章节预测卷02 图形的轴对称期末考前拔高预测卷-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（青岛版）

2024-2025学年青岛版八年级上学期（新教材）期末考前拔高预测卷 预测卷02 图形的轴对称 考试时间：120分钟 试题满分：100分 试题难度：0.42（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（每题2分，共20分） 1．（本题2分）（20-21七年级下·四川达州·期末）如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 2．（本题2分）（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（本题2分）（19-20八年级上·河南商丘·期中）如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是（   ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 4．（本题2分）（11-12八年级上·湖北黄冈·期中）如图，在中，，平分，于，有下列结论：；；；平分；，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（本题2分）（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在的方格中，A，B两点都在小方格的格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，那么点C的个数最多是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（本题2分）（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点F．有下列说法：①；②若，则；③；④．其中正确的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（本题2分）（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A． B．3 C． D．9 8．（本题2分）（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．则下列结论：①，②为等边三角形；③；④，其中正确的结论是(　　) A． ①②③④ B．①② C．①②④ D．③④ 9．（本题2分）（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 10．（本题2分）（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，已知等边，点D、E分别在边、上，、交于点F，，为的角平分线，点H在的延长线上，，连接、，①；②；③；④；其中说法正确的是（    ）    A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（每题2分，共20分） 11．（本题2分）（24-25八年级上·全国·期末）如图，等腰 的底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点E，F．若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为 . 12．（本题2分）（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，为的角平分线，，垂足为，，垂足为，若，，，则的面积为 ．    13．（本题2分）（13-14八年级上·浙江温州·期末）如图，点在线段上，，，，且，，，，则 ． 14．（本题2分）（22-23八年级上·广西柳州·期末）如图，在等边中，点D、E分别在和边上，以为边作等边，连接．若，．则的长是 ． 15．（本题2分）（19-20八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 16．（本题2分）（18-19八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 17．（本题2分）（22-23八年级上·河南开封·期末）如图，等边中，，于点，点在线段上运动，点在上，且，当取最小值时， °． 18．（本题2分）（22-23八年级上·北京海淀·期中）如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ． 19．（本题2分）（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ． 20．（本题2分）（19-20八年级上·湖北咸宁·期末）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=2，点D是边BC上一动点，以AD为边作等边△ADE，使点E在∠C的内部，连接BE．下列结论：①AC=1；②EB=ED；③当AD平分∠BAC时，△BDE是等边三角形；④动点D从点C运动到点B的过程中，点E的运动路径长为2．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 三、解答题（共60分） 21．（本题6分）（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，点，，在同一条直线上，，是等边三角形，若，， (1)求的度数； (2)求长． 22．（本题6分）（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，为等边三角形，，点是直线上一点，连接，以为边作等边，连接． (1)如图，当点在线段的中点时，_______，_______； (2)如图，当点在的延长线上时，求证：； (3)在（2）的条件下探索、、三条线段的长度有何关系？并说明理由． 23．（本题8分）（2018·福建龙岩·一模）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，则的度数是 　　度； (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 24．（本题8分）（21-22八年级上·贵州遵义·期末）如图，，，，P点从点出发，沿向运动，从点出发，沿向点运动，P，Q两点同时出发，速度均为1单位/秒，当P运动到A时，两点同时停止运动．点在上，交于，当四边形中有两个内角是直角时，点运动的时间是多少？ 25．（本题8分）（22-23八年级上·重庆江北·期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图①，求证：是等边三角形； (2)如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 26．（本题8分）（23-24八年级上·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点，点，连接．已知a与b满足：． (1)直接写出： ______； ________； (2)如图，y轴上有一动点（），连接．第一象限内作射线；过点B作交x轴于C点，点Q在射线上，且； ①求C的坐标．（用m表示） ②在点P运动过程中，点Q的位置会随之变化，记是其中任意两个位置，探究直线与的位置关系． 27．（本题8分）（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）已知，在的内部作等腰三角形，，，点为射线上任意一点（与点不重合），连接，作，且（点与点在直线的两侧），连接并延长交射线于点． (1)如图1，当时， ① ； ②线段与的数量关系为： ； (2)如图2，当时，（1）中②的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)当时，，过点E作于点P，若时，请直接写出的值． 