3.3.1抛物线及其标准方程 课后训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.1　抛物线及其标准方程 A级——基础过关练 1．抛物线x2＝16y的准线方程为(　　) A．y＝－4 B．y＝－8 C．x＝－4 D．x＝－8 2．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，则抛物线的方程是(　　) A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2 C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2 3．已知抛物线的方程为x＝y2，则该抛物线的准线方程是(　　) A．x＝－6 B．x＝－9 C．y＝－9 D．y＝－6 4．抛物线y＝2x2的焦点到准线的距离为(　　) A． B． C． D．4 5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点．若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 6．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则以下结论中正确的有(　　) A．∠FQP＝60° B．|QM|＝1 C．|FP|＝4 D．|FR|＝4 7．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4，5)，|PA|＋d的最小值为________． 8．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M的横坐标为3，且|MF|＝2p，则抛物线的方程为________． 9．以椭圆＋＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________． 10．如图，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切． (1)求抛物线C的方程； (2)若点A，B都在抛物线C上，且＝2，求点A的坐标． B级——综合运用练 11．(多选)对抛物线y＝4x2，下列描述正确的有(　　) A．焦点坐标为(0，1) B．焦点坐标为 C．准线方程为y＝－ D．准线方程为y＝－1 12．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝________． 13．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)上A，B两点，且AB⊥y轴，OA⊥OB，其中O为坐标原点，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程． C级——创新拓展练 14．已知曲线C上任意一点P到点F(2，0)的距离比它到直线l：x＝－1的距离大1． (1)求曲线C的方程； (2)若直线l：x＋my－8＝0与曲线C交于A，B两点，求证：OA⊥OB． 答案解析 1、【答案】A 【解析】由已知2p＝16，所以p＝8，所以准线方程为y＝－4． 2、【答案】D 【解析】分两类a＞0，a＜0讨论，可得y＝x2，y＝－x2． 3、【答案】B 【解析】x＝y2，焦点在x轴上，且＝9，所以抛物线的准线方程是x＝－9． 4、【答案】C 【解析】根据题意，抛物线的方程为y＝2x2，其标准方程为x2＝y，其中p＝，则抛物线的焦点到准线的距离p＝． 5、【答案】C 【解析】抛物线C的准线方程为x＝－，焦点为F(，0)．由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而yP＝±2，所以S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2． 6、【答案】AC 【解析】如图，连接FQ，FM，因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥FQ．因为PQ∥x轴，∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°．由抛物线的定义知|PQ|＝|PF|，所以△FQP为等边三角形，则FM⊥PQ，|QM|＝2，等边三角形FQP的边长为4，|FP|＝|PQ|＝4，因为四边形FRMQ为平行四边形，所以|FR|＝|QM|＝2．故选AC． 7、【答案】－1 【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1．由题意得d＝|PF|－1，所以|PA|＋d＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝－1，当且仅当A，P，F三点共线时，|PA|＋d取得最小值－1． 8、【答案】y2＝4x 【解析】抛物线的准线方程为x＝－，所以|MF|＝3＋＝2p，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x． 9、【答案】y2＝16x 【解析】因为椭圆的方程为＋＝1，所以右顶点为(4，0)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，则＝4，即p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝16x． 10、解：(1)依题意，可设抛物线C的方程为x2＝2py(p＞0)，其准线l的方程为y＝－． 因为准线l与圆x2＋y2＝1相切， 所以圆心(0，0)到准线l的距离d＝0－＝1，解得p＝2．故抛物线C的方程为x2＝4y． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则由题意得F(0，1)， 所以＝(x2，y2－1)，＝(x1，y1)． 因为＝2， 所以(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1，2y1)， 即代入②得4x＝8y1＋4， 即x＝2y1＋1． 又因为x＝4y1，所以4y1＝2y1＋1， 解得y1＝，x1＝±， 故点A的坐标为或． 11、【答案】BC 【解析】由y＝4x2，得x2＝y，所以该抛物线开口向上，焦点坐标为，准线方程为y＝－．故选BC． 12、【答案】1＋ 【解析】结合题意和抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，|AD|＝p＝a，则D，F，将点F的坐标代入抛物线的方程得b2＝2p＝a2＋2ab，变形得－－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍去)．所以＝1＋． 13、解：不妨设点A在第一象限且A(m，n)，则B(－m，n)，可得m2＝2pn． AB⊥y轴，且OA⊥OB，即△AOB为等腰直角三角形， 则直线OA的斜率为1，即m＝n． 由△AOB的面积为16，得·2m·n＝16， 解得m＝n＝4，所以p＝2． 所以抛物线C的方程为x2＝4y． 14、(1)解：设动点P(x，y)，动点P到点F(2，0)的距离比它到直线x＝－1的距离大1， 即动点P到点F(2，0)的距离等于它到直线x＝－2的距离，∴＝|x＋2|， 两边平方(x－2)2＋y2＝(x＋2)2，化简可得y2＝8x． (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得y2＋8my－64＝0， 则Δ＝64m2＋256＞0，所以y1＋y2＝－8m，y1y2＝－64． 所以x1x2＝·＝＝64． 所以·＝x1x2＋y1y2＝0，即OA⊥OB． 学科网（北京）股份有限公司 $$