高一上·山东青岛·期中）在周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用半径表示出面积，结合函数知识得结论. 【详解】设扇形半径为，则扇形面积为 ， 所以时，取得最大值. 故选：C 7．（23-24高一上·广东湛江·期末）将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【分析】设平移距离为，结合三角函数的图象变换，求得，结合选项，即可求解. 【详解】设平移距离为，将函数图象上的各点的横坐标平移个单位， 可得， 因为，则， 即，当时，可得，所以D正确. 故选：D． 8．（23-24高一上·山东济宁·期末）若对任意，方程有解，则实数的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先求方程左侧函数的值域，后解不等式求参数范围即可. 【详解】因为，可知，所以． 又方程有解，所以． 所以，， 故选：A． 二、多选题 9．（23-24高一上·浙江宁波·期末）下列式子化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式的逆用可判断选项A；利用辅助角公式可判断选项B；利用诱导公式及二倍角正弦公式可判断选项C；利用及两角差的正切公式可判断选项D. 【详解】对于选项A：因为 ，故选项A错误； 对于选项B： ，故选项B正确； 对于选项C：因为，故选项C正确； 对于选项D：因为，故选项D错误. 故选：BC. 10．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由已知两边平方可求得，可判断AB；进而判断可得，， 根据计算可判断CD. 【详解】因为，所以， 即，所以，故A正确，B错误； 又，所以，， 所以，故C正确，D错误． 故选：AC． 11．（24-25高一上·全国·课堂例题）（多选）下列叙述正确的有（    ） A．，的图象关于点成中心对称 B．，的图象关于直线成轴对称 C．，的图象在时达到最高点 D．正弦、余弦函数的图象不超过直线和所夹的范围 【答案】ABD 【分析】分别画出函数，，，的图象，结合图象即可得到答案． 【详解】分别画出函数，，，的图象如下： 由图象观察可知, 对于A，，的图象关于点成中心对称，故A正确； 对于B，，的图象关于直线成轴对称, 故B正确； 对于C，，的图象在时，图象与轴相交，因此不是最高点， 故C不正确； 对于D，正弦、余弦函数的图象都在直线和所夹的范围内，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·随堂练习）化简： . 【答案】 【分析】利用诱导公式化简可得答案. 【详解】. 故答案为： 13．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）函数在区间上的单调减区间是 . 【答案】和 【分析】利用正弦函数的性质可知的单调增区间为，，故可得，从而求出函数的单调减区间，最后取特殊值便可求得上的单调减区间. 【详解】函数， 令， 解得， 即函数的单调减区间为： 令得，；令得， 所以在区间上的单调减区间为和， 故答案为：和. 14．（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于x的方程的两个根分别为和，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，再对式子进行化简即可求值. 【详解】由题意得 所以． 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用同角的正弦余弦的平方和等于1，可证左边，利用分式性质可得右边，可得等式成立. 【详解】因为左边 ， 右边． 所以． 16．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数 (1)已知函数的周期是，求的值. (2)此函数定义域在区间上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由最小正周期的公式计算即可； （2）由，求出的范围，然后由函数定义域在区间上的值域为，分析求解即可. 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，所以. （2）当时，， 因为函数在区间上的值域为， 所以， 解得. 17．（22-23高一上·河北保定·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)将的图象向右平移个单位得到函数的图象，求在上的值域． 【答案】(1)递减区间为；递增区间为. (2). 【分析】（1）利用整体代入法，结合余弦函数单调性求解可得； （2）根据平移变换求出的解析式，使用换元法，利用余弦函数性质求解即可. 【详解】（1）由，解得； 由，解得. 因此的单调递减区间为， 单调递增区间为. （2）将的图象向右平移个单位得到 ， 令，当，则，   因此， 由的性质得， 因此，即的值域为. 18．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1)，，； (2). 【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果； （2）利用诱导公式对原式进行化简，代入，的值，即可求出结果. 【详解】（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义知 ， ， （2）由诱导公式，得 . 19．（20-21高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数（，，）的图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. (1)求函数的单调减区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数在内恰有6个零点，求的值. 【答案】(1)，；； (2) (3)或. 【分析】（1）根据所给图象求出函数的解析式，再列出关于x的不等式即可得解； （2）由（1）结合给定图象变换求出的解析式，再求出并作变形即可得解； （3）求出并令，将转化为关于t的一元二次方程，按根所在区间讨论得解. 【详解】（1）观察图象得，最小正周期为T， ，则， 而，则，， 又，于是得， 所以， 由，，得，， 所以单调递减区间为，． （2）由题意得， ， 当，即时，取最小值， 所以的最小值为； （3）依题意，， 令，可得， 令，得， 由于，即方程必有两个不同的实数根，， 且，， 由知、异号，不妨设，， ①若，则，，无解， 而在内有四个零点，不符题意； ②若，则，在内有2个零点， 而在内有4个零点， 即在内有6个零点，符合题意， 此时，得； ③若，，在有4个零点， 则在内应恰有2个零点，必有， 此时，，解得， 综上所述有或． 限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章三角函数 （数学思想方法+高考真题精讲+核心素养提升+过关检测） 知识点一、角与弧度 1、任意角的定义 （1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 （2）角的表示： ①始边：射线的起始位置． ②终边：射线的终止位置． ③顶点：射线的端点O． ④记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． （3）角的分类： ①正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； ③零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角 （4）角的加法 对于两个任意角α，β，将角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角称为α与β的和，记作α＋β；射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角.角α的相反角记为－α，于是α－β＝α＋(－β). 2、判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可. 3、终边相同的角、象限角与其集合表示 (1)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和. (2)象限角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。 (3)象限角的集合表示 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 4、轴线角及其集合表示 (1)轴线角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。 (2)轴线角的集合表示 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 5、终边相同的角解题注意点 (1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值. (2)求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并. 