28．（本题8分）（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图,等腰直角中，，，点分别在坐标轴上． (1)如图1，若点的横坐标为5，求点坐标； (2)如图2，将摆放至x轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值； (3)如图3，若点坐标为，分别以为直角边在第一、第二象限作等腰直角与等腰直角，连接交轴于点．当点在轴正半轴上移动时，下列两个结论：①的长不变；②的值不变，其中只有一个是正确的，请选择，并求其值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年青岛版八年级上学期（新教材）期末考前拔高预测卷 预测卷02 图形的轴对称 考试时间：120分钟 试题满分：100分 试题难度：0.42（较难） 一、选择题（每题2分，共20分） 1．（本题2分）（20-21七年级下·四川达州·期末）如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【思路点拨】此题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【规范解答】是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，，， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：C． 2．（本题2分）（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握等腰三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合分析是解题的关键． 根据题意，利用角边角证明，可得是等腰直角三角形，可判定结论①；过点作于点，证明，得，，可判定结论②；根据上述证明，设，则，，，可判定结论③；根据题意可证，得到，结合上述证明可得，则有，进而得到，可判定结论④；由此即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①正确； 如图所示，过点作于点 由①的证明可得，，则， ∵， ∴， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 由上述证明，设，则，，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， 由①可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：C ． 3．（本题2分）（19-20八年级上·河南商丘·期中）如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是（   ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【答案】B 【思路点拨】此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分． 【规范解答】解：如图所示：过点作，， 两把完全相同的长方形直尺的宽度相等， ， 平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：B． 4．（本题2分）（11-12八年级上·湖北黄冈·期中）如图，在中，，平分，于，有下列结论：；；；平分；，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，由角平分线的性质可以判断；证明可以判断；由同角的余角相等可以判断；由，根据全等三角形的性质可以判断；利用三角形面积和角平分线的性质可以判断；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴，故正确； 由得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 由得：， ∴， ∴平分，故正确； 由， ∵， ∴， ∴，故正确， 综上正确，共个， 故选：． 5．（本题2分）（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在的方格中，A，B两点都在小方格的格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，那么点C的个数最多是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的判定，分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点的个数，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 【规范解答】解：如图， 当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， ∴点C的个数有3个， 故选：C． 6．（本题2分）（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点F．有下列说法：①；②若，则；③；④．其中正确的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路点拨】①根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分，平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断；②延长至，使，连接，根 据，证明，得，然后根据等腰三角形的性质进而可以进行判断；③作的平分线交于点，可得，证明，，可得，，进而可以判断；④过作，于点，，由 ④知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，，进而可以进行判断． 【规范解答】解：①在中，， ， 平分，平分， ，， ， 故①正确，符合题意； ②如图，延长至，使，连接， ， ， 在和 中， ， ∴， ， 为角平分线， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ③如图，作的平分线交于点， 由①得， ，， ， ，，， ∴，， ，， ， 故③正确，符合题意； ④如图，过作，于点，， 由③知，为 的角平分线， ， ∴， ∵，， ∴， 故④正确，符合题意． 综上所述：正确的有①②③④，共4个； 故选D． 【考点评析】本题考查了三角形全等的性质和判定，角平分线的性质，作辅助线，构建三角形全等是解题关键． 7．（本题2分）（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 【思路点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大．解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【规范解答】解：延长交于点．设交于点． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 故选：． 8．（本题2分）（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，，D为的中点，P为上一点，E为延长线上一点，且．则下列结论：①，②为等边三角形；③；④，其中正确的结论是(　　) A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④ 【答案】A 【思路点拨】连接，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求，可得，可判断②；过点作，在上截取，由“”可证，延长至H，使，则点关于的对称点，连接，根据对称性质即可判断③；过点A作，在上截取，由三角形的面积的和差关系可判断④． 