3.3.2抛物线的简单几何性质 课后训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2　抛物线的简单几何性质

A级——基础过关练

1．我们把过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦叫做通径．抛物线x2＝－8y的通径为线段AB，则AB的长是(　　)

A．2 B．4

C．8 D．1

2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝(　　)

A．6 B．8

C．9 D．10

3．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)

A．18 B．24

C．36 D．48

4．设抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，O为坐标原点，则·的值是(　　)

A． B．－

C．3 D．－3

5．若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝(　　)

A．1 B．

C．2 D．3

6．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的有(　　)

A．p＝2 B．|BF|＝2

C．|BD|＝2|BF| D．F为AD的中点

7．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．

8．过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为12，则p＝________．

9．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________．

10．以抛物线C：y2＝2px(p＞0)的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝2，|DE|＝2，求p的值．

B级——综合运用练

11．(多选)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为B，O为坐标原点，OB的中点为M，过点M作MN⊥FA，垂足为N，则(　　)

A．p＝2 B．点A的坐标为(4，4)

C．点M的坐标为(0，4) D．点N的坐标为

12．抛物线x2＝y的焦点F的坐标为________；若直线l经过点F，且与抛物线x2＝y相交于A，B两点，则线段AB长的最小值为__________．

13．如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3．

(1)求抛物线E的方程；

(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，求证：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

C级——创新拓展练

14．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)经过点P(6，y0)，F为抛物线的焦点，且|PF|＝10．

(1)求y0的值；

(2)Q为抛物线C上一动点，M为线段FQ的中点，试求点M的轨迹方程．

答案解析

1、【答案】C

【解析】由题意得|AB|＝2p＝8．

2、【答案】B

【解析】由题意得p＝2，故抛物线的准线方程是x＝－1，因为过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，所以|AB|＝x1＋x2＋2．又因为x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝8．

3、【答案】C

【解析】不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x＝，代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p．又因为|AB|＝12，所以p＝6，故抛物线的准线方程为x＝－3，故S△ABP＝×6×12＝36．

4、【答案】B

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB的方程为x＝ty＋，由Error!得y2－2ty－1＝0，所以y1y2＝－1．又因为x1＝，x2＝，所以x1x2＝＝．所以·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝－1＝－．

5、【答案】C

【解析】双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－，0)，故抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，所以＝，所以p＝2．

6、【答案】ACD

【解析】如图，F，直线l的斜率为，则直线l的方程为y＝，联立Error!得12x2－20px＋3p2＝0，解得xA＝p，xB＝p，由|AF|＝p＋＝2p＝4，得p＝2，A正确；由p＝2，得抛物线C的方程为y2＝4x，xB＝，则|BF|＝＋1＝，B错误；|BD|＝＝，所以|BD|＝2|BF|，C正确；|BD|＋|BF|＝＋＝4，则F为AD的中点，D正确．故选ACD．