注：终边相同的角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 提醒：k∈Z，即k为整数这一条件不可少． 6、象限角的判定方法 (1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限． (2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式； 第二步，判断β的终边所在的象限； 第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限． 提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”． 7、表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界. 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合. 8、倍角、分角所在象限的判定思路 (1)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况. (2)已知角α终边所在的象限，确定终边所在的象限，分类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2；…；k被n除余n－1.然后方可下结论.几何法依据数形结合思想，简单直观. 9、弧度制 (1)角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. (2)弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. (3)弧度制与角度制的区别与联系 区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； （2）定义不同. 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值. 10、角度制与弧度制之间的互化 (1)角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 (2)一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 11、角度制与弧度制互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算. (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·°；n°＝n·. 12、弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 13、扇形弧长公式及面积公式的应用类问题的解决方法 首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制.一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π).其次，利用α，l，R，S四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意： (1)看清角的度量制，选用相应的公式； (2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题. 14、角与实数的关系 在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系. 如图所示： 15、对于角度制和弧度制，在具体的应用中的书写规范: 角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)或α＝2kπ＋(k∈Z)，β＝2kπ＋(k∈Z)或β＝k·360°＋60°(k∈Z). 知识点二、任意角的三角函数 1、三角函数的定义 (1)定义1：一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点距离是r，则r＝；此时，点P是角α的终边与半径为r的圆的交点.则： ①比值叫作α的正弦，记作sinα，即sin α＝； ②比值叫作α的余弦，记作cosα，即cos α＝； ③比值(x≠0)叫作α的正切，记作tanα，即tan α＝(x≠0). (2)定义2：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则： 叫做的正弦函数，记作.即； 叫做的余弦函数，记作.即； 叫做的正切函数，记作.即。 (3)三角函数定义域 正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数： 2、三角函数的符号 【口诀记忆】 “一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 其含义是在第一象限各三角函数值全为正， 在第二象限只有正弦值为正，在第三象限 只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正． 3、三角函数线 如下图所示： (1)正弦线：角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线； (2)余弦线：有向线段OM即为余弦线 (3)正切线：过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段AT即为正切线 4、特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 －1 1 0 - - - －1 0 0 1 －1 0 5、已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值． (2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝．当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便． (3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 6、已知特殊角α，求三角函数值的方法 (1)先设出角α的终边与单位圆交点坐标，由锐角三角形的定义结合勾股定理求出该点的坐标． (2)利用三角函数的定义，求出α的三角函数值(此时P到原点的距离r＝1)． 7、三角函数值符号的判断问题： (1)由三角函数的定义sin α＝，cos α＝，tan α＝(r>0)可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键. (2)由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求. (3)已知正弦或余弦符号时，不要忘记终边可能在坐标轴上. 8、利用三角函数线解三角不等式的方法 (1)正弦、余弦型不等式的解法,对于sin x≥b，cos x≥a，sin x≤b，cos x≤a，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围. (2)正切型不等式的解法,对于tan x≥c，取点（1，c），连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围. 知识点三、同角三角函数的关系 1、同角三角函数关系 （1）平方关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 （2）商数关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 注意以下三点： （1）“同角”有两层含义： 一是“角相同”， 二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关， 如成立，但是就不一定成立． （2）是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， 对一切恒成立，而仅对成立． 2、求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 3、已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若关于sin α，cos α的二次齐次式无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值． 4、sin α±cos α型的求值问题 （1）已知sin θ±cos θ求sin θcos θ，只需平方便可． （2）已知sin θcos θ求sin θ±cos θ时需开方，此时要根据已知角θ的范围，确定sin θ±cos θ的正负． 注；已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有： (1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； (2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α； (3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (4)(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α. 