【规范解答】解：如图，连接， ∵，点是的中点， ∴，，， ∴是的中垂线， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴而， ∴是等边三角形，故②正确； 如图，延长至，使，则点关于的对称点为，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．故③正确； 过点A作，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确． 所以其中正确的结论是①②③④． 故选：A． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，垂直平分线的定义与性质，添加恰当辅助线是本题的关键． 9．（本题2分）（21-22八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；过O点作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于N，于M，根据三角形的面积可证得④正确． 【规范解答】解：∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∴，故①错误； 过O点作于P，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，分别是与的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点H，使，    ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于N，于M，    ∵和的平分线相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴，故④正确． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质定理，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键． 10．（本题2分）（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，已知等边，点D、E分别在边、上，、交于点F，，为的角平分线，点H在的延长线上，，连接、，①；②；③；④；其中说法正确的是（    ）    A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【思路点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点．证明，从而得出，即可判断①；作交的延长线于，作于，可证明，得到，，，即可证明得到，从而得出是等边三角形，即可判断②；由，若，则，从而，这与相矛盾，即可判断③；根据④，，，即可判断④． 【规范解答】解：①是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ②如图，作交的延长线于，作于， ，   ， ， 为的角平分线， ， ， 又，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ， 由①知， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ，即， 是等边三角形， ，故②正确； ③由②知，， 若，则，从而，这与相矛盾，故③错误； ④，， ，即， ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 二、填空题（每题2分，共20分） 11．（本题2分）（24-25八年级上·全国·期末）如图，等腰 的底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点E，F．若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为 . 【答案】11 【思路点拨】本题考查将军饮马模型、等腰三角形性质、垂直平分线性质、利用三角形面积求高．解题的关键在于灵活运用将军饮马模型找出动点在什么位置得到最小值． 连接，由于是等腰三角形，点D为边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可解题． 【规范解答】解：连接，，如图所示． ∵ 是等腰三角形，，点D为边的中点， ∴． ∵，， ∴，． ∵是的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为A． ∴． ∵， ∴的长为的最小值． ∴的周长的最小值为：． 故答案为：11． 12．（本题2分）（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，为的角平分线，，垂足为，，垂足为，若，，，则的面积为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质可得的长，然后根据三角形面积公式可得答案．解题的关键是掌握：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【规范解答】解：∵为的角平分线，，， ， ∴， ∵，， ∴ ， ∴的面积为． 故答案为：． 13．（本题2分）（13-14八年级上·浙江温州·期末）如图，点在线段上，，，，且，，，，则 ． 【答案】39 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质的应用，关键是推出，题目比较好，但是有一定的难度．连接、，证，得出，根据等腰三角形的性质推出，求出，再根据角的和差即可求出答案． 【规范解答】解：连接、， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 故答案为：39 14．（本题2分）（22-23八年级上·广西柳州·期末）如图，在等边中，点D、E分别在和边上，以为边作等边，连接．若，．则的长是 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查的是的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 过D点作于M，证明为等边三角形，再证明，结合全等三角形的性质可得答案． 【规范解答】解：∵等边， ∴，， 过D点作于M， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ， ∴，    ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，． ∴． ∴． 故答案为：2． 15．（本题2分）（19-20八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 【答案】或10 【思路点拨】本题主要考查了等腰三角形的定义，一元一次方程解决实际问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 根据点P，Q的移动时间与速度，表示出，的长，分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，根据建立方程求解即可． 【规范解答】解：点P，Q移动时， ，． 分两种情况： ①当点在线段上时， 若是等腰三角形，则， 即， 解得，； ②当点在的延长线上时， ， 若是等腰三角形，又， 则是等边三角形， ∴， 即， 解得，； 综上所述，当或时，是等腰三角形． 故答案为：或10． 16．