3.1.1椭圆及其标准方程课后训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 A级——基础过关练 1.已知a=,c=2,则该椭圆的标准方程为( ) A.+=1 B.+=1或+=1 C.+y2=1 D.+y2=1或x2+=1 2.椭圆+=1的焦点坐标为( ) A.(0, 3) B.( 3,0) C.(0, 5) D.( 4,0) 3.已知椭圆+=1的一个焦点为(2,0),则椭圆的方程是( ) A.+=1 B.+=1 C.x2+=1 D.+=1 4.如图,椭圆+=1上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.已知椭圆+=1(a>5)的两个焦点F1,F2,且|F1F2|=8,弦AB过点F1,则 ABF2的周长为( ) A.10 B.20 C.2 D.4 6.(多选)已知椭圆+=1的两个焦点F1,F2,M是椭圆上一点,且|MF1|-|MF2|=1,则 MF1F2一定不是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 7.方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,实数m的取值范围是_. 8.已知椭圆的方程为+=1,若C为椭圆上一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,并且|CF1|=2,则|CF2|=_. 9.已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=_. 10.已知平面上两点F(-4,0),F′(4,0), PFF′的周长为18. (1)求动点P的轨迹方程; (2)当动点P满足∠FPF′=90 时,求点P的纵坐标. B级——综合运用练 11.(多选)F1,F2为椭圆C的两个焦点,若椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=90 ,则椭圆C的方程可以是( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 12.已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为_,最小值为_. 13.已知椭圆M与椭圆N:+=1有相同的焦点,且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程; (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且 PF1F2的面积为1,求点P的坐标. C级——创新拓展练 14.设F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点. (1)若椭圆C上的点A到F1,F2两点的距离之和为4,写出椭圆C的方程和焦点坐标; (2)设K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程. 答案解析 1、【答案】D 【解析】由a2=b2+c2,得b2=13-12=1,分焦点在x轴和y轴两种情况,故该椭圆的标准方程为+y2=1或x2+=1. 2、【答案】A 【解析】根据椭圆方程可知焦点在y轴上,且c2=25-16=9,所以焦点坐标是(0, 3). 3、【答案】D 【解析】由题意知a2-2=4,所以a2=6,所以所求椭圆的方程为+=1. 4、【答案】C 【解析】由|MF1|=2,得|MF2|=8.又因为ON是 F1MF2的中位线,所以|ON|=4. 5、【答案】D 【解析】因为a>5,所以焦点在x轴上.因为|F1F2|=8,所以a2=b2+c2=41.故 ABF2的周长为4a=4. 6、【答案】ACD 【解析】由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a=4,且|MF1|-|MF2|=1,所以|MF1|=,|MF2|=.又因为|F1F2|=2c=2,所以有|MF1|2=|MF2|2+|F1F2|2,因此∠MF2F1=90 , MF1F2为直角三角形. 7、【答案】(-3,-1)∪(1,3) 【解析】根据题意得0<|m|-1<2,所以1<|m|<3,所以m∈(-3,-1)∪(1,3). 8、【答案】8 【解析】根据椭圆的定义,知椭圆上的点到两焦点的距离之和为10.因为|CF1|=2,所以|CF2|=8. 9、【答案】12 【解析】取MN的中点G,G在椭圆C上,因为点M关于C的焦点F1,F2的对称点分别为A,B,故有|GF1|=|AN|,|GF2|=|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|GF1|+|GF2|)=4a=12. 10、解:(1)因为 PFF′的周长为18,所以|PF|+|PF′|=10, 由椭圆的定义可得动点P的轨迹为椭圆,其长轴长2a=10,故a=5,而半焦距c=4,故b=3,故方程为+=1(x≠ 5). (2)设P(x0,y0),则=(-4-x0,-y0),=(4-x0,-y0),因为∠FPF′=90 ,所以 =0,故x+y=16,而+=1,解得y0= ,故点P的纵坐标为 . 11、【答案】AC 【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0),设椭圆上顶点为B,椭圆C上存在点P,使得∠F1PF2=90 ,则需∠F1BF2≥90 ,∴|BF1|2+|BF2|2≤|F1F2|2,即a2+a2≤4c2.∵c2=a2-b2,2a2≤4a2-4b2,∴a2≥2b2,选项A,C满足题意.故选AC. 12、【答案】6+ 6- 【解析】椭圆方程化为+=1,设F1是椭圆的右焦点,则F1(2,0),所以|AF1|=,|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6.又因为-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P,A,F1三点共线时,等号成立),所以|PA|+|PF|≤6+,|PA|+|PF|≥6-. 13、解:(1)由题意知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0), 设椭圆M的方程为+=1(a>b>0), 则 化简并整理得5b4+11b2-16=0, 故b2=1或b2=-(舍去),a2=5, 故椭圆M的标准方程为+y2=1. (2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0), 设P(x0,y0),则 PF1F2的面积为 4 |y0|=1,解得y0= . 又因为+y=1,所以x=,x0= . 所以点P有4个,它们的坐标分别为,,,. 14、解:(1)椭圆C的焦点在x轴上,由椭圆上的点A到F1,F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2. 又因为点A在椭圆上, 所以+=1, 解得b2=3,则c2=a2-b2=1. 所以椭圆C的方程为+=1,焦点为F1(-1,0),F2(1,0). (2)设椭圆C上的动点K(x1,y1),线段F1K的中点Q(x,y), 则x=,y=,即x1=2x+1,y1=2y. 因为点K(x1,y1)在椭圆+=1上, 所以+=1,即+=1, 此即为线段F1K的中点的轨迹方程. 学科网(北京)股份有限公司 $$