上述三角恒等式告诉我们，已知sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α中的任何一个，则另两个式子的值均可求出. 5、化简三角函数式的常用方法 （1）切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简. （2）对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.,3对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的. （3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的． 提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象. 6、三角函数恒等式证明 （1）在计算、化简或证明三角恒等式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tan α，求关于sin α，cos α的齐次式的问题)；“1”的代换(1＝sin2α＋cos2α)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用． （2）利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的方法非常多，其主要方法有： ①从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简． ②左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子． ③化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异． ④变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等． ⑤比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”． 知识点四、三角函数的诱导公式 1、诱导公式 （1）诱导公式（一~六） 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二： ，，，其中 诱导公式三： ，，，其中 诱导公式四：，，，其中 诱导公式五：，，其中 诱导公式六：，，其中 （2）诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”， 意思是说角(为常整数)的三角函数值： 当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变， 然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号. 2、三角函数式化简的常用方法 (1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式. ②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数. (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. 3、用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 4、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． （3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 5、利用诱导公式求值与求解解题策略 （1）条件求值问题的策略 ①条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． ②将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． （2）给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角． （3）观察互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． 6、利用诱导公式证明恒等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子. (3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异. 7、诱导公式在三角形中的应用 （1）涉及三角形中的化简求值或证明问题，常以“A＋B＋C＝π”为切入点，充分结合三角函数的诱导公式求解． （2）在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos；cos＝sin． 知识点五、三角函数的周期性 1.周期函数 条件 ①函数f(x)的定义域为A， ②如果存在一个非零常数T， ③对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，且f(x＋T)＝f(x) 结论 函数f(x)叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期 2.最小正周期 条件 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数 结论 这个最小的正数叫作f(x) 的最小正周期 3.正弦、余弦、正切函数的周期性 函数 y＝Asin(ωx＋φ) y＝Acos(ωx＋φ) y＝Atan(ωx＋φ) 周期 T＝ T＝ T＝ 条件 A≠0，ω>0，A，ω，φ为常数 注：若函数f(x)的周期为T，则kT，k∈N*也是f(x)的周期 4.求三角函数周期的方法 (1)定义法，即利用周期函数的定义求解. (2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. 注：当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值. 知识点六、三角函数的图象与性质 1.正（与）弦函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ,,,, ,,,, 正（余）弦曲线 正（余）弦函数的图象叫做正（余）弦曲线 2.“五点法”作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象时，其步骤如下： (1)列表：取x＝0，，π，，2π； (2)描点：将表中所对应的点(x，y)标在坐标平面内； (3)连线：用平滑的曲线将所描的点连接起来. 在连线过程中要注意曲线的“凸性”. 3.用三角函数图象解三角方程或不等式的方法 (1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集； (3)根据公式一写出方程或不等式的解集.同时注意区间端点的取舍 4.正（余）弦函数的性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 5.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法 把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间.若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间. 注：用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式 6.利用正弦、余弦函数的单调性比较大小 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 7.求三角函数值域或最值的常用方法 (1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性求出y＝sin t的最值(值域). (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值). (3)对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论. 8.正切函数的图象与性质 （1）正切函数的图象 （2）正切函数的性质 ①定义域： ②值域：R ③周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 ④奇偶性：正切函数是奇函数，即 ⑤单调性：在开区间内，函数单调递增 9.正切函数的定义域、值域问题 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线. (2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解. 10.求正切函数的单调区间 y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 利用正切函数的单调性比较大小 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. 