（本题2分）（18-19八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【规范解答】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 17．（本题2分）（22-23八年级上·河南开封·期末）如图，等边中，，于点，点在线段上运动，点在上，且，当取最小值时， °． 【答案】30 【思路点拨】根据等边三角形的对称性，等边三角形的性质，线段和最小原理计算即可． 本题考查了等边三角形的性质和对称轴，线段和最小，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键． 【规范解答】解：∵是等边三角形，，， ∴直线为的一条对称轴，，， 平分， ∴点B，点C关于直线对称， 连接，交于点，则点为取最小值时的位置点， ∵， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴点是等边三角形角平分线的交点， 连接 ∴平分， ∴， 故答案为：30． 18．（本题2分）（22-23八年级上·北京海淀·期中）如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小． 【规范解答】解：连接 ∵均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小， ∵ ∴是等边三角形且与全等， ∴，， ∵， ∴， ∴周长的最小值是 故答案为： 19．（本题2分）（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ． 【答案】①②③ 【思路点拨】连接，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求，证得是等边三角形，判断②；过点作，在上截取，由三角形的面积的和差关系可判断③；由“”可证，作点关于的对称点，连接，，根据对称性质即可判断④． 【规范解答】解：如图，连接， ，，点是的中点， ，，，， ∴， 是的中垂线， ，且， ， ，， ， ∴ ，故①正确； ， ， ， ， 是等边三角形， ∴， 故②正确； 过点作，在上截取， ，， 是等边三角形， ， ， 又，， ∴ ， ， ，， ， ， ∵ ∴．故③正确． 如图，作点关于的对称点，连接，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点、关于对称，即，且， ， 、、、共线， ， ． 故④错误； 故答案为：①②③． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段中垂线的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，直角三角形的性质．添加恰当辅助线是本题的关键． 20．（本题2分）（19-20八年级上·湖北咸宁·期末）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=2，点D是边BC上一动点，以AD为边作等边△ADE，使点E在∠C的内部，连接BE．下列结论：①AC=1；②EB=ED；③当AD平分∠BAC时，△BDE是等边三角形；④动点D从点C运动到点B的过程中，点E的运动路径长为2．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】②③④ 【思路点拨】作EF⊥AB垂足为F，连接CF，可证△EAF≌△DAC，推出点E在AB的垂直平分线上，根据三线合一可证为等腰三角形，即可得到EB=ED，由AD平分∠BAC计算∠CAD=∠EAB=∠EBA=30°，从而证得△BDE是等边三角形，在点D从点A移动至点C的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等，由此即可解决问题． 【规范解答】解：∵△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=2， ∴，故①错误； 如图，作EF⊥AB垂足为F，连接CF， ∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴∠BAC=60°， ∵△ADE是等边三角形， ∴AE=AD=ED，∠EAD=60°， ∴∠EAD=∠BAC， ∴∠EAF=∠DAC， 在△EAF和△DAC中， ， ∴△EAF≌△DAC， ∴AF=AC，EF=CD， ∵， ∴， ∴F为AB的中点， ∴EF为的中线， 又∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故③正确； ∵，， ∴点E在AB的垂直平分线上， ∴在点D从点C移动至点B的过程中，点E移动的路线和点D运动的路线相等， ∴在点D从点C移动至点B的过程中,点E移动的路线为2，故④正确； 故答案为：②③④． 【考点评析】本题考查直角三角形性质，等边三角形性质，利用这些知识证明三角形全等为关键，掌握直角三角形和等边三角形的性质为解题关键． 三、解答题（共60分） 21．（本题6分）（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，点，，在同一条直线上，，是等边三角形，若，， (1)求的度数； (2)求长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质解决问题是本题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，可证，可得，可得的度数； （2）由全等三角形的性质和等边三角形的性质可求的长． 【规范解答】（1）解：，是等边三角形 ，，， ，且，， ， ， ； （2）解：， ， ， 22．（本题6分）（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，为等边三角形，，点是直线上一点，连接，以为边作等边，连接． (1)如图，当点在线段的中点时，_______，_______； (2)如图，当点在的延长线上时，求证：； (3)在（2）的条件下探索、、三条线段的长度有何关系？并说明理由． 【答案】(1)3，； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，证明，得到，，进而得到，再根据线段中点，求出，即可得到的长； （2）根据等边三角形的性质，即可证明； （3）由（2）可知，，得到，由等边三角形的性质，得到，即可得到结论． 【规范解答】（1）解：和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 点在线段的中点， ， ， 故答案为：3，； （2）证明：和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； （3）解：，理由如下： 由（2）可知，， ， 是等边三角形， ， ， ． 23．（本题8分）（2018·福建龙岩·一模）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，则的度数是 　　度； (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】(1)50 (2)①；②14 【思路点拨】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记这些性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论； （2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解； ②连接，当点与重合时，周长的值最小，于是得到结论． 【规范解答】（1）解：， ， ， 的垂直平分线交于点， ， ， 故答案为：50； （2）解：①是的垂直平分线， ， 的周长， ，的周长是14， ； ②连接，如图， 则； 当点与重合时，周长的值最小， ，， 与重合时，，此时最小， 周长的最小值． 24．