知识点七、函数y＝Asin(ωx＋φ) 1、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 注：用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关键是抓住五个关键点，即三个“平衡点”(即ωx＋φ分别取0，π，2π时x所对应的点)、一个“波峰点”、一个“波谷点”.同时也要注意“五点法”的逆用，即由y＝Asin(ωx＋φ)的图象反过来确定ωx＋φ的值. 2、A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响 （1）A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. （2）φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. 3、ω决定了函数的周期 注：在函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，A，ω，φ为常数)中，A，ω，φ对函数图象的影响： A影响函数的最值；ω影响函数的周期；φ影响函数图象的左右平移. 3、三角函数图象变换 （1）振幅变换 要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． （2）平移变换 要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． （3）周期变换 要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． （4）函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 4、三角函数图象变换中的三个注意点 （1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； 例如：或 （2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； （3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 5、三角函数图象平移变换问题的分类及策略 (1)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的函数解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行. (2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离. 注：三角函数图象变换的法一(先平移后伸缩)和法二(先伸缩后平移)需要注意以下两点： (1)两种变换中平移的单位长度不同，分别是|φ|和，但平移方向是一致的. (2)虽然两种平移单位长度不同，平移时平移的对象已有变化，但得到的结果是一致的. 6、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质 名称 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称中心 (k∈Z) 对称轴 x＝＋(k∈Z) 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数 单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间； 由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间 7、已知图象求函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法 法一：如果从图象可确定最值和周期，则可直接确定函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ. 法二：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式. 法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，根据图象平移规律可以确定相关的参数. 8、研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质的两种方法 (1)客观题可用验证法：若x＝θ为对称轴，则f(θ)＝±A；若(θ，0)为对称中心，则f(θ)＝0；若[m，n]为函数的单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间. (2)主观题主要利用整体代换法，令ωx＋φ＝t，则原问题转化为研究y＝Asin t的性质. 知识点八、三角函数的应用 1、简谐运动 简谐运动(单摆、弹簧振子等)是一种周期运动，其运动规律可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋φ)，其中x表示时间，y表示相对于平衡位置的偏离； ①A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅； ②往复运动一次所需的时间T＝称为这个运动的周期； ③单位时间内往复运动的次数f＝＝称为运动的频率； ④ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相. 2、解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行： (1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论. (2)建立三角函数模型，将实际问题数学化. (3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解. (4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解. (5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案. 3、 三角函数解决实际问题的关键： 关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图起了关键的作用.解决这类题目的步骤如下： (1)搜集实际问题的数据，作出“散点图”； (2)观察散点图，用三角函数模型拟合散点图，得到函数模型； (3)通过图象或解析式研究函数的性质； (4)用得到的性质解决提出的实际问题. 4、建立函数模型的一般步骤 5、运用三角函数模型解决问题的几种类型 (1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． (2)由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． (3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 6、建立三角函数拟合模型的注意事项 (1)在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数． (2)在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题． (3)在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题． 一、数形结合思想 【例题1】（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数的部分图象如图所示，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（20-21高一上·北京·期末）已知函数的部分图像如图所示，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一上·山东菏泽·期末）函数的部分图象如图所示，若、，且，则 .    【变式3】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式和单调递增区间； (2)若，，求的值． 二、分类讨论思想 【例题2】（20-21高一上·安徽合肥·期末）已知函数的图象，给出以下四个论断 ①的图象关于直线对称        ②的图象的一个对称中心为 ③在区间上是减函数           ④可由向左平移个单位 以上四个论断中正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式1】（22-23高一上·北京平谷·期末）已知三角形是边长为的等边三角形．如图，将三角形的顶点与原点重合．在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论： ①一个周期是； ②完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆； ③完成一个周期，顶点的轨迹长度是； ④完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是． 其中说法正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①③ 【变式2】（21-22高一上·四川资阳·期末）已知函数（）．给出以下结论： ①若，则函数的最小正周期为； ②若，则函数在区间上单调递增； ③若，函数的图象的对称轴方程为； ④若，，，则的最大值为； 其中，所有正确结论的序号是 ． 【变式3】（23-24高一上·天津·期末）已知． (1)当时，求的值； (2)若的最小值为，求实数的值； (3)对任意的，不等式恒成立．求的取值范围． 三、转化与化归思想 【例题3】（20-21高一·全国·课后作业）若， ，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式1】（22-23高一上·重庆北碚·期末）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一上·四川宜宾·期末）已知，则 . 【变式3】（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，且，求下列各式的值： (1)； (2). 四、整体思想 【例题4】（22-23高一上·云南·期末）已知点，，在函数的一个周期的图像上，其三个点的位置如图所示，则函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（23-24高一上·全国·期末）已知函数（）的图象在区间上恰有一个最高点和一个最低点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·北京·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确序号有 . ①为奇函数； ②函数的图象关于点对称； ③在上单调递增； ④若函数在上没有零点，则. 【变式3】（23-24高一上·四川雅安·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间． 考点1：三角函数的概念、诱导公式和同角三角函数的基本关系 【例题5】（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【变式1】（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（2016·全国·高考真题）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）= . 【变式3】（2023·全国·高考真题）若，则 ． 考点2：三角函数的图象和性质 【例题6】（2024·广东江苏·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式1】（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2021·全国·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则 . 【变式3】（2024·上海·高考真题）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 考点3：三角恒等变换 【例题7】（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·全国·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【变式3】（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 考点4：三角函数的综合问题 【例题8】（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【变式1】（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【变式3】（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数在一个周期内的图象时，列表如下： 0 0 3 0 -3 0 根据表中数据，求： （1）实数，，的值； （2）该函数在区间上的最大值和最小值. 一、三角函数与数学文化 【例题9】（22-23高一上·江苏南京·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（    ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（23-24高一上·云南德宏·期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积×（弦×矢＋矢）．弧田如图，由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆弧为，半径为4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为（    ）（结果取整数，参考数据：）    A．4平方米 B．5平方米 C．8平方米 D．9平方米 【变式2】（21-22高一上·山东临沂·期末）2020年12月4日，我国科学家宣布构建了76个光子（量子比特）的量子计算原型机“九章”．“九章”得名于我国古代的数学名著《九章算术》，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）.设，则的值为 ． 【变式3】（20-21高一上·江苏宿迁·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. （1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？ 2、 三角函数的新定义问题 【例题10】（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）设是定义在上的奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1】（23-24高一上·北京东城·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·全国·单元测试）设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数是定义在上的函数，满足，若，，求实数a的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知余弦函数过点，则m的值为（    ） A．0 B．－1 C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽·期末）若，则为（    ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 5．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·山东青岛·期中）在周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为（   ） 7．（23-24高一上·广东湛江·期末）将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 8．（23-24高一上·山东济宁·期末）若对任意，方程有解，则实数的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 9．（23-24高一上·浙江宁波·期末）下列式子化简正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·全国·课堂例题）（多选）下列叙述正确的有（    ） A．，的图象关于点成中心对称 B．，的图象关于直线成轴对称 C．，的图象在时达到最高点 D．正弦、余弦函数的图象不超过直线和所夹的范围 三、填空题 12．（24-25高一上·全国·随堂练习）化简： . 13．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）函数在区间上的单调减区间是 . 14．（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于x的方程的两个根分别为和，，则的值为 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课后作业）求证：． 16．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数 (1)已知函数的周期是，求的值. (2)此函数定义域在区间上的值域为，求的取值范围. 17．（22-23高一上·河北保定·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)将的图象向右平移个单位得到函数的图象，求在上的值域． 18．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. . 19．（20-21高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数（，，）的图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. (1)求函数的单调减区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数在内恰有6个零点，求的值. 限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$