（本题8分）（21-22八年级上·贵州遵义·期末）如图，，，，P点从点出发，沿向运动，从点出发，沿向点运动，P，Q两点同时出发，速度均为1单位/秒，当P运动到A时，两点同时停止运动．点在上，交于，当四边形中有两个内角是直角时，点运动的时间是多少？ 【答案】或秒 【思路点拨】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键，分和两种情况求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴和两种情况， 设点运动的时间为秒， ①当时，，， 在中，， ∴， ∴， ， 解得：， ②当时，，， 在中，， ∴， ∴， ， 解得：， 当四边形中有两个内角是直角时，点运动的时间为或秒． 25．（本题8分）（22-23八年级上·重庆江北·期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图①，求证：是等边三角形； (2)如图①，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图②，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【思路点拨】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得结论； （2）根据证明，得，由8字形可得，最后由含角的直角三角形的性质可得结论； （3）如图2，在上截取，先证，方法是根据题意得到三角形为等边三角形，三角形为等腰直角三角形，确定出度数，根据，且，得到度数，进而确定出为，再由，得到，再由，且夹角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，得到三角形为等边三角形，得到，由，等量代换即可得证． 【规范解答】（1）证明：，， ， ， 是等边三角形； （2）证明：由（1）知：是等边三角形，   ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3）解：，证明如下： 如图2，在上截取，连接， ∴，即，   ， ， 为的中点， 平分，即， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【考点评析】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，以及含角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26．（本题8分）（23-24八年级上·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点，点，连接．已知a与b满足：． (1)直接写出： ______； ________； (2)如图，y轴上有一动点（），连接．第一象限内作射线；过点B作交x轴于C点，点Q在射线上，且； ①求C的坐标．（用m表示） ②在点P运动过程中，点Q的位置会随之变化，记是其中任意两个位置，探究直线与的位置关系． 【答案】(1)2，2 (2)①② 【思路点拨】（1）利用非负性进行求解即可； （2）①过点作轴与点，证明，得到，证明，得到，进而得到，即可得出结果； ②连接，由①可知，，，推出，进而得到，得到点在直线上移动，进而求出，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2，2； （2）①由（1）知道，， ∴， 过点作轴与点， 则：， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②连接， 由①知：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在直线上移动， ∴直线即为直线， ∵， ∴， ∴，即：． 【考点评析】本题考查坐标与图形，非负性，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 27．（本题8分）（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）已知，在的内部作等腰三角形，，，点为射线上任意一点（与点不重合），连接，作，且（点与点在直线的两侧），连接并延长交射线于点． (1)如图1，当时， ① ； ②线段与的数量关系为： ； (2)如图2，当时，（1）中②的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)当时，，过点E作于点P，若时，请直接写出的值． 【答案】(1)①90°；②； (2)成立，理由见解析 (3)． 【思路点拨】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质和运用是解答的关键． （1）①连接，先根据“”证明，得出； ②再证明，即可得出结论； （2）连接，先说明，然后根据“”证明，得出，再证明，即可得出结论； （3）先根据，，得出为等边三角形，再按照的大小分三种情况进行讨论，得出结果即可． 【规范解答】（1）解：①连接，如图所示： 由题意可知，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； ②由①知， 在与中， ， ∴， ， 故答案为：①；②； （2）解：成立，理由如下： 如图2，连接， 由题意可知，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 在与中， ， ∴， ； （3），， ∴为等边三角形， ，， ①当时，连接，如图所示： ∵， ， 在中，，， 则， 即； 根据（2）可知，， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ； ②当时，与重合， ，， ∴为等边三角形， ， ， ， 此时点与点重合，（不合题意）； ③当时，连接，如图所示： ∵， ， 在中，， ， 即； 根据（2）可知，， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ； 综上，的值为． 28．（本题8分）（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图,等腰直角中，，，点分别在坐标轴上． (1)如图1，若点的横坐标为5，求点坐标； (2)如图2，将摆放至x轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值； (3)如图3，若点坐标为，分别以为直角边在第一、第二象限作等腰直角与等腰直角，连接交轴于点．当点在轴正半轴上移动时，下列两个结论：①的长不变；②的值不变，其中只有一个是正确的，请选择，并求其值． 【答案】(1) (2) (3)①结论正确， 【思路点拨】（1）过点作轴于点，根据同角的余角相等可以得到，进一步可以证明，因此可以得出结论，求得点坐标； （2）分别延长相交于点，结合题意不难证明，从而根据“三线合一”可证得，最后结合全等三角形的性质即可得出结论； （3）过点作轴于点，由题意易证得和，根据全等三角形的性质和线段之间的转化即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图，过点作轴于点， ，轴， ， ， 在和中， ， ， ， C点的横坐标为5， ， B点坐标为． （2）如图，分别延长相交于点， ，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 平分，轴， ， ， ， ． （3）①结论正确，的长为2，理由如下： 如图，过点作轴于点， 是以为顶角的等腰直角三角形，是以为顶角的等腰直角三角形， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、等腰三角形三线合一、同角的